解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中建立數(shù)學(xué)模型的方法探析

摘 要：新課標(biāo)將模型思想作為唯一一個(gè)以“思想”指稱的十大核心概念提了出來(lái)，說(shuō)明了模型思想的重要，它是聯(lián)系數(shù)學(xué)知識(shí)與現(xiàn)實(shí)生活的橋梁。小學(xué)數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問(wèn)題教學(xué)中應(yīng)將建模作為主線，在建模的過(guò)程中逐步將學(xué)生的感性認(rèn)識(shí)上升為理性思維，將生活現(xiàn)象上升為對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)。本文從“比較，建立直觀模型”“分析，建立算式模型”“溝通，建立關(guān)系模型”等方面，以“求兩數(shù)相差多少的實(shí)際問(wèn)題”為例，談?wù)勅绾卧诮鉀Q實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中建模。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；解決問(wèn)題；數(shù)學(xué)模型；應(yīng)用模型

作者簡(jiǎn)介：曹瑩瑩，江蘇省揚(yáng)州市灣頭中心小學(xué)教師。（江蘇 揚(yáng)州 225000）

中圖分類(lèi)號(hào)：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1671-0568（2018）07-0014-03

“解決問(wèn)題”是指應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法解決實(shí)際問(wèn)題，小學(xué)數(shù)學(xué)中的解決問(wèn)題作為聯(lián)系數(shù)學(xué)知識(shí)與現(xiàn)實(shí)生活的橋梁，是各項(xiàng)數(shù)學(xué)知識(shí)的整合體現(xiàn)，是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，也是數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)。如何幫助學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中理清數(shù)量關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型呢？“數(shù)學(xué)建模”是通過(guò)建立模型的方法來(lái)求得問(wèn)題解決的數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程，即“把現(xiàn)實(shí)世界中的實(shí)際問(wèn)題加以提煉，抽象為數(shù)學(xué)模型，求出模型的解，驗(yàn)證模型的合理性，并用該數(shù)學(xué)模型所提供的解答來(lái)解釋現(xiàn)實(shí)問(wèn)題”分析和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程，就是解釋與應(yīng)用模型的過(guò)程。下文就以“蘇教版”一年級(jí)（下冊(cè)）“求兩數(shù)相差多少的實(shí)際問(wèn)題”為例，談?wù)劸唧w的做法。

一、比較，建立直觀模型

任何數(shù)學(xué)模型的建立都具有具體的現(xiàn)實(shí)情境，教師要從學(xué)生的實(shí)際生活出發(fā)，創(chuàng)設(shè)與現(xiàn)實(shí)生活緊密聯(lián)系的問(wèn)題情境，喚起學(xué)生對(duì)生活原型的回憶，在新的數(shù)學(xué)問(wèn)題與生活問(wèn)題之間建立一種實(shí)質(zhì)性的聯(lián)系，并引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)際情境中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題。發(fā)現(xiàn)、提出問(wèn)題是構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的知識(shí)基礎(chǔ)，是學(xué)生充分感知、體驗(yàn)的過(guò)程，是獲得對(duì)模型豐富、深刻認(rèn)識(shí)的過(guò)程，只有真正理解透徹了，才能建構(gòu)好數(shù)學(xué)模型。

筆者在教學(xué)“求兩數(shù)相差多少的實(shí)際問(wèn)題”時(shí)，首先出示三組物體圖片（圖1）。

讓學(xué)生說(shuō)一說(shuō)，每組中誰(shuí)比誰(shuí)多（少），多（少）幾個(gè)？你是怎么看出來(lái)的？

通過(guò)排列比較，學(xué)生就會(huì)發(fā)現(xiàn)，把兩種小動(dòng)物一個(gè)對(duì)著一個(gè)排整齊，可以一眼看出誰(shuí)多誰(shuí)少，相差幾個(gè)。再通過(guò)追問(wèn)“怎么數(shù)的？”引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)求“誰(shuí)比誰(shuí)多幾個(gè)，或誰(shuí)比誰(shuí)少幾個(gè)”，直接數(shù)后面多出來(lái)的部分就可以了。

通過(guò)將上面幾幅情境圖的排列演示，引導(dǎo)學(xué)生從多與少的角度充分感受兩個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系，從日常生活現(xiàn)象抽象為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，逐步引發(fā)學(xué)生對(duì)兩個(gè)數(shù)量多與少的感知體驗(yàn)，為建立“兩數(shù)相差多少的實(shí)際問(wèn)題”的方法模型做好充分的準(zhǔn)備。

接著出示兩根紙條，要求學(xué)生比長(zhǎng)短（圖2）。通過(guò)交流進(jìn)一步明確，只要將紙條一端對(duì)齊，量出多余的部分就是兩根紙條相差的。

三幅實(shí)物圖的比較感知，以及兩根紙條的操作活動(dòng)，學(xué)生逐步認(rèn)識(shí)到比較兩個(gè)數(shù)量多少的基本方法，即一端對(duì)齊，看另一端相差多少，建立了關(guān)于比較兩個(gè)數(shù)量的直觀模型，為進(jìn)一步的抽象奠定了感性基礎(chǔ)。

二、分析，建立算式模型

數(shù)學(xué)模型有利于幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)并理解知識(shí)的本質(zhì)，能幫助學(xué)生從具體到抽象，從現(xiàn)象到本質(zhì)地認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)。直觀模型是解決問(wèn)題數(shù)學(xué)模型的初級(jí)階段，為數(shù)學(xué)模型的建立提供了可能，要使學(xué)生將數(shù)學(xué)問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)模型，必須要讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)化和再創(chuàng)造的過(guò)程，形成抽象的算式模型。

1. 出示主題圖（圖3）。

（1）喚醒：怎樣才能知道誰(shuí)抓得多，多多少呢？

怎樣排列更好？（引導(dǎo)學(xué)生一一對(duì)應(yīng)排列）

哪種顏色的花片多，多幾個(gè)？從哪兒看出來(lái)的？

（2）探究：能用算式表示嗎？算式里每個(gè)數(shù)各表示什么意思？為什么從紅花片的個(gè)數(shù)里去掉藍(lán)花片的個(gè)數(shù)就得到紅花片比藍(lán)花片多的個(gè)數(shù)？為什么這樣列式呢？

（3）反思：剛才我們?cè)诮鉀Q哪種花片多多少這個(gè)問(wèn)題的時(shí)候，可以用排一排再比一比的方法，也可以列算式計(jì)算這種方法，你喜歡哪一種？為什么呢？

老師調(diào)動(dòng)學(xué)生已經(jīng)形成的直觀模型的表象，讓學(xué)生用學(xué)具排一排、比一比的方法解決“紅花片比藍(lán)花片多多少個(gè)”這一問(wèn)題。再借助直觀演示理解算式13-8的含義，即：藍(lán)花片和紅花片中的一部分同樣多（用一條虛線隔開(kāi)），從紅花片里去掉和藍(lán)花片同樣多的部分，剩下的就是相差的數(shù)量。至此，學(xué)生完成了從直觀比較到算式模型的建構(gòu)過(guò)程。最后討論“藍(lán)花片比紅花片少多少個(gè)”這一問(wèn)題，使學(xué)生對(duì)求一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)多多少，或求一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)少的問(wèn)題模型形成較為完整的認(rèn)識(shí)。

2. 出示圖4、圖5。

要求學(xué)生先用算式解決上面兩個(gè)問(wèn)題，再讓學(xué)生說(shuō)說(shuō)為什么可以這樣列式，并結(jié)合圖示幫助學(xué)生理解。通過(guò)用長(zhǎng)方形直條圖來(lái)表示兩個(gè)數(shù)量，通過(guò)直條圖的比較，將具體事物轉(zhuǎn)化為抽象圖形。引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)說(shuō)解決問(wèn)題的方法，重點(diǎn)引導(dǎo)他們理解算式的意義。

接著將前面解決的三個(gè)問(wèn)題一并出示，如圖6，引導(dǎo)學(xué)生回顧這三個(gè)問(wèn)題的解決過(guò)程，比較這三個(gè)問(wèn)題的結(jié)構(gòu)以及解決問(wèn)題的方法有什么相同之處，幫助學(xué)生歸納出解決“求一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)多幾或少幾”這類(lèi)實(shí)際問(wèn)題的方法模型，即“用較多的數(shù)減去較少的數(shù)”。

三、溝通，建立關(guān)系模型

建立數(shù)學(xué)模型的目的是更好地描述自然現(xiàn)象和社會(huì)現(xiàn)象，從而幫助人們更好地去認(rèn)識(shí)自然、認(rèn)識(shí)社會(huì)、改造自然、改造社會(huì)。建立數(shù)學(xué)模型是把一個(gè)實(shí)際問(wèn)題中事物的主要特征、主要關(guān)系抽象成數(shù)學(xué)語(yǔ)言，同時(shí)傳授給學(xué)生一些數(shù)學(xué)思想和方法，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。對(duì)所建立的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行應(yīng)用，變學(xué)數(shù)學(xué)為用數(shù)學(xué)，讓數(shù)學(xué)模型具有生命活力。

有效模型的運(yùn)用可讓學(xué)生在建模基礎(chǔ)上提升認(rèn)識(shí)，加深感悟。用所建之模來(lái)解決生活實(shí)際中的問(wèn)題，可以讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用價(jià)值，增強(qiáng)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)，學(xué)生在實(shí)際應(yīng)用中能認(rèn)識(shí)新問(wèn)題、感悟新方法、拓展新認(rèn)知，構(gòu)建自己的知識(shí)體系。構(gòu)建模型的過(guò)程是由具體、逐步到抽象的過(guò)程，而運(yùn)用模型的過(guò)程則是將數(shù)學(xué)模型應(yīng)用于問(wèn)題解決的過(guò)程。

教師在應(yīng)用環(huán)節(jié)出示一組比較練習(xí)：

（1）一年級(jí)小朋友做了45朵紙花，送給幼兒園20朵，還剩多少朵？

（2）一年級(jí)小朋友做了45朵紙花，送給幼兒園一些，還剩20朵，送給幼兒園多少朵？

（3）一年級(jí)小朋友做了45朵紙花，幼兒園小朋友做了20朵，一年級(jí)小朋友比幼兒園小朋友多做多少朵？

這三個(gè)問(wèn)題中前面兩個(gè)問(wèn)題是學(xué)生以前學(xué)過(guò)的，第三個(gè)問(wèn)題是今天學(xué)習(xí)的，但有一個(gè)共同點(diǎn)，即都是用減法計(jì)算。教師在教學(xué)中逐題出示，請(qǐng)學(xué)生列式解答。接著進(jìn)行追問(wèn)：“這三道題意思不一樣，為什么都用減法計(jì)算？”組織學(xué)生討論后，再通過(guò)示意圖（圖7）的演示，幫助學(xué)生明白其中的內(nèi)涵。

這是“兩數(shù)相差多少”實(shí)際問(wèn)題的建立模型后的一個(gè)獨(dú)立練習(xí)，是對(duì)已掌握數(shù)學(xué)模型的運(yùn)用和內(nèi)化的過(guò)程。這其中不僅有“兩數(shù)相差多少”的問(wèn)題，還有之前學(xué)的“求減數(shù)是多少”的問(wèn)題，不是簡(jiǎn)單地套用模型，而要通過(guò)分析各自的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行解答。三個(gè)問(wèn)題的比較在很大程度上幫助學(xué)生深刻領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)，建構(gòu)數(shù)學(xué)體系。學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中，經(jīng)歷了理解分析和比較的數(shù)學(xué)化思維活動(dòng)，培養(yǎng)了學(xué)生多角度思考問(wèn)題的能力。在比較中，學(xué)生對(duì)兩數(shù)相差多少就是“用多的數(shù)減去少的數(shù)”這一模型有了更深刻的認(rèn)識(shí)，同時(shí)豐富了學(xué)生對(duì)減法模型的理解。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程既是解決問(wèn)題的過(guò)程，也是建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程。教師不僅要向?qū)W生滲透模型思想，還要教會(huì)學(xué)生如何建立模型，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用觀察、分析、比較、抽象、概括等思維方法。讓學(xué)生親身經(jīng)歷將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題，生活原型轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，將具體事物轉(zhuǎn)化為邏輯抽象的過(guò)程。只有積累將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題數(shù)學(xué)化的經(jīng)驗(yàn)，感受數(shù)學(xué)模型的思想、方法及其價(jià)值，才能提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

欄目策劃 韋波富 責(zé)任編輯 黃 晶