例析求線段長(zhǎng)度的幾種方法

福建省泰寧縣第四中學(xué) 溫清梅

幾何圖形中的計(jì)算題是初中數(shù)學(xué)中常見(jiàn)題型，一直是數(shù)學(xué)中考的必考題型，求線段的長(zhǎng)度正是這類計(jì)算題中的典型代表。縱觀近年來(lái)的中考試題，求線段的長(zhǎng)是中考中與圖形有關(guān)的問(wèn)題中經(jīng)常會(huì)涉及的知識(shí)點(diǎn)，它在各市的中考?jí)狠S題中也常常涉及到。因此，能否掌握初中線段長(zhǎng)的求解方法，將會(huì)影響到學(xué)生解決這些問(wèn)題的能力。以下筆者將就一道題的多種解法談?wù)勄缶€段長(zhǎng)度的方法。不難發(fā)現(xiàn)，解決途徑都是運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想方法。要求學(xué)生自己探究、發(fā)現(xiàn)，尋求解決的途徑。我在多年的初中教學(xué)中，特別是初三數(shù)學(xué)教學(xué)中，結(jié)合例題總結(jié)了幾種常用的求線段的長(zhǎng)度的方法。原題如下：

如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形組成的6×6方格中，點(diǎn)A，B都在格點(diǎn)上。（1）在給定的方格中將線段AB平移到CD，使得四邊形ABDC是矩形，且點(diǎn)C，D都落在格點(diǎn)上，畫出四邊形ABDC；（2）在方格中畫出△ACD關(guān)于直線AD對(duì)稱的△AED；（3）求出AB與DE的交點(diǎn)P到線段AD的距離。

對(duì)線段長(zhǎng)度的求解，則有多種方法，如解析法，相似三角形對(duì)應(yīng)求線段比，等面積法，勾股定理以及相似三角形中的對(duì)應(yīng)邊的比等于相似比等方法。

一、解析法

在這里若以0為原點(diǎn)，0B所在直線為x軸，0A所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，此時(shí)A、B、D、E都在格點(diǎn)上，通過(guò)這幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)可以求出直線DE、AB的解析式，此時(shí)聯(lián)合組成方程組就可以通過(guò)方程的解求出相應(yīng)的P點(diǎn)的坐標(biāo)，而坐標(biāo)可以轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)度，則可以求出P到AD的距離，這類解法得求出AB的解析式，ED的解析式，而后聯(lián)立解析式，將它們看成方程（相應(yīng)），求出方程的解，則是P點(diǎn)的坐標(biāo)，再用A點(diǎn)的縱坐標(biāo)減去P點(diǎn)縱坐標(biāo)，得P點(diǎn)到AD的距離，方法較為繁瑣，不得已才用這種方法。因?yàn)楹臅r(shí)耗力，一般不可取，但在拋物線與直線相交時(shí)，求線段的長(zhǎng)段則基本要考慮這種方法，只要能求出直線與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)，便可以用縱坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相減得到了，這是通法，當(dāng)然，如果解析法熟練的同學(xué)這種方法可以節(jié)省許多思考的時(shí)間。

二、相似法

利用△APD∽△BPE，先由AD∥OB得到內(nèi)錯(cuò)角相等，而后可由內(nèi)錯(cuò)角相等和對(duì)頂角相等，得證△APD∽△BPE，對(duì)應(yīng)高的比等于相似比，因此這里P至AD的距離比P到EB的距離即AD與EB的比，這里AO＝2，只設(shè)P到AD距離為x，而P到EB距離為（2-x），可列式求得x＝1.25，這種思路的理解，解法既簡(jiǎn)單又準(zhǔn)確，是可以提倡的解法。利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例是求線段長(zhǎng)度的常見(jiàn)方法，關(guān)鍵是找出所求線段和已知線段是哪兩個(gè)三角形的邊元素，再找尋出證明這兩個(gè)三角形相似的方法，問(wèn)題即可以解決。

三、勾股定理和相似結(jié)合的方法

首先，由各邊的長(zhǎng)度，如可知 AE2＝5，DE2＝20，AD2＝25，可知 AE2+DE2＝AD2，從而知道∠AED＝90°，過(guò)P作PM⊥AD，可知△PMD∽△AED，這里根據(jù)對(duì)稱性可得AM＝DM，DM＝2.5，這里的PM就是我們所要求的，因此可列式即這里順利的求出PM的值為1.25，這里的方法較第一種容易，但較第二種方法來(lái)說(shuō)稍顯繁瑣。利用勾股定理求線段的長(zhǎng)度關(guān)鍵是構(gòu)建出直角三角形，再找出所求的線段是這個(gè)三角形的直角邊還是斜邊，或者它們的關(guān)系，就可以利用勾股定理求出所要求的線段長(zhǎng)度。因此，相似和勾股結(jié)合的話會(huì)費(fèi)時(shí)些，但是求線段常用的思路是相似和勾股，而許多同學(xué)也較常用，因此是較為提倡的好辦法。

四、等面積法

運(yùn)用面積關(guān)系解決平面幾何體的方法，稱為面積法。在此題中△APD的面積可以由AD乘以PM除以2得到，也可以由以PD為底，AE為高得到，AE為AD為5易求，而PD的求法叫可以由△ADP∽△BPE，得到這里求出PD，則再利用等面積式子，PD·AE＝AD·PM求得，這里PD的求法也可在△BPD中，利用勾股定理得到，但是方法較為麻煩。等面積方法不是最可取，但是它的這種思想方法將來(lái)會(huì)常用而且便捷，因此不失為一種好辦法。等面積法常常會(huì)使題目簡(jiǎn)化，常見(jiàn)的有求直角三角形斜邊上的高，常給出兩直角邊，可以利用勾股定理求出斜邊，再求斜邊上的高（用等面積法）。又常見(jiàn)與兩條線段或三角線段相加之和，當(dāng)沒(méi)有辦法將兩條或三條線段轉(zhuǎn)移到同一直線或邊上時(shí)，常常會(huì)分解到兩個(gè)三角形或三個(gè)三角形中，線段此時(shí)充當(dāng)?shù)慕巧侨切蔚母?，兩個(gè)或三個(gè)三角形的面積等于一個(gè)三角形的面積，這時(shí)兩線段或三角條段之和便轉(zhuǎn)移到了總長(zhǎng)上，它是幾何中常用的一種方法。特點(diǎn)是把已知和未知各量用面積公式聯(lián)系起來(lái)，通過(guò)運(yùn)算達(dá)到求證的結(jié)果。所以用面積法來(lái)解幾何題，幾何元素之間關(guān)系會(huì)變成數(shù)量之間的關(guān)系。這個(gè)時(shí)候，問(wèn)題就化繁為簡(jiǎn)了，只需要計(jì)算，有時(shí)甚至可以不添置輔助線就迎刃而解了。

此外，用面積法還可以用來(lái)證明線段相等（不等），角相等，比例式或等積式，求線段比等。雖然這些幾乎都可以用其他方法來(lái)解決，但是面積法無(wú)疑是一種更直接、簡(jiǎn)易、有效的方法。

五、銳角三角函數(shù)法

在此題中，由于A、E、B、D在網(wǎng)格上，而且四邊形A EBD是軸對(duì)稱圖形，因而可以求出AE、AD、DE的長(zhǎng)度，從而可求∠AED＝90°，這樣便得知∠ADE的正切值，過(guò)P作PM⊥AD，MD為AD一半，此時(shí)利用∠ADE的正切值，PM的長(zhǎng)度則可解，在求線段長(zhǎng)度的過(guò)程中，有時(shí)利用銳角函數(shù)值比用勾股定理和解析法在解題步驟上來(lái)得更為簡(jiǎn)便是值得推薦的方法。我們要理解在直角三角形中，當(dāng)銳角一定時(shí)，它的對(duì)邊與斜邊、鄰邊與斜邊、對(duì)邊與鄰邊、鄰邊與對(duì)邊的比值是固定的，這幾個(gè)比值稱為銳角三角函數(shù)，它反映的是兩條線段的比值；它提示了三角形中的邊角關(guān)系，這可以讓我們找到相等角，在其他三角形中較快速地求出線段。

求線段的長(zhǎng)度還有其他的一些方法，這幾種方法只不過(guò)是平常較為常用的方法，在遇到類似問(wèn)題時(shí)，教師可以多引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)，歸納，具體情況具體分析，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法來(lái)解決問(wèn)題。