都是“直覺解題”惹的禍

浙江省紹興市上虞區(qū)瀝海鎮(zhèn)中 張 薇

初中生初學(xué)平面幾何，由于研究對象從數(shù)轉(zhuǎn)到形，研究方法也從以運(yùn)算為主轉(zhuǎn)到以合情推理為主，又由于平面幾何中新概念的大量集中出現(xiàn)，學(xué)生無論在知識的學(xué)習(xí)、技能和能力的形成，還是在學(xué)習(xí)方法和學(xué)習(xí)習(xí)慣培養(yǎng)等方面，都存在著相對不適應(yīng)的狀況。這無形中提高了幾何入門的門檻。而《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》在教學(xué)內(nèi)容的安排上，變化最大的是幾何教學(xué)提前，這更為幾何入門教學(xué)增添了難度。因此，初學(xué)幾何，盡管推理的能力已開始萌芽，但直覺、直觀性操作、試驗仍占主要地位，由于直覺思維具有自由性、靈活性、偶然性、不可靠性等特點，因而在我們的日常教學(xué)過程中，學(xué)生憑“直覺”“直觀判斷”等常規(guī)思維、經(jīng)驗解題，這里“直覺”起了舉足輕重的作用，“直覺”是一把雙刃劍，在解題中有時惹禍也確實不少。本文將通過一則案例，剖析“直覺解題”惹禍的內(nèi)在原因，并提出一些化解對策。

案例：“平行四邊形的判定”教學(xué)

趙老師施教的內(nèi)容是浙教版八年級下冊第五章第二節(jié)“平行四邊形的判定”。教學(xué)中趙教師補(bǔ)充的一個推論是“如果一個四邊形兩組對角相等，則這個四邊形是平行四邊形”。即：已知在平行四邊形ABCD中，∠A=∠C,∠B=∠D。求證四邊形ABCD是平行四邊形。（題目出示后，學(xué)生思考幾分鐘）

師：哪位同學(xué)能夠說一下證明思路？

生1：連結(jié) BD，我想證明∠1=∠2，因此來證明△ABD≌△BCD（如圖1）。

師：請接著講。

生 1：因為 BD=BD，AD=BC,AB=CD,

所以△ABD≌△BCD(SSS)，

所以∠1=∠2，于是AD∥BC。

同理，AB∥CD，

所以四邊形ABCD是平行四邊形。

師：為什么 AD=BC，AB=CD？

生1：四邊形ABCD是平行四邊形??！所以對邊相等。（還挺自信的）

師：同學(xué)們，我們的題目是要求證明四邊形ABCD是平行四邊形，你怎么說它已經(jīng)是平行四邊形了呢？那不是不用證了嗎？請你坐下，再仔細(xì)想想。

（生1無言以對，一臉茫然地坐下。）

教師又叫了一位學(xué)生，問：你是怎么想的？

生2：過D、C兩點分別向AB邊作垂線段，我想證明高DH、CG相等，為此想證明△ADH≌△BGC。

在生2的證明中還是不知不覺地利用了“四邊形ABCD是平行四邊形”，證明失敗之后，又企圖證明DH=KB，還是沒有成功（如圖2）。

圖2

接著，學(xué)生3作了兩條高，企圖證明DN=MB，為此想證明四邊形MBND是矩形，也都失敗了（如圖3）。

圖3

學(xué)生的這些“證明思路”都是無意之中默認(rèn)了“四邊形ABCD是平行四邊形”的緣故。這顯然都是直覺圖形惹的禍！

剖析：

數(shù)學(xué)直覺作為數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)端、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的奠基石，它是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有所發(fā)現(xiàn)、有所創(chuàng)造、有所發(fā)展的基礎(chǔ)和前提，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中起著重要的作用。但是在初學(xué)幾何的時候，由于學(xué)生對直觀圖形的認(rèn)知相當(dāng)直接、相當(dāng)明白，因此它常常在學(xué)生的解題中惹起事端。因為幾何的體系是從給出的已知條件出發(fā)，根據(jù)某些定理推到結(jié)論。解題中，學(xué)生所運(yùn)用的依據(jù)只有兩個：一是已知條件，二是已經(jīng)學(xué)過的定理或定義等。圖形里面看來正確的東西（我們姑且把它稱為“圖形信息”）是不能作為推理的依據(jù)的。但是由于學(xué)生尚處于借助直觀進(jìn)行初步的形象思維階段，對這樣的邏輯系統(tǒng)一時難以適應(yīng)，于是就帶來了有意無意地使用“圖形信息”的錯誤，不經(jīng)意間有時也常給我們教學(xué)惹禍。

化解對策：

在解題教學(xué)中，如何幫助學(xué)生克服這類低級錯誤？除了在遇到這種情況時能著力指出錯誤根源，幫助學(xué)生糾正之外，我們還可以采取如下的一些方法。

1.畫“殘缺圖形”和“不正確圖形”法。為了讓學(xué)生不受或少受直覺的干擾，例如前面趙老師的課，如果教師把圖形故意畫成不正確的圖（如圖4），直覺的干擾可能會少些，當(dāng)然也可以畫成殘缺圖形。

圖4

2.通過不同途徑，讓學(xué)生多體會“眼見不一定為實”。

初學(xué)幾何，學(xué)生往往憑直覺想當(dāng)然。不認(rèn)真分析題目的已知條件就草率下結(jié)論，從而導(dǎo)致錯誤。例如，比較圖5兩幅圖形中線段AB與線段CD的大小。不少學(xué)生不假思索地回答AB小于CD。這時，教師不要急于否認(rèn)學(xué)生的答案，可以組織學(xué)生自己親自動手量一量或者教師利用幾何畫板等現(xiàn)代化教學(xué)手段顯示出他們的實際長度，學(xué)生內(nèi)心一定有強(qiáng)烈的震動，從而深切地體會到“眼見不一定為實”，直覺雖好但有時也會“惹禍不少”。

圖5

通過觀察、測量、計算、作圖等實踐活動，可以深化學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解。所以在化解“直覺惹禍”的過程中一定要注意學(xué)生的主體參與，力爭讓學(xué)生多體驗、多體會、多經(jīng)歷。只有經(jīng)過參與其中的體驗活動，學(xué)生才能真正做到將知識內(nèi)化，轉(zhuǎn)化為自己的知識。

3.舉反例是化解“直覺解題惹禍”的重要途徑。

反例在辨析錯誤中具有直觀、說服力強(qiáng)等突出特點。在教學(xué)中，我們要注重反例的運(yùn)用，這不但能使學(xué)生發(fā)現(xiàn)錯誤和漏洞，而且還可以修補(bǔ)相關(guān)知識，學(xué)會多角度考慮問題，從而提高思維的全面性。因此，在化解“直覺解題惹禍”的過程中，這是一種非常有效的“常規(guī)武器”。

例如，判斷下列說法：“底面是正三角形，側(cè)面均為等腰三角形的棱錐是正三棱錐?！笔欠裾_？

圖6

這個命題絕大部分學(xué)生憑自己的直覺進(jìn)行感知解題，覺得其正確性不容懷疑。但是條件“側(cè)面是等腰三角形”并不等同于條件“側(cè)面是全等的等腰三角形”。如圖6，底面ABC是正三角形，DA垂直于平面 ABC，并且 DA=AB，這樣側(cè)面△ABD，△ACD均是等腰直角三角形，△DBC是等腰三角形，符合題設(shè)諸條件。但顯然此棱錐不是正三棱錐。

數(shù)學(xué)家伊思·斯圖爾特曾經(jīng)說過：“數(shù)學(xué)的全部力量就在于直覺和嚴(yán)格性巧妙的結(jié)合在一起，受控制的精神和富有美感的邏輯。”受控制的精神和富有美感的邏輯正是數(shù)學(xué)的魅力所在，也是數(shù)學(xué)教育者努力的方向。在教學(xué)中，我們要充分發(fā)揮好直覺的威力，同時也游刃有余地化解“直覺解題所惹的禍”，充分發(fā)揮我們的聰明才智，為提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)素養(yǎng)而不懈努力。

[1]郭允遠(yuǎn).注意加強(qiáng)非邏輯思維訓(xùn)練[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2008.（2）.

[2]姚文孝.數(shù)學(xué)思想方法論選講[M].長春：東北師范大學(xué)出版社，2001.