備課：從深度分析教科書練習(xí)題的設(shè)置入手

許洪斌　盤如春　張曉斌

摘 要：備課是教師有效組織教學(xué)的前提，備課要考慮的因素很多，所有準(zhǔn)備常常都是基于教科書進(jìn)行的.教師在備課時(shí)，要從課后練習(xí)題的設(shè)置出發(fā)，仔細(xì)體會(huì)教材的文本意圖，吃透教材內(nèi)容的邏輯結(jié)構(gòu)，把握知識(shí)的重難點(diǎn)，深挖學(xué)科內(nèi)涵，再結(jié)合教科書文本和教師自己掌握的其他資料進(jìn)行備課，從而設(shè)計(jì)出高質(zhì)量的教學(xué)方案.

關(guān)鍵詞：教科書；備課；練習(xí)題

備課是教師有效組織教學(xué)的前提，備課越充分，教學(xué)效果就越好.備課要考慮的因素很多，既要備知識(shí)，備課程，又要備教材，備學(xué)生，還要備教法，備學(xué)法.而所有這些準(zhǔn)備，常常都是基于教科書進(jìn)行的，雖然備課時(shí)，教師的資料不僅限于教科書，但無疑教科書是教師有效組織教學(xué)、學(xué)生系統(tǒng)學(xué)習(xí)知識(shí)的載體，是師生共同對(duì)話的基礎(chǔ).

幾乎所有的教科書在闡述知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的同時(shí)，課后都輔之以必要的練習(xí)題，以供學(xué)習(xí)者對(duì)所學(xué)重要知識(shí)、方法的再理解、再應(yīng)用.這里的練習(xí)題是編者認(rèn)為必要的，不可或缺的，是對(duì)教者執(zhí)行文本的一種檢視，同時(shí)，還要為執(zhí)教者提供必要的教學(xué)空間，也不能太多.這就要求編者對(duì)所配練習(xí)題做詳細(xì)考慮、字斟句酌、精益求精、形成體系，這既有對(duì)學(xué)科重點(diǎn)知識(shí)、方法的應(yīng)用練習(xí)，又有對(duì)學(xué)科思想、學(xué)科內(nèi)涵的滲透與培養(yǎng)，而絕非僅供一般的練習(xí)之用.因此，教師在備課時(shí)，就可以從編者所給課后練習(xí)題的設(shè)置出發(fā)，充分發(fā)揮練習(xí)題的檢視作用，仔細(xì)體會(huì)教材的文本意圖，吃透教材內(nèi)容的邏輯結(jié)構(gòu)，把握知識(shí)的重難點(diǎn)，深挖學(xué)科內(nèi)涵，再結(jié)合教科書文本和教師自己掌握的其他資料進(jìn)行備課，從而設(shè)計(jì)出高質(zhì)量的教學(xué)方案.雖然教材習(xí)題的功能是多方面的，但從研究視角上看，不失為一種深度檢視教者對(duì)教材文本內(nèi)容的理解和對(duì)教材編者意圖把握的好方法，使教學(xué)設(shè)計(jì)更科學(xué)，更能有效促進(jìn)數(shù)學(xué)教師的專業(yè)成長(zhǎng).

一、教材分析

以下以人教版高中數(shù)學(xué)教科書選修2-2第一章《導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用》中的“1.3.1函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)”為例，來說明如何發(fā)揮教科書的課后練習(xí)題在備課中的檢視作用.

首先讓我們來看看本節(jié)課的課后練習(xí)題：

1.判斷下列函數(shù)的單調(diào)性，并求出單調(diào)區(qū)間.

（1）f（x）=x2-2x+4 （2）f（x）=ex-x

（3）f（x）=3x-x3 （4）f（x）=x3-x2-x

2.函數(shù)[y=f（x）]的圖象如圖所示（圖1），試畫出導(dǎo)函數(shù)[f'（x）]圖象的大致形狀.

3.討論二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的單調(diào)區(qū)間.

4.證明函數(shù)f（x）=2x3-6x2+7在[（0，2）]內(nèi)是減函數(shù).

編者在這里為什么會(huì)選擇這些題目或這類題目作為本節(jié)的練習(xí)題，其用意如何？這值得我們認(rèn)真分析與體會(huì).經(jīng)研究，我們發(fā)現(xiàn)編者至少?gòu)囊韵滤膫€(gè)方面，來給我們的教學(xué)設(shè)計(jì)提供檢視的思路與方法.

從數(shù)學(xué)知識(shí)層面分析，通過題組1，讓學(xué)生理解導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系.這四個(gè)函數(shù)都是有具體的表達(dá)式，能較容易地求其導(dǎo)函數(shù)，并通過解不等式，得出導(dǎo)函數(shù)正負(fù)的條件，從而判斷原函數(shù)的單調(diào)性.這不僅鞏固了學(xué)生求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)、解不等式等知識(shí)，又加深了學(xué)生對(duì)應(yīng)用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)來判斷函數(shù)單調(diào)性的理解，這是本節(jié)課重要的知識(shí)目標(biāo).

從數(shù)學(xué)方法層面分析，通過題組3、4，讓學(xué)生掌握判斷函數(shù)單調(diào)性的基本方法：圖象法、導(dǎo)數(shù)法，即常說的幾何法、代數(shù)法.這為學(xué)生從不同的視角來研究函數(shù)的單調(diào)性，拓展了不同的思維空間，從而發(fā)展了學(xué)生的直觀想象，培育了學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，這是本節(jié)課重要的方法目標(biāo).

從數(shù)學(xué)思維層面分析，通過題組2，讓學(xué)生通過對(duì)實(shí)際函數(shù)圖象的直觀探究，在觀察、分析、概括的過程中，進(jìn)一步體驗(yàn)原函數(shù)的增減與導(dǎo)函數(shù)正負(fù)之間的關(guān)系，培養(yǎng)了學(xué)生畫圖、識(shí)圖、用圖的方法與觀念，這是本節(jié)課重要的能力目標(biāo).

從數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)層面分析，從題組1的第（1）題與題組3以學(xué)生最為熟悉的二次函數(shù)為背景，讓學(xué)生充分體驗(yàn)函數(shù)圖象的直觀性與導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)性在判斷函數(shù)單調(diào)中的一致性，從而培育學(xué)生的直觀想象與數(shù)據(jù)分析的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，再到題組1的第（2）（3）（4）題與題組4的函數(shù)，這些函數(shù)是學(xué)生陌生的，直接畫圖學(xué)生會(huì)有困難，從而迫使學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，在已有的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)（題組1的第（1）題與題組3）的基礎(chǔ)上，應(yīng)用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)性來判斷其單調(diào)性，加深學(xué)生對(duì)知識(shí)、方法的感悟，使學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算能力得以培養(yǎng)與提升，同時(shí)也培養(yǎng)了學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思維來思考問題，用數(shù)學(xué)的語言來表達(dá)問題的能力[1].

二、教學(xué)設(shè)計(jì)

基于以上分析，我們結(jié)合教科書的表述與例題，以知識(shí)為載體去檢視、落實(shí)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，進(jìn)行如下的教學(xué)設(shè)計(jì).

（一）教學(xué)目標(biāo)

1.知識(shí)技能目標(biāo)：結(jié)合實(shí)例和一些基本初等函數(shù)，探討函數(shù)單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)正負(fù)之間的關(guān)系，能利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，體會(huì)并認(rèn)識(shí)導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性中的作用（體現(xiàn)練習(xí)題1的功能）.

2.數(shù)學(xué)思考目標(biāo)：通過數(shù)學(xué)實(shí)例提出問題，在觀察、分析、聯(lián)想、歸納的探究過程中，滲透數(shù)形結(jié)合、從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法（體現(xiàn)題組1的第（1）題與題組3的功能）.

3.問題解決目標(biāo)：能運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性與求單調(diào)區(qū)間，體會(huì)導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性中的作用，構(gòu)建導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的基本模型（體現(xiàn)題組1的第（2）（3）（4）題與題組4的功能）.

4.情感態(tài)度目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生的自主探究意識(shí)、合作精神，體驗(yàn)函數(shù)單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)正負(fù)關(guān)系的研究過程，體會(huì)數(shù)學(xué)語言的簡(jiǎn)潔和嚴(yán)謹(jǐn)（體現(xiàn)題組2的功能）.

（二）重點(diǎn)難點(diǎn)

1.重點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（解決練習(xí)第1、3、4題）.

2.難點(diǎn)：通過具體實(shí)例和一些基本初等函數(shù)，探究函數(shù)單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)正負(fù)的關(guān)系（解決練習(xí)第2題）.

（三）教學(xué)過程

1.情境引入

視頻播放[10m]高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員的跳水過程，盡量慢動(dòng)作演示，分析運(yùn)動(dòng)員在跳水過程中，離水面高度[h]與時(shí)間[t]的變化關(guān)系.讓學(xué)生初步感知，從起跳到最高點(diǎn)這段時(shí)間內(nèi)，隨時(shí)間[t]的增加，離水面的高度[h]也在增加，速度為正；從最高點(diǎn)到入水這段時(shí)間內(nèi)，隨時(shí)間[t]的增加，離水面的高度[h]卻在減少，速度為負(fù).

在這一過程中，教師提出有價(jià)值的數(shù)學(xué)問題：隨時(shí)間[t]的增加，離水面高度[h]是如何變化的？其速度的正負(fù)是如何變化？

【設(shè)計(jì)意圖】數(shù)學(xué)抽象是指舍去事物的一切物理屬性，得到數(shù)學(xué)研究對(duì)象的思維過程.數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)的基本思想，是形成理性思維的重要基礎(chǔ)[2]，反映數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征，貫穿在數(shù)學(xué)的產(chǎn)生、發(fā)展、應(yīng)用的全過程中.本環(huán)節(jié)根據(jù)跳水運(yùn)動(dòng)員從起跳到落水這一物理過程的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變化這一事實(shí)，數(shù)學(xué)地抽象出離水面高度與速度兩個(gè)概念.在播放視頻的過程中，通過生動(dòng)的畫面與動(dòng)作，直觀地得到了離水面高度與速度的變化過程.

2.新知探究

（1）初步形成函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)正負(fù)的關(guān)系

如圖2（1）表示[10m]跳水運(yùn)動(dòng)員的高度[h]隨時(shí)間[t]的變化函數(shù)h（t）=-4.9t2+6.5t+10的圖象.

教師引導(dǎo)：運(yùn)動(dòng)員從起跳到最高點(diǎn)，以及從最高點(diǎn)到入水這兩段時(shí)間的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有什么區(qū)別？

通過分析，完成下述表格，初步得到函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)正負(fù)的關(guān)系.

在某個(gè)區(qū)間[（a，b）]內(nèi)，如果[f'（x）>0]，那么函數(shù)[f（x）]在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果[f'（x）<0]，那么函數(shù)[f（x）]在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.

在這一過程中，教師要指導(dǎo)學(xué)生思考、計(jì)算、填表，并進(jìn)行交流、討論、歸納得出結(jié)論.

【設(shè)計(jì)意圖】數(shù)學(xué)建模是對(duì)現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題，用數(shù)學(xué)知識(shí)與方法構(gòu)建模型解決問題的過程[3].本環(huán)節(jié)從分析跳水運(yùn)動(dòng)過程的狀態(tài)變化，離水面高度與速度隨時(shí)間的變化規(guī)律，建立兩個(gè)函數(shù)，并給出圖象；通過圖象的直觀，提出對(duì)函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)正負(fù)兩個(gè)概念的思考，并通過進(jìn)一步的探究發(fā)現(xiàn)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)正負(fù)之間的關(guān)系.這一過程的探究基本上體現(xiàn)用數(shù)學(xué)的眼光觀察思考問題的思維特征：基于背景事實(shí)—數(shù)學(xué)語言表述問題—建立數(shù)學(xué)模型—到數(shù)學(xué)問題解決的過程[4].

（2）觀察圖象，進(jìn)一步探討函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)正負(fù)的關(guān)系

通過上面的探究，教師提出問題：函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)正負(fù)的關(guān)系是什么？

（3）用幾何畫板從導(dǎo)數(shù)的幾何意義解釋函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)正負(fù)的關(guān)系

①回顧導(dǎo)數(shù)的幾何意義；

②請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真觀察動(dòng)畫，體驗(yàn)切線斜率的正負(fù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系.

在這一過程中，教師演示幾何畫板，學(xué)生觀察、體會(huì)、領(lǐng)悟，形成新知.

（4）新知的形成

一般地，函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下的關(guān)系，在某個(gè)區(qū)間[（a，b）]內(nèi)連續(xù)的函數(shù)[f（x）]：

如果[f'（x）>0]，那么函數(shù)[f（x）]在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果[f'（x）<0]，那么函數(shù)[f（x）]在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.

【設(shè)計(jì)意圖】邏輯推理是指從一些事實(shí)和命題出發(fā)，依據(jù)邏輯規(guī)則推出一個(gè)命題的思維過程.主要包括兩類：一類是從特殊到一般的推理，推理形式主要有歸納、類比；一類是從一般到特殊的推理，推理形式主要是演繹.本環(huán)節(jié)讓學(xué)生觀察已學(xué)過的幾個(gè)基本初等函數(shù)的圖象，計(jì)算與判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，進(jìn)一步鞏固2.1中發(fā)現(xiàn)的函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)正負(fù)的關(guān)系，這是從特殊到一般，屬于歸納推理.并再應(yīng)用幾何畫板，從導(dǎo)數(shù)的幾何意義解釋函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)關(guān)系，聯(lián)想導(dǎo)數(shù)的幾何意義，類比切線的上升與下降的特征，從本質(zhì)上領(lǐng)悟微觀上函數(shù)圖象上每點(diǎn)處的切線特征，到宏觀上函數(shù)圖象在區(qū)間上的升降特征，從而得出函數(shù)單調(diào)性的特征.同時(shí)借用幾何畫板的動(dòng)態(tài)變化展示，進(jìn)一步深化了對(duì)關(guān)系的認(rèn)識(shí)與理解，屬于類比推理.

3.理論遷移

例1 （1）已知導(dǎo)函數(shù)[f'（x）]具有下列信息：

當(dāng)[10]，當(dāng)[x>4]或[x<1]時(shí)，[f'（x）<0]，當(dāng)[x=4]或[x=1]時(shí)，[f'（x）=0].

試畫出函數(shù)[f（x）]圖象的大致形狀（圖3）.

（2）設(shè)[f'（x）]是函數(shù)[f（x）]的導(dǎo)函數(shù)，[y=f'（x）]的圖象（圖4）所示，則[y=f（x）]的圖象最有可能是（ ）

A B

C D

例2 判斷下列函數(shù)的單調(diào)性，并求出單調(diào)區(qū)間.

（1）f（x）=2x3+3x2-24x+1；

解：因?yàn)閒（x）=2x3+3x2-24x+1，

所以[f'（x）=] .

當(dāng)[f'（x）>0]即 時(shí)，函數(shù)f（x）=2x3+3x2-24x+1 ；

當(dāng)[f'（x）<0]即 時(shí)，函數(shù)f（x）=2x3+3x2-24x+1 .

所以函數(shù)[f（x）]的單調(diào)遞增區(qū)間為 ，單調(diào)遞減區(qū)間為 .

（2）f（x）=x2-2x-3；（3）[f（x）=x-lnx].

【設(shè)計(jì)意圖】數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題的過程.主要包括：理解運(yùn)算對(duì)象，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算方向，選擇運(yùn)算方法，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，求得運(yùn)算結(jié)果.例1的兩個(gè)小題主要解決根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從直觀的符號(hào)到函數(shù)圖象的辨識(shí)，強(qiáng)化關(guān)系運(yùn)用的直接性；例2的三個(gè)解答題主要解決利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的問題，通過第（1）題的填空示范，明確解題思路與步驟，形成解題方法，第（2）（3）題的設(shè)置在進(jìn)一步鞏固方法的同時(shí)，突出方法的適用性與選擇性，強(qiáng)化定義域在解題中的首要性.

4.課堂反饋

判斷下列命題是否正確，正確的在括號(hào)里打√，錯(cuò)的在括號(hào)里打×.

（1）如果函數(shù)[y=f（x）]在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有[f'（x）=0]，那么這個(gè)函數(shù)為常數(shù)函數(shù).（ ）

（2）如果函數(shù)[y=f（x）]在定義域內(nèi)有[f'（x）<0]，那么函數(shù)[f（x）]在定義域內(nèi)為減函數(shù).（ ）

（3）在區(qū)間[（a，b）]內(nèi)，[f'（x）>0]是函數(shù)[f（x）]在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增的充要條件.（ ）

學(xué)生在這個(gè)過程中進(jìn)行判斷、討論、表述，教師進(jìn)行點(diǎn)撥.

【設(shè)計(jì)意圖】邏輯推理是得到數(shù)學(xué)結(jié)論，構(gòu)建數(shù)學(xué)體系的重要方式，是數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的基本保證，是人們?cè)跀?shù)學(xué)活動(dòng)中進(jìn)行交流的基本思維品質(zhì).本環(huán)節(jié)設(shè)置三個(gè)判斷題，挖掘關(guān)系認(rèn)識(shí)中的幾個(gè)誤區(qū)，進(jìn)一步探究與辨析關(guān)系，舉一反三，突破難點(diǎn)，深化了對(duì)關(guān)系的透徹理解，在邏輯推理能力的培養(yǎng)過程中，形成有論據(jù)、有條理、合乎邏輯的思維品質(zhì)，增強(qiáng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)交流能力.

5.課堂小結(jié)

（1）函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)關(guān)系；

（2）運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的一般步驟；

（3）通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么體會(huì)和感悟？

在這個(gè)過程中，教師點(diǎn)撥，學(xué)生歸納、總結(jié)、表述.

【設(shè)計(jì)意圖】此環(huán)節(jié)是每堂課的一個(gè)結(jié)束步驟，具體操作中往往名存實(shí)亡，或是教師主演.如果此環(huán)節(jié)在課堂教學(xué)中常態(tài)化，交由學(xué)生自主合作完成，那么學(xué)生在數(shù)學(xué)抽象的能力形成過程中，積累從具體到抽象的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，常常能更好地理解數(shù)學(xué)概念、命題、方法和體系，能通過抽象、概括去認(rèn)識(shí)、理解、把握事物的數(shù)學(xué)本質(zhì)，能逐漸養(yǎng)成一般性思考問題的習(xí)慣，并能在其他學(xué)科的學(xué)習(xí)中，主動(dòng)地運(yùn)用數(shù)學(xué)抽象的思維方式解決問題.

備課是教師有效組織教學(xué)的基礎(chǔ)，備課的角度也很多，這里僅從以反思教科書課后練習(xí)題的設(shè)置意圖，來檢驗(yàn)我們的教學(xué)設(shè)計(jì)是否科學(xué)、合理，是否充分領(lǐng)悟了編者的用意，為教師更好地體會(huì)教材、用好教材、把握教材的重難點(diǎn)提供一種備課的檢視思路.

參考文獻(xiàn)：

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[2]張曉斌.創(chuàng)設(shè)問題情境喚起學(xué)生的創(chuàng)新思維[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2003（2）：7-10.

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