例舉用坐標(biāo)法解反比例函數(shù)的中考題

陸漢俊

(江蘇省邗江中學(xué)(集團(tuán))北區(qū)校維揚(yáng)中學(xué) 225100)

反比例函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，更是歷年中考的熱點(diǎn).近年來(lái)各省市中考都有考查反比例函數(shù)的難題.由于此類型的題目不僅要考察反比例函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，而且常與其它幾何圖形相互結(jié)合考察幾何圖形特征，因此考察面較廣又比較復(fù)雜.解決此類問(wèn)題最常用的方法是根據(jù)“k”的幾何意義，即模型法.而反比例函數(shù)具有兩重性：代數(shù)表達(dá)式和幾何圖象，因此解決相關(guān)問(wèn)題時(shí)，往往可以通過(guò)設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，建立方程來(lái)求解，即坐標(biāo)法(也稱解析法). 筆者歸納出有以下三種題型可以使用坐標(biāo)法來(lái)解決.

一、面積問(wèn)題

圖1

解析本題紛繁復(fù)雜.雖有面積特征，但與基本三角形轉(zhuǎn)化聯(lián)系不大，所以考慮用坐標(biāo)法：設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，建方程.

特征1：S△BCE=2S△ADE,E是中點(diǎn).

而S△BCE=S△ACE,S△ADE=S△BDE，則S△ABC=2S△ABD.

因兩三角形等高(均與CD相等)，

所以，AC=2BD.

特征2：CD=k.

CD=CO+DO=3x0?3x0=k=x0y0，則AC=y0=3.

特征3：AB=2AC.由兩點(diǎn)間的距離公式，

評(píng)注通過(guò)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式，可以解決很多關(guān)于線段關(guān)系問(wèn)題，包括面積問(wèn)題.

二、與幾何圖形相結(jié)合題

圖2

(1)k的值為_(kāi)___；

(2)在點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)BP平分∠ABC時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)是____.

如圖2，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥x軸于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)C,作CN⊥x軸于點(diǎn)N.

評(píng)注大凡涉及到函數(shù)的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，應(yīng)該首先想到設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，建立方程，可以揭示問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，更易于解決問(wèn)題.

三、與一次函數(shù)相結(jié)合題

(1)求雙曲線C及直線l2的解析式；

圖3

(2)求證：PF2-PF1=MN=4.

(2)此問(wèn)至少涉及五個(gè)點(diǎn)，其中三個(gè)動(dòng)點(diǎn).而三個(gè)動(dòng)點(diǎn)P、M、N所在直線垂直于y軸，也就是說(shuō)縱坐標(biāo)相等.

綜合分析，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，建方程.

但PF2-PF1如何表示呢？只要用兩點(diǎn)間距離公式，但心中要有信念：最終未知數(shù)必然能抵消掉.

到了這一步，感覺(jué)進(jìn)展下去有點(diǎn)難.怎么辦呢？最終未知數(shù)必然能抵消掉.說(shuō)明這個(gè)表達(dá)式很有可能是完全平方式.

綜上，PF2-PF1=MN=4.

評(píng)注題目若涉及到多個(gè)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，則要設(shè)主動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，從而根據(jù)動(dòng)點(diǎn)之間的關(guān)系，得出其他從動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，問(wèn)題就會(huì)迎刃而解.

從以上三例可以看出，抓住反比例函數(shù)的雙重性，只要能設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，通過(guò)列方程或關(guān)系式，很多反比例函數(shù)難題就會(huì)比較容易地得到解決.

參考文獻(xiàn)：

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[2]楊晨光.“反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)”聽(tīng)課思考[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育，2012(6)：23-24.