例談基本不等式在初中物理競(jìng)賽中的應(yīng)用

劉 坤

(上海市尚德實(shí)驗(yàn)學(xué)校 (201400))

物理與數(shù)學(xué)聯(lián)系密切，物理問題的建模、求解，都離不開數(shù)學(xué)工具的支持.筆者在研究初中物理競(jìng)賽的賽題時(shí)，發(fā)現(xiàn)許多極值的求解、判斷物理量變化情況的問題，均要使用基本不等式.而大部分同學(xué)對(duì)這類問題感到困難，無從下手.本文就以上問題，作出初步探討.

一、基本不等式

設(shè)a>0，b>0，則有：(a-b)2≥0，

展開，可得：a2+b2≥2ab①

將②式變形可得：

至此，我們可以得出如下常用結(jié)論：

亦可得出類似于(1)(2)的結(jié)論.

二、學(xué)生運(yùn)用不等式時(shí)的障礙

學(xué)生在求解極值、判斷物理量變化情況的問題時(shí)，遇到的障礙有兩個(gè)，一是不能很好的建立物理模型，利用物理規(guī)律寫出物理量之間的函數(shù)解析式，尤其是題目中有些物理量還需要假設(shè)出來，就更讓同學(xué)們不知所措.二是雖然寫出了物理量之間的數(shù)學(xué)表達(dá)式，但是不會(huì)利用基本不等式的有關(guān)知識(shí)求解極值，或者判斷物理量的變化關(guān)系.

三、如何運(yùn)用基本不等式求解相關(guān)物理問題

利用基本不等式處理極值類問題，最重要的兩個(gè)步驟分別是：(1)寫出所求物理量與其他物理量之間的關(guān)系式(2)根據(jù)寫出的關(guān)系式，求解所需的極值.下面針對(duì)上述方法，分別從光學(xué)，力學(xué)，電學(xué)簡(jiǎn)單介紹下應(yīng)用：

1.光學(xué)中的應(yīng)用

例1 (第30屆上海大同杯初賽)凸透鏡的焦距為f，點(diǎn)光源S2和光屏M位于凸透鏡的左右兩側(cè)，點(diǎn)光源位于凸透鏡的主光軸上，光屏與凸透鏡的主光軸垂直并和點(diǎn)光源的距離保持L不變，且f

2.力學(xué)中的應(yīng)用

例2 如圖2所示L型輕桿通過鉸鏈O與地面連接，OA=AB=6m，作用于B點(diǎn)的豎直向上拉力F能保證桿AB始終保持水平.一質(zhì)量為m的物體以足夠大的速度在桿上從離A點(diǎn)2m處向右運(yùn)動(dòng)，物體與桿之間的動(dòng)摩擦因數(shù)與離開A點(diǎn)的距離成反比μ=1/x.已知重力加速度為g=10m/s2，則物體運(yùn)動(dòng)到離開A點(diǎn)距離x=____m時(shí)拉力F達(dá)到最小.此時(shí)F=____.

分析與解不難發(fā)現(xiàn)，拉力F隨著物塊離開A點(diǎn)的距離x的變而變化，我們?nèi)砸葘懗鯢與x的關(guān)系式.

3.電學(xué)中的應(yīng)用

例3 在如圖4所示的電路中，已知電阻R1的阻值小于滑動(dòng)變阻器的最大阻值R0.閉合電鍵S，在滑動(dòng)變阻器的滑片P由最左端向右滑動(dòng)的過程中，說明滑動(dòng)變阻器滑片P由最左端向右滑動(dòng)的過程中，電路總電阻R總變化情況，并指出R外取得極值的條件.

分析與解總電阻隨著滑片的移動(dòng)而不斷改變，不妨設(shè)滑動(dòng)變阻器Pb段阻值為Rx，則Pa段阻值為R0-Rx，電路中AB部分實(shí)際是R1與Pa段電阻串聯(lián)后，再與Pb段并聯(lián)，則由并聯(lián)電路電阻規(guī)律，有：

從以上例題可以看出，一旦從題目中挖掘到有用的信息，并和已有的知識(shí)建立聯(lián)系從而寫出相關(guān)的表達(dá)式，接下來再運(yùn)用基本不等式的知識(shí)，由此便可以解決一大類極值問題.同學(xué)們?cè)谄綍r(shí)的學(xué)習(xí)過程中，應(yīng)注重各學(xué)科之間的聯(lián)系，尤其要注意培養(yǎng)運(yùn)用數(shù)學(xué)工具解決物理問題的能力.

參考文獻(xiàn)：

[1]胡少希.例談基本不等式在物理解題中的應(yīng)用[J].物理教學(xué)探討,2011(04).