設(shè)計單元整體復(fù)習(xí)驅(qū)動數(shù)學(xué)思維生長

顧大權(quán)

摘 要：數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課要在已有知識的基礎(chǔ)上，系統(tǒng)回顧知識，經(jīng)歷知識的發(fā)展完善過程，感受數(shù)學(xué)研究的思路方法，感悟數(shù)學(xué)思想，驅(qū)動數(shù)學(xué)思維生長.借助于單元整體復(fù)習(xí)可以整合核心的知識內(nèi)容，反映知識的本質(zhì)，重構(gòu)教學(xué)價值，更好地發(fā)展學(xué)生的思維.

關(guān)鍵詞：單元復(fù)習(xí)；整體復(fù)習(xí)；思維生長

數(shù)學(xué)是思維的體操，數(shù)學(xué)課堂是思維活動的課堂，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的目的是讓學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)的思考，發(fā)展數(shù)學(xué)思維.借助于單元整體復(fù)習(xí)設(shè)計可以整合單元核心的知識內(nèi)容，站在新的起點上，系統(tǒng)回顧知識，反映知識的本質(zhì)，重構(gòu)教學(xué)價值，感悟數(shù)學(xué)思想，并在感受知識發(fā)展過程的同時，驅(qū)動思維不斷生長，從膚淺走向深刻，形成深度思維.

單元復(fù)習(xí)設(shè)計就是從一章或者一個單元的角度出發(fā)，根據(jù)章節(jié)或單元中不同知識點的需要，綜合利用各種教學(xué)形式和教學(xué)策略，通過整合復(fù)習(xí)讓學(xué)生對一個相對完整的知識單元有本質(zhì)的認(rèn)識，弄清知識間的相互聯(lián)系.單元復(fù)習(xí)要向?qū)W生傳遞知識的整體性、聯(lián)系性、發(fā)展性和綜合性，讓學(xué)生在掌握知識、理解內(nèi)涵的基礎(chǔ)上驅(qū)動思維不斷生長.

一、經(jīng)歷知識發(fā)展的過程中驅(qū)動思維不斷生長

在蘇科版《數(shù)學(xué)》九年級下冊“第7章銳角三角函數(shù)”的復(fù)習(xí)中，教材的例題和習(xí)題中多次出現(xiàn)一個“主題圖”，即兩個直角三角形的組合圖形，它貫穿整個章節(jié).如何發(fā)展這個主題圖的價值和作用，筆者做了如下的整體復(fù)習(xí)設(shè)計.

1.從同學(xué)們熟悉的兩個直角三角板入手，如圖1所示，問題1：若BC=2，DE=2，你能求出其他的邊長嗎？問題2：若任給三角形的一條邊長為2，你能求得其他的邊長嗎？

【設(shè)計意圖】對于上述兩個問題，學(xué)生由于對特殊三角函數(shù)值的掌握或?qū)μ厥馊切蔚氖煜?，很容易求得邊長.這里主要加強(qiáng)學(xué)生對基礎(chǔ)知識的熟練掌握.

2.如圖2，在△ABD中，已知∠A=30°，∠BDC=45°，BC⊥AD.

問題1：若BC=2，你能求出其他的邊長嗎？

問題2：若AB=2（BD=2），你能求得其他的邊長嗎？

3. 如圖3，在△ABD中，已知∠A=45°，∠BDC=60°，BC⊥AD.

問題1：若BC=2，你能求出其他的邊長嗎？

問題2：若AB=2（BD=2），你能求得其他的邊長嗎？

【設(shè)計意圖】對于第2、3兩題，學(xué)生發(fā)現(xiàn)是由兩個特殊三角形經(jīng)過拼接形成的，根據(jù)所給的邊長，在每個特殊的三角形中即可解決.這里讓學(xué)生感受復(fù)雜的圖形是由簡單的圖形變換而來的，促進(jìn)學(xué)生思維的生長.

4. 如圖4，在△ABD中，已知∠A=30°，∠BDC=45°.

問題1：若BD=2，你能求出其他的邊長嗎？

問題2：若AB=2，你能求得其他的邊長嗎？

【設(shè)計意圖】通過添輔助線構(gòu)造直角三角形后，學(xué)生逐漸發(fā)現(xiàn)還是由兩個特殊三角形經(jīng)過拼接形成的，根據(jù)前面積累的經(jīng)驗，學(xué)生可以順利解決.此題就是在上題的基礎(chǔ)上變換而來的，解決這類問題的關(guān)鍵就是通過計算得到兩個直角三角形的公共邊，由公共邊就可以聯(lián)系兩個直角三角形，從而解決這類問題.從貌似普通的兩個三角形，學(xué)生經(jīng)過深入思考發(fā)現(xiàn)依然是兩個特殊三角形拼接而成，經(jīng)歷這個過程，學(xué)生的思維再次隨之生長起來.

問題3：若AD=2，你能求得其他的邊長嗎？

【設(shè)計意圖】通過添輔助線構(gòu)造直角三角形后，學(xué)生已經(jīng)知道是由兩個特殊三角形經(jīng)過拼接形成的，但是所給的AD的長不能直接在兩個直角三角形中直接運(yùn)用，解決這類問題的關(guān)鍵是找到公共邊的長，不能找到的情況下則設(shè)未知數(shù)，用未知數(shù)將AD表示出來，通過解方程解決問題.這類問題的處理時不知道任意一個直角三角形的邊長，需要設(shè)未知數(shù)來解決.學(xué)生在同樣的圖形中，發(fā)現(xiàn)條件發(fā)生變化時，處理問題的方法也有所變化，經(jīng)歷解決這類問題的變化后，學(xué)生解決問題的思維能力也隨之發(fā)展起來.

5. 如圖5，在△ABD中，已知∠A=27°，∠BDC=40°，AD=2.（sin27°≈0.45，cos27°≈ 0.89，tan27°≈ 0.51， sin40°≈ 0.64，cos40°≈ 0.77，tan40° ≈ 0.84）

問題：你能求出其他的邊長嗎？

【設(shè)計意圖】由特殊的角度變成一般的角度后，只要提供所需的三角函數(shù)值，學(xué)生還是通過構(gòu)造直角三角形，尋找兩個直角三角形的公共邊，不能直接找到則設(shè)未知數(shù)，在兩個直角三角形中利用邊角之間的關(guān)系表示出AD的長，運(yùn)用方程解決這類問題.通過從特殊到一般，學(xué)生的思維更加明朗，這類問題都可以從兩個直角三角形的公共邊入手加以解決.

主題圖貫穿于整個單元，分布在各個課時里，內(nèi)容也交融在各個課時的內(nèi)容中，在平時的新授課中很難將主題圖過分地鋪展開來，不能很好地發(fā)揮應(yīng)有的作用.在單元復(fù)習(xí)課上，圍繞主題圖做專門的設(shè)計，讓學(xué)生從兩個熟悉的三角板入手，通過拼接逐漸發(fā)展變化形成主題圖，在這個變化過程中如何思考解決這類問題，掌握解決這類問題的能力，并在主題圖發(fā)展變化的過程中思維也隨著一步步逐漸開闊，從狹隘走向廣闊，不斷生長，養(yǎng)成良好的思維品質(zhì).

二、理解知識本質(zhì)的過程中驅(qū)動思維不斷生長

在蘇科版《數(shù)學(xué)》九年級下冊“第5章二次函數(shù)”的復(fù)習(xí)中，二次函數(shù)的圖象是研究二次函數(shù)的性質(zhì)、與一元二次方程的關(guān)系以及解決實際問題的關(guān)鍵，如何在單元整體復(fù)習(xí)中讓學(xué)生通過畫圖、識圖來理解二次函數(shù)圖象的實質(zhì)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提升學(xué)生的能力，筆者做了如下的整體復(fù)習(xí)設(shè)計.

1.描點法畫函數(shù)圖象的步驟是列表、描點、連線，請動手畫函數(shù)y=x2的圖象.

問題1：表格從何而來？表格的意義是什么？

問題2：點從何而來？

問題3：線怎么畫出來？

【設(shè)計意圖】在學(xué)生溫習(xí)畫圖象的過程中，讓學(xué)生理解二次函數(shù)的解析式可以看成是一個方程，方程有無數(shù)個解，每一個解都由x，y這一組數(shù)對組成，而每一個數(shù)對就是一個坐標(biāo)，一個坐標(biāo)就對應(yīng)一個點，許多的點就構(gòu)成了線.表格就是由方程的解而來，表格的意義就是找到了有序?qū)崝?shù)對，即坐標(biāo)，也就是找到了點.這個過程就是由數(shù)到形的轉(zhuǎn)化，即二次函數(shù)→方程→方程的解→有序數(shù)對→坐標(biāo)→點→線[1].學(xué)生經(jīng)歷這個過程，理解了數(shù)到形的實質(zhì)，真正理解了函數(shù)圖象的意義.在這個過程中，找到了數(shù)學(xué)思維能力的突破口，學(xué)生的思維也不斷生長.

2. 二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖7所示.

[O]圖7

問題1：求方程[ax2+bx+c=1]的根.

問題2：求不等式[ax2+bx+c<-2]的解集.

問題3：若方程[ax2+bx+c-k=0]有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍為 .

【設(shè)計意圖】問題1可以通過求二次函數(shù)的解析式，進(jìn)而解一元二次方程求解；這里主要是讓學(xué)生學(xué)會識圖，讓學(xué)生將求方程[ax2+bx+c=1，]的解理解成方程組[y=ax2+bx+c，y=1]的解，方程組的解是找兩個方程[y=ax2+bx+c]和[y=1]的公共解，公共解是兩個方程的公共坐標(biāo)，此時將兩個方程理解成兩個函數(shù)，公共坐標(biāo)是找兩個函數(shù)的交點，通過觀察圖象，從而發(fā)現(xiàn)交點，找到坐標(biāo)就找到了方程的根.問題2是一元二次不等式，初中階段不會解一元二次不等式，只能尋求其他的方法.在上面問題的引導(dǎo)下，就是看成二次函數(shù)[y=ax2+bx+c]和常函數(shù)[y=-2]，不等式[ax2+bx+c<-2]就是拋物線[y=ax2+bx+c]低于直線[y=-2]的部分，通過圖象容易找到兩個函數(shù)的交點，進(jìn)而判斷范圍，從而找到解集.問題3將方程[ax2+bx+c-k=0]理解成方程組[y=ax2+bx+c，y=k，]方程有兩個不相等的實數(shù)根就是方程組有兩組解，就是找兩個方程的兩組解，將兩個方程理解成兩個函數(shù)，兩組解要找兩個函數(shù)何時有兩個交點，通過圖象可以看出當(dāng)[k=-3]只有一個交點，當(dāng)[k>-3]會有兩個交點.這個過程是由形到數(shù)的轉(zhuǎn)化，即圖象→點→坐標(biāo)→有序數(shù)對→方程的解→方程→函數(shù).學(xué)生通過3個問題經(jīng)歷從形到數(shù)的轉(zhuǎn)化，經(jīng)歷了思維過程，學(xué)會了思維的方法，也真正理解了函數(shù)圖象中數(shù)[?]坐標(biāo)[?]點[?]線之間的聯(lián)系，數(shù)學(xué)思維能力不斷得到了生長.

二次函數(shù)的解析式和圖象是二次函數(shù)的核心內(nèi)容，也是解決實際問題的基礎(chǔ)，理解數(shù)與形的實質(zhì)，才能掌握二次函數(shù)與方程之間的內(nèi)在聯(lián)系.復(fù)習(xí)的過程中通過描點法畫二次函數(shù)的圖象，讓學(xué)生經(jīng)歷由數(shù)到形的轉(zhuǎn)化，體會數(shù)到形的本質(zhì).通過觀察圖象經(jīng)歷由形到數(shù)的轉(zhuǎn)化，理解形到數(shù)的本質(zhì).讓學(xué)生真正理解二次函數(shù)數(shù)和形之間的實質(zhì)，在理解的過程中找到思維發(fā)展的突破口，學(xué)會透過現(xiàn)象看本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)展，學(xué)生的思維也隨之從膚淺走向深刻，不斷生長，發(fā)展了數(shù)學(xué)的思維深刻性.

數(shù)學(xué)教學(xué)是思維的教學(xué)，數(shù)學(xué)課堂是有目的、有計劃培養(yǎng)思維能力的課堂，在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中通過單元整體設(shè)計教學(xué)，在知識的聯(lián)系發(fā)展過程激發(fā)每一個思維增長點[2]，拓寬學(xué)生思維的寬度；在理解知識的本質(zhì)過程中激發(fā)思維、拓展思維，才能深化學(xué)生思維的深度，促進(jìn)學(xué)生的思維不斷生長，形成良好的思維品質(zhì).

參考文獻(xiàn)：

[1]毛小芳.數(shù)形結(jié)合應(yīng)落實到“點”上[J].初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2016（7）：43-46.

[2]葉亞美.精心預(yù)設(shè)思維增長點 切實提高思維參與度[J].中國數(shù)學(xué)教育，2015（11）：51-54.