例談小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的建模過程

摘 要：數(shù)學(xué)建模是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要途徑，體現(xiàn)了解決實(shí)際問題的真實(shí)全面的過程。在教學(xué)中要通過實(shí)驗(yàn)操作、符號(hào)抽象、探尋關(guān)系等方法幫助學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)模型。

關(guān)鍵詞：實(shí)驗(yàn)操作；符號(hào)語言抽象；探尋關(guān)系

作者簡介：朱萍萍，江蘇省揚(yáng)州市湯汪中心小學(xué)教師。（江蘇 揚(yáng)州 225000）

中圖分類號(hào)：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1671-0568（2018）07-0009-03

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》指出：“在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷建模過程，感悟模型思想?！毙W(xué)階段作為模型思想教學(xué)的初級(jí)階段，應(yīng)當(dāng)抓住合適的時(shí)機(jī)、利用適當(dāng)?shù)膬?nèi)容、采取恰當(dāng)?shù)姆绞阶寣W(xué)生來體驗(yàn)和感悟模型思想，經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的過程。對(duì)于小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)而言，建模的過程實(shí)際上就是學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)經(jīng)歷“數(shù)學(xué)化”的過程；對(duì)于建模教學(xué)的過程而言，實(shí)際上就是從現(xiàn)實(shí)生活或具體的情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，通過動(dòng)手操作、觀察、分析、推理等數(shù)學(xué)活動(dòng)完成模型的構(gòu)建，對(duì)模型進(jìn)行分析、檢驗(yàn)的過程。

一、通過實(shí)驗(yàn)操作建構(gòu)數(shù)學(xué)模型

一個(gè)數(shù)學(xué)模型的建立，往往需要對(duì)事物關(guān)系進(jìn)行多層次的發(fā)現(xiàn)，多批次的實(shí)驗(yàn)，獲得一些數(shù)據(jù)或認(rèn)識(shí)。小學(xué)生由于年齡及心理的差異，愛玩、好動(dòng)，抽象思維差，思維正處在具體形象為主的階段。例如，在教學(xué)“三角形三邊關(guān)系”這一課時(shí)，三角形的三邊關(guān)系是需要學(xué)生建構(gòu)關(guān)于三角形邊的模型結(jié)構(gòu)，而這個(gè)關(guān)系學(xué)生往往不容易發(fā)現(xiàn)，如果教師采用直接口述的方式，會(huì)不利于數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成。對(duì)此，教師可以借助直觀實(shí)物引導(dǎo)學(xué)生開展實(shí)驗(yàn)操作活動(dòng)，經(jīng)歷建構(gòu)模型的過程，豐富學(xué)生動(dòng)手操作的體驗(yàn)。教學(xué)中筆者設(shè)計(jì)了一系列的實(shí)驗(yàn)操作活動(dòng)：

環(huán)節(jié)一：提出問題。學(xué)生完成下面的實(shí)驗(yàn)操作活動(dòng)：任意選三根小棒，是不是都能圍成一個(gè)三角形？

在8cm、5cm、4cm、2cm四根小棒中，任選三根小棒搭一搭，看是不是任意的三根小棒都能圍成三角形？（表1）

結(jié)論：任意三根小棒 （一定/不一定）能圍成三角形。

學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)：任意選三根小棒不一定能圍成三角形。在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生思考：為什么8cm、5cm、2cm以及8cm、4cm、2cm不能圍成三角形？學(xué)生會(huì)說：5cm和2cm搭的時(shí)候夠不著，4cm和2cm搭的時(shí)候也是這樣的。進(jìn)而引導(dǎo)得出猜想：兩條邊的長度加起來要比第三條邊長。

環(huán)節(jié)二：要想圍成一個(gè)三角形，三根小棒中兩條邊的長度加起來是不是要比第三條邊的長？帶著這樣的問題完成下面的實(shí)驗(yàn)。（表2，P10）

學(xué)生在實(shí)驗(yàn)的過程中發(fā)現(xiàn)：因?yàn)?cm和3cm合起來剛好等于8cm，圍不成三角形；8cm、5cm合起來是13cm，也圍不起來；8cm、5cm的和比14小，也圍不起來；其余的情況都可以圍成三角形。從而進(jìn)一步確信自己的猜想：要想圍成三角形，任意兩條邊的長度和要大于第三邊。

1. 從圍成三角形的三根小棒中任意選出兩根，將它們長度的和與第三根比較，結(jié)果怎樣？

□+□○□ □+□○□ □+□○□

2. 自己任意畫兩個(gè)三角形，先量一量（用毫米做單位，標(biāo)出長度），再算一算。

① □+□○□ ② □+□○□

□+□○□ □+□○□

□+□○□ □+□○□

結(jié)論：

環(huán)節(jié)三：是不是三角形的任意兩條邊長度之和都大于第三邊？再次通過對(duì)已有三角形邊的長度的測(cè)量操作進(jìn)行驗(yàn)證。

經(jīng)過三個(gè)環(huán)節(jié)的實(shí)驗(yàn)操作，學(xué)生的認(rèn)識(shí)逐步深刻，從而建立起了三角形三邊關(guān)系的模型，即：三角形任意兩邊之和大于第三邊。

二、引用符號(hào)語言幫助建構(gòu)數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)語言有三種常用的表現(xiàn)形態(tài)，即文字語言形態(tài)、符號(hào)語言形態(tài)和圖形語言形態(tài)。在小學(xué)教學(xué)中，隨著年級(jí)的升高，圖形、符號(hào)語言形態(tài)呈逐步增多的趨勢(shì)。在數(shù)學(xué)建模過程中，要引導(dǎo)學(xué)生嘗試用圖形、符號(hào)等語言進(jìn)行抽象建構(gòu)、表達(dá)模型。如“蘇教版”六年級(jí)“解決問題的策略——假設(shè)”教學(xué)，問題中有兩種未知量，需要通過假設(shè)化歸為一種未知量，從而解決問題。而假設(shè)的關(guān)鍵是如何進(jìn)行數(shù)量關(guān)系的轉(zhuǎn)化，從而完成數(shù)量關(guān)系的重新建構(gòu)。教學(xué)時(shí)筆者嘗試讓學(xué)生用自己的畫圖經(jīng)驗(yàn)逐步抽象出解決問題的數(shù)量關(guān)系模型。

例題：將720毫升果汁倒入1個(gè)大杯和6個(gè)小杯，正好倒?jié)M。小杯的容量是大杯的1/3，小杯和大杯的容量各是多少毫升？

學(xué)生很快找到題目中的數(shù)量關(guān)系式：6個(gè)小杯容量+1個(gè)大杯容量=720毫升；小杯容量×3=大杯容量。這是含有兩個(gè)未知量的問題，學(xué)生很快想到將兩種杯子假設(shè)成一種杯子。如何將兩個(gè)未知量變成一個(gè)未知量，題目中的數(shù)量關(guān)系式又會(huì)怎樣變化？學(xué)生將他們的想法畫在了作業(yè)紙上。

展示學(xué)生的學(xué)習(xí)單，發(fā)現(xiàn)學(xué)生出現(xiàn)了畫線段圖、畫圓圈等方法。

（1）畫線段。

（2）畫圓圈。

通過畫圖將兩種杯子如何逐步抽象假設(shè)成一種杯子的過程變得直觀清晰；通過畫圖學(xué)生能夠更清楚地整合題目中的數(shù)量關(guān)系：“6個(gè)小杯容量+1個(gè)大杯容量=720毫升”“小杯容量×3=大杯容量”，建構(gòu)了9個(gè)小杯容量=720毫升或3個(gè)大杯容量=720毫升這樣簡單的數(shù)量關(guān)系模型。學(xué)生將假設(shè)用符號(hào)語言描述出來，將兩種未知量逐步抽象成一種未知量，從而建構(gòu)出只有一種未知量的數(shù)量關(guān)系式。

三、通過探尋關(guān)系建構(gòu)數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)模型是通過數(shù)學(xué)語言、符號(hào)和圖形等形式來刻畫、描述、反映特定的問題或具體事物之間關(guān)系的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)模型的價(jià)值體現(xiàn)在建立過程及以此去解決實(shí)際問題，在問題解決中自覺主動(dòng)地尋求適應(yīng)需求的數(shù)學(xué)模型，才是學(xué)生真正具有模型意識(shí)的具體體現(xiàn)。

例如，在六年級(jí)教材中多次出現(xiàn)“圓與正方形關(guān)系”的內(nèi)容，學(xué)生往往就題論題，沒有形成建模意識(shí)，若題目稍加變化就會(huì)顯得束手無策。如果嘗試用數(shù)學(xué)建模的思想來指導(dǎo)解決此類問題，就能引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入到數(shù)學(xué)的一個(gè)新天地。

例1：（如圖1）從一個(gè)面積是12平方厘米的正方形紙板上剪下一個(gè)最大的圓，求圓的面積。

按常規(guī)思路，求圓的面積需要半徑長度，顯然這道題不具備這樣的條件，那么就要引導(dǎo)學(xué)生思考：在正方形中剪一個(gè)最大的圓，這個(gè)圓與正方形的面積有什么關(guān)系？

這時(shí)筆者引導(dǎo)學(xué)生回顧探究圓面積公式的過程（如圖2），可以發(fā)現(xiàn)正方形的邊長即為圓的半徑，那么，圓的面積就是正方形面積的π倍。引導(dǎo)學(xué)生思考將圖1中大正方形平均分成4份（如圖3），那么圓的面積就是1/4個(gè)大正方形面積的π倍，也就是說在正方形紙中剪一個(gè)最大的圓，這個(gè)圓的面積就是這個(gè)正方形面積的π/4倍。所以，圓的面積就是12×π/4=9.42（平方厘米）。

接著出示例2：（如圖4）在圓中剪一個(gè)最大的正方形，正方形的面積是10平方厘米，圓的面積是多少平方厘米？

通常求解正方形的面積，我們是用邊長×邊長得到的，而此題只是告訴我們正方形的面積是10平方厘米，正方形的邊長是無法得知的，那就需要探尋此時(shí)正方形面積與圓的面積的關(guān)系。

學(xué)生受前面解題經(jīng)驗(yàn)的影響，會(huì)設(shè)法將正方形進(jìn)行改變，將正方形平均分成四個(gè)相等的等腰直角三角形（如圖5）。那么，兩個(gè)等腰直角三角形就可以拼成邊長為r的小正方形（圖5中虛線部分），就可以看出圓面積是這個(gè)小正方形面積的π倍，從而得出圓面積就是這個(gè)大正方形面積的π/2倍。所以，圓的面積就是10×π/2=15.7平方厘米。

總之，建模是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種新的方式，它為學(xué)生提供了自主學(xué)習(xí)的空間，有助于學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問題中的價(jià)值和作用。但是，學(xué)生在建模過程中一定會(huì)遇到諸多的困難，教師應(yīng)鼓勵(lì)他們敢于質(zhì)疑、猜想、發(fā)表自己獨(dú)特的見解，使建構(gòu)活動(dòng)更為豐富多彩。

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責(zé)任編輯 黃 晶