基于課程標準的平方差公式教學思考

摘 要：數(shù)學教學中培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識、幾何直觀、符號意識是新課標的要求.平方差公式是數(shù)學教學的重要內(nèi)容.在平方差公式教學中，教師要結合教學內(nèi)容的特點、學生的數(shù)學認知能力與心理發(fā)展規(guī)律，有針對性地培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識、幾何直觀、符號意識.

關鍵詞：平方差公式；創(chuàng)新意識；幾何直觀；符號意識

伴隨經(jīng)濟全球化、信息網(wǎng)絡化、科技現(xiàn)代化、人工智能化的不斷深入，知識經(jīng)濟時代的來臨，世界人才競爭異常激烈，人才競爭的本質是教育的競爭，誰贏得教育，就意味著贏得世界的未來.為此世界各國都在創(chuàng)新發(fā)展本國的教育，以順應知識爆炸時代社會發(fā)展與個人發(fā)展的需要.我國的《義務教育數(shù)學課程標準 （2011年版）》 （以下簡稱 《標準》）明確指出：“在數(shù)學課程中，應當注重發(fā)展學生的數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運算能力、推理能力和模型思想。為了適應時代發(fā)展對人才培養(yǎng)的需要，數(shù)學課程還要特別注重發(fā)展學生的應用意識和創(chuàng)新意識.”[1]5平方差公式是特殊多項式相乘的重要規(guī)律，是后續(xù)學習的公式法因式分解的基礎，也是進一步學習數(shù)學的重要基礎，在代數(shù)式的恒等變形中有廣泛的應用.平方差公式形成教學中，如何設計，才能實現(xiàn)提高學生的數(shù)學素養(yǎng)？本文就此結合平方差公式教學，談談筆者的思考.

一、教學設計

【A設計】

首先，創(chuàng)設情境，給出符合運用平方差公式計算的兩個多項式相乘問題.（1）（a +4）（ a-4）、（2）（2-a）（2+a）、（3）（x+5y）（x-5y）、（4）（2x+y ）（2x-y ）四個問題讓學生隨意指定一題，教師立即報出答案，激發(fā)學生的求知欲.并且指出，老師有什么法寶嗎？學完本節(jié)課，每個同學都能達到這個水平.其次，學生運用多項式與多項式相乘的法則，驗證教師的答案.再次，探究為什么教師能直接說出結果，學生交流探究，發(fā)現(xiàn)規(guī)律.最后，學生總結探究結果，得到平方差公式[（a+b）（a-b）=a2-b2]，并同時用自然語言與符號語言兩種方式表述平方差公式，并運用多項式與多項式相乘法則證明公式，運用如下圖形面積問題驗證公式.

如圖1，將邊長為 a 的大正方形剪去一個邊長為 b 的小正方形，并將剩余部分沿虛線剪開，得到兩個長方形，再將這兩個長方形拼成如圖2. 你能用這兩個圖來說明平方差公式嗎？

【B設計】

首先，要求學生做一個小小設計師，探究設計如下：如圖1，有一塊邊長為a的正方形草坪，一角損壞，邊長為b的正方形損壞，無法使用，請你設計一下，剪拼成一個長方形，并把面積表示出來.其次，學生運用準備好的正方形紙片，分組操作，并請同學展示操作結果.（如圖2）通過計算得出圖2面積為[（a+b）（a-b）]，圖1面積為[a2-b2]，因為圖1與圖2的面積相等，所以[（a+b）（a-b）=a2-b2].最后，運用多項式與多項式相乘推理得到平方差公式.

【C設計】

首先，教師引導學生復習[a+bm+n].其次，指出具有某種特征的兩個多項式相乘時，它們的乘積會有怎樣的特點，即此式中的[m=a、n=-b]時，則原式化為[a+ba-b].再次，運用多項式與多項式相乘推導公式[a+ba-b]=[a2-b2].最后，運用幾何圖形圖1與圖2加以驗證說明.

【D設計】

首先，教師給出兩道題目，[79×81]、[103×97]，讓學生搶答.要求學生不能用筆算.學生如果能夠快速答出，教師詢問其方法，如果學生不能答出，教師脫口說出“同學們，你知道是如何計算的嗎？”引入新課.其次，給出如下問題串，學生解答.一是現(xiàn)有兩個數(shù)，不知其大小，請你隨意用兩個字母來表示這兩個數(shù).二是請把這兩個數(shù)的和與差分別表示出來.三是將所得的和與差相乘并化簡.四是兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的乘積等于什么？（讓學生用自己的語言描述出來）再次，把學生的答案進行歸納總結，抽象歸納出一般情況，獲得平方差公式，如：[a+ba-b=a2-b2]或[m+n][m-n][=m2-n2]或者[x+yx-y=][x2-y2]等雖然形式不同，但本質是一樣的，是兩個特殊多項式相乘，得出平方差公式. 最后，運用幾何圖形圖1與圖2加以驗證說明.

二、教學思考

（一）創(chuàng)新意識

首先，《國家創(chuàng)新驅動發(fā)展戰(zhàn)略綱要》明確我國創(chuàng)新型國家建設分三步走.第一步，到2020年進入創(chuàng)新型國家行列.第二步，到2030年躋身創(chuàng)新型國家前列.第三步，到2050年建成世界科技創(chuàng)新強國.為實現(xiàn)這個宏偉的目標，教育要為現(xiàn)代社會的發(fā)展培養(yǎng)創(chuàng)新型人才，而創(chuàng)新人才的培養(yǎng)要從娃娃抓起.數(shù)學教學在培養(yǎng)學生創(chuàng)新意識方面具有不可替代的作用，《標準》指出：“創(chuàng)新意識的培養(yǎng)是現(xiàn)代數(shù)學教育的基本任務，應體現(xiàn)在數(shù)學教與學的過程之中.學生自己發(fā)現(xiàn)和提出問題是創(chuàng)新的基礎；獨立思考、學會思考是創(chuàng)新的核心；歸納概括得到猜想和規(guī)律，并加以驗證，是創(chuàng)新的重要方法.創(chuàng)新意識的培養(yǎng)應該從義務教育階段做起，貫穿數(shù)學教育的始終.”[1]5其次，以上四種教學設計，分別運用了不同的方法培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識.

A設計是讓學生在總結歸納中發(fā)現(xiàn)平方差公式，學生通過總結發(fā)現(xiàn)規(guī)律.這個過程，學生要經(jīng)過分析、比較、抽象概括等思維活動，把一些特殊問題一般化，總結出兩個特殊多項式[（a+b）（a-b）=a2-b2]的一般規(guī)律.這個過程，具有一定的創(chuàng)新成分，既能培養(yǎng)學生的抽象概括能力，又能夠使學生在獨立思考中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、總結規(guī)律.

B設計中，讓學生在設計中發(fā)現(xiàn)平方差公式.通過設計，學生很自然地發(fā)現(xiàn)[（a+b）（a-b）=a2-b2].問題的探究過程，是學生對問題充分思考的過程.在此過程中，學生獨立思考問題，發(fā)現(xiàn)問題，并提出問題，充分發(fā)揮學生的創(chuàng)新意識.此外，數(shù)學發(fā)展的歷史也充分說明，在問題的探究過程中，是發(fā)現(xiàn)問題并提出問題創(chuàng)新思維的過程.歷史上費馬大定理的證明過程，也充分說明了在問題的探究過程中，能夠發(fā)現(xiàn)問題這一點.希爾伯特說：費馬大定理是“一只會下蛋的雞”.數(shù)學家在研究費馬大定理的過程中，發(fā)現(xiàn)很多新的數(shù)學規(guī)律.可見在探究過程中，發(fā)現(xiàn)問題是科學向前發(fā)展的重要途徑之一.

C設計中，讓學生運用已學過的知識，推理獲得平方差公式.推理論證是科學向前發(fā)展的非常重要的方法之一，平面幾何的發(fā)展歷程充分說明這一點.學生在推理的過程中，獨立思考的能力會得到充分的發(fā)展，對培養(yǎng)學生的思維能力、創(chuàng)新意識具有不可替代的作用.學生在學習平方差公式前，掌握了多項式與多項式相乘的法則，因此具備了運用推理獲得平方差公式的基礎，充分發(fā)揮個體的認知能力，通過推理獲得創(chuàng)新.

D設計中，運用問題串，讓學生通過問題的不斷深化，遞進式地獲得平方差公式.在此過程中，首先要求學生運用字母代替數(shù)，充分體現(xiàn)代數(shù)的思想.其次學生通過推理獲得表現(xiàn)形式不同的平方差公式，最后通過把不同的表現(xiàn)形式一般化，發(fā)現(xiàn)問題的本質，總結出公式.學生的思維活動一步一步深入，最后通過歸納總結獲得創(chuàng)新的體驗.

總之，創(chuàng)設的情境要有利于激活學生創(chuàng)新積極性.數(shù)學家的創(chuàng)新是在原生態(tài)的創(chuàng)新環(huán)境下進行的，學生的創(chuàng)新與數(shù)學家的創(chuàng)新有本質的區(qū)別，學生是在教師創(chuàng)設的情境下進行，因此情境的創(chuàng)設要有利于學生發(fā)現(xiàn)平方差公式.四種設計中，分別運用了歸納創(chuàng)新、推理創(chuàng)新、實驗操作創(chuàng)新情境，從教學效果上可以看出，分別達到目的.最后，對學生創(chuàng)新意識的培養(yǎng)，要充分考慮學生的年齡特點，要求不宜過高.我國教育家劉佛年教授指出：“只要有點新意思、新思想、新觀念、新設計、新意圖、新做法、新方法，就稱得上創(chuàng)造.我們要把創(chuàng)造的范圍看得廣一點，不要把它看得太神秘，非要有新的科學理論（不可）才叫創(chuàng)造，那就高不可攀了.”[2]因此，教學中要結合學生的特點，選擇恰當?shù)姆绞椒椒?，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識.

（二）幾何直觀

《標準》指出：“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題.借助幾何直觀可以把復雜的數(shù)學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果.幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數(shù)學，在整個數(shù)學學習過程中都發(fā)揮著重要作用.”[1]7《標準》對幾何直觀的內(nèi)涵進行了描述性說明，運用幾何直觀可以使學生充分地理解數(shù)學.弗萊登塔爾認為：“幾何直觀能告訴我們什么是可能重要、可能有意義和可接近的，并使我們在課題、概念與方法的荒漠之中免于陷入歧途之苦.”[3]數(shù)學家希爾伯特在其名著《直觀幾何》一書中談到：“圖形可以幫助我們發(fā)現(xiàn)、描述研究的問題；可以幫助我們尋求解決問題的思路；可以幫助我們理解和記憶得到的結果，這就是幾何直觀帶給我們的好處.”[4]首都師范大學劉曉玫教授認為：“幾何直觀就是一種運用圖形認識事物的能力.”[5]東北師范大學孔凡哲教授認為：幾何直觀是指借助于見到的 （或想象出來的）幾何圖形的形象關系，對數(shù)學的研究對象 （空間形式和數(shù)量關系）進行直接感知、整體把握的能力[6]. 從以上的描述性定義不難發(fā)現(xiàn)，幾何直觀的本質是問題與幾何圖形之間建立聯(lián)系，并運用圖形發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題從而使抽象問題直觀化，復雜問題簡單化，有利于問題解決.畢達哥拉斯發(fā)現(xiàn)勾股定理的過程充分說明這一點.因而運用幾何直觀包含三個要素：問題、圖形、聯(lián)系.如果沒有問題與圖形之間的聯(lián)系，就不可能運用圖形描述問題與分析問題.圖形為觀察到的圖形、表象表征的圖形、想象的圖形.教學中要提高學生運用幾何直觀解決問題的能力.

第一，培養(yǎng)學生問題圖形轉化的意識.一是要學生有這方面的經(jīng)歷，如在列方程解應用題中，可運用線段圖描述問題，從而使抽象問題直觀形象化，幫助學生分析問題解決問題.二是幾何問題解決過程中，引導學生把已知條件圖形化，引導學生運用幾何直觀中的直觀解決問題，久而久之，學生自然會形成一種意識，運用幾何圖形可幫助理解數(shù)學問題.例如：如圖3，已知點B，E，C三點在一條直線上，AB=DC，點E是線段BC的中點，AE=DE，求證：AD∥BC.如圖3、4所示，把已知條件圖形化，運用幾何直觀分析問題解決問題.三是幾何命題證明過程中，要學生學會依據(jù)自然語言，正確畫出幾何圖形，進而培養(yǎng)畫圖意識.

第二，培養(yǎng)學生理解問題的能力.顯然學生要理解數(shù)學問題，這樣才能夠把抽象的數(shù)學問題轉化為直觀問題，否則也就無從談幾何直觀了.

第三，培養(yǎng)學生的畫圖能力.對學生的畫圖能力（包括畫函數(shù)圖象能力）的培養(yǎng)要高度重視，從而提高學生運用幾何直觀解決數(shù)學問題的能力.

第四，要為學生運用幾何圖形理解數(shù)學問題搭建必要的平臺.眾所周之，學生要積累用幾何圖形理解非直觀數(shù)學問題的經(jīng)驗.經(jīng)驗經(jīng)過內(nèi)化也是學生認知結構的一部分，可以成為同化新知識的固著點，這樣才能提高學生的問題圖形轉化能力.

第五，培養(yǎng)學生運用函數(shù)圖象解決問題的能力.函數(shù)是數(shù)形結合的典范，一是要學生深刻理解平面直角坐標系.平面直角坐標系是數(shù)形結合的橋梁，只有理解，才能在數(shù)與形之間建構起自然的聯(lián)系.二是要學生理解函數(shù)圖象.初中生理解圖象的能力不強，很多同學觀察圖象時，觀察不出函數(shù)性質，要靠教師歸納的形象語言來死記，不能通過觀察理解圖象得到函數(shù)性質.當進行數(shù)形結合時，不理解幾何直觀與代數(shù)問題的對應關系，進而不會運用幾何與代數(shù)的聯(lián)系解決問題.因此學生觀察理解圖象能力要加以培養(yǎng).把平方差公式與幾何圖形的面積聯(lián)系起來，運用幾何圖形的面積問題說明平方差公式，本節(jié)課設計A、B、C、D分別運用幾何直觀，說明或推導平方差公式，充分培養(yǎng)學生的幾何直觀意識與能力.

（三）符號意識

《標準》指出：“符號意識主要是指能夠理解并且運用符號表示數(shù)、數(shù)量關系和變化規(guī)律；知道使用符號可以進行運算和推理，得到的結論具有一般性.建立符號意識有助于學生理解符號的使用是數(shù)學表達和進行數(shù)學思考的重要形式.”[1]5數(shù)學是抽象的科學，由具體實物抽象出數(shù)，是數(shù)學的第一次抽象.用字母表示數(shù)是數(shù)學的第二次抽象，學生要經(jīng)歷由字母表示數(shù)，再到用字母表示代數(shù)式的過程，對初中生來說，要經(jīng)歷這一過程，才能體會代數(shù)的基本思想.本節(jié)平方差公式具有一般性的規(guī)律，是運用數(shù)學語言與符號語言來表達的，在公式的獲得過程中，要充分培養(yǎng)學生的符號意識.設計A由學生通過四個具體的例子，分析、比較、抽象、歸納、概括得到平方差公式，而這個公式如何表達，可以運用自然語言表達，可以運用字母表達，這個過程就是培養(yǎng)學生符號意識的過程.D設計，首先提出問題，須用字母表示數(shù)，然后不同的學生運用的字母可能是不同的，因此得到的式子表面上是有區(qū)別的，如：[a+ba-b][=a2-b2]，[x+yx-y=x2-y2]，[m+nm-n][=m2-n2]，最后進行歸納總結，得出平方差公式.這個過程，要求學生對代數(shù)的思想有深刻理解，才能形成統(tǒng)一的符號化表示.總之，要求學生通過歸納概括抽象出公式的一般形式，這個過程就是一個符號化的過程，有利于培養(yǎng)學生的符號意識以及提高學生的抽象能力.

綜上，一是四種教學設計各具特色，雖然獲得平方差公式的過程略有不同，但都能從提高學生的創(chuàng)新意識、幾何直觀、符號意識視角進行設計.二是四種設計都從學生現(xiàn)有的數(shù)學認知結構出發(fā)，創(chuàng)設認知情境，讓學生同化新知識.三是學生創(chuàng)新意識、幾何直觀、符號意識的培養(yǎng)是一個系統(tǒng)工程，不是一朝一夕就可以完成的，需要長期運用各種方法、多角度對學生進行培養(yǎng)，這樣學生的數(shù)學素養(yǎng)才能得到提高.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2012.

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[4]劉海濤.初中數(shù)學綜合題的教學難點分析及對策[J].中學數(shù)學（初中版），2015（9）：81.

[5]劉曉玫.對“幾何直觀”及其培養(yǎng)的認識與分析[J].中國數(shù)學教育（初中版），2012（1/2）：23-25.

[6]孔凡哲，史寧中. 關于幾何直觀的含義與表現(xiàn)形式——對 《義務教育數(shù)學課程標準 （2011年版）》的一點認識[J].課程·教材·教法，2012（7）：92-97.