“一線三等角”問(wèn)題學(xué)生解題調(diào)查

浙江省杭州市勝藍(lán)中學(xué) 吳瑩瑩

一、原題呈現(xiàn) 題源分析

原題：如圖 1，在 △ABC中，AB=AC=10，在BC邊上取點(diǎn)D使BD=6，連結(jié)AD。以AD為一邊作∠ADE=∠B交邊AC于點(diǎn)E。若，求 cos∠AED的值。

圖1

圖2

題源分析：本題由兩個(gè)簡(jiǎn)單圖形組成，一個(gè)是腰長(zhǎng)為10，底邊長(zhǎng)為16的等腰三角形，在浙教版九下課本P18例1能找到它的原型；另一個(gè)是書(shū)上常見(jiàn)的相似三角形。在浙教版九上數(shù)學(xué)書(shū)P135課內(nèi)練習(xí)2能找到這組相似三角形。

1.如圖2是某市“平改坡”工程中一種坡屋頂?shù)脑O(shè)計(jì)圖，已知原平屋頂?shù)膶挾萳為10m，坡屋頂高度h為3.5m，求斜面鋼條a的長(zhǎng)度和坡角α（長(zhǎng)度精確到0.1m，角度精確到1°）（浙教版教科書(shū)九下數(shù)學(xué)書(shū)P18例1）

2.如圖，D為△ABC的邊上一點(diǎn)，若要使△ABD與△ACB相似，可添加什么條件？你有幾種不同方法？（浙教版教科書(shū)九上數(shù)學(xué)書(shū)P135課內(nèi)練習(xí)2）

二、學(xué)生解法匯集

解法一：解：作AF⊥BC于點(diǎn)F，

由勾股定理得：

由勾股定理得：

解法二：解：作AF⊥BC于點(diǎn)F，AG⊥DE于點(diǎn)G，

同解法一：BF=CF=8，

由勾股定理得

解法三：作AF⊥BC于點(diǎn)F，作DH⊥AC于點(diǎn)H，

同 解 法 二 得 ：BF=8

解法四：作AF⊥BC于點(diǎn)F，作MA⊥AC交ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M.

同 解 法 三 得 ：BF=8，△ABD≌△DCE，CE=BD=6，

三、數(shù)據(jù)分析

觀成，朝暉，勝藍(lán)，啟航，江南實(shí)驗(yàn)共700名初三學(xué)生參加測(cè)試。筆者對(duì)各種數(shù)據(jù)作了匯總分析。

杭城5所初中本題解法及得分統(tǒng)計(jì)表

四、解法調(diào)查

1.課堂中要重視培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性。在調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，觀成跟江南實(shí)驗(yàn)兩所學(xué)校得分率相對(duì)較高。這與學(xué)生本身的素質(zhì)息息相關(guān)，也和教師的教法有關(guān)。教師在教學(xué)過(guò)程中只是一名學(xué)習(xí)的組織者，引導(dǎo)者與合作者。這樣的教學(xué)方式改變了傳統(tǒng)的教學(xué)模式——老師講，學(xué)生聽(tīng)。馬成瑞在《中學(xué)數(shù)學(xué)兩種思維結(jié)合學(xué)習(xí)論》中闡述：數(shù)學(xué)中經(jīng)常用到正向思維、逆向思維以及多向思維，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維的靈活性。所以在課堂中培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性是非常重要的。

2.課堂中要重視培養(yǎng)學(xué)生思維的主動(dòng)性。

每到初三，在傳統(tǒng)教學(xué)模式中，往往逃不掉題海戰(zhàn)術(shù)，試圖通過(guò)學(xué)生不停地做題，以求學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的靈活運(yùn)用，從本次的調(diào)查中可看出這種做法收效甚微，在新課標(biāo)下的教學(xué)模式，要求教師在教學(xué)過(guò)程中由主導(dǎo)為引導(dǎo)，如本題，如果直接求∠AED的余弦值是非常困難的，此時(shí)要求學(xué)生利用所學(xué)知識(shí)，在圖中找到與∠AED相等的角，算出與之相等的角的余弦值，從而求得∠AED的余弦值。因此我們?cè)诮虒W(xué)過(guò)程中應(yīng)該重視培養(yǎng)學(xué)生思維的主動(dòng)性。

3.課堂中要重視培養(yǎng)學(xué)生思維的創(chuàng)造性。

本題中343位學(xué)生都想到了去構(gòu)造以∠AED為內(nèi)角的直角三角形。這樣的定式思維把解題過(guò)程復(fù)雜化，從數(shù)據(jù)上也可以發(fā)現(xiàn)解法二、三的得分率較低。解法一更具創(chuàng)造性，得分率明顯提高。新課標(biāo)下，在教學(xué)過(guò)程中教師應(yīng)該把數(shù)學(xué)思想方法慢慢滲透到每道題中，讓學(xué)生自然而然找到最優(yōu)解題方法。讓我們更新教學(xué)觀念，讓學(xué)生創(chuàng)造性思維的火花在課堂上熠熠生輝。

解題時(shí)，既要注意一題多解，也要注意一題多變，更要重視多題一解，力求做一題通一類(lèi)，做一類(lèi)歸一題，切實(shí)提高學(xué)習(xí)能力。通過(guò)本次對(duì)這“一線三等角”問(wèn)題的調(diào)查，教師在日常教學(xué)中要重視培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性、主動(dòng)性、創(chuàng)造性。充分發(fā)揮引導(dǎo)作用，讓學(xué)生在自主學(xué)習(xí)的過(guò)程中快速有效地解答問(wèn)題。

[1]教育部審定.義務(wù)教育教科書(shū)數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)[M].杭州：浙江教育出版社，2013.7.

[2]馬成瑞.中學(xué)數(shù)學(xué)兩種思維結(jié)合學(xué)習(xí)論[M].北京：教育科學(xué)出版社，2016.11.