例談直角坐標(biāo)系中三角形和四邊形的面積最值問題

吳金糧

(福建省泉州第五中學(xué) 362000)

在近幾年各省市的中考試題當(dāng)中，經(jīng)常發(fā)現(xiàn)有一類試題，它們都是以直角坐標(biāo)系、二次函數(shù)為背景，結(jié)合動點問題求斜三角形面積最值問題、或不規(guī)則四邊形的面積最值問題.此類問題對學(xué)生而言具有一定的挑戰(zhàn)性，通?？梢宰鳌八綄挕被颉般U垂高”的方法進行求解.下面就以作“水平寬”或“鉛垂高”的方法求解這一類問題的幾個例題進行探究.

基本圖形和面積公式：

一、特殊位置

(1)求b的值；

(2)設(shè)以線段BC為直徑的圓的圓心為點D，試判斷點A與⊙D的位置關(guān)系，并說明理由；

(3)設(shè)P是拋物線上一動點，且點P位于第一象限內(nèi)，求當(dāng)四邊形PAOC的面積最大時，求點P的坐標(biāo)．

∴點A在⊙D上.

∴當(dāng)x=4，即P的坐標(biāo)為(4,6)時，S四邊形PAOC最大．

二、面積最值已知

例2 如圖4，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2-2ax-3a(a<0)與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側(cè))，經(jīng)過點A的直線l：y=kx+b與y軸負半軸交于點C，與拋物線的另一個交點為D，且CD=4AC．

(1)直接寫出點A的坐標(biāo)，并求直線l的函數(shù)表達式(其中k、b用含a的式子表示)；

(3)設(shè)P是拋物線的對稱軸上的一點，點Q在拋物線上，以點A、D、P、Q為頂點的四邊形能否成為矩形？若能，求出點P的坐標(biāo)；若不能，請說明理由．

分析(1)A(-1，0)，直線l的函數(shù)表達式為：y=ax+a.

(2)中三角形的面積最值已知，只需將△ACE的面積表示出來，再列方程可得．

解(2)過點E作EF∥y軸，交直線l于點F.設(shè)E(x，ax2-3ax-3a)，則F(x，ax+a).

EF=ax2-3ax-3a-(ax+a)=ax2-3ax-4a.

三、面積最值待求

例3 如圖5，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點，B點的坐標(biāo)為(3，0)，與y軸交于C(0，-3)點，點P是直線BC下方拋物線上的動點．

(1)求這個二次函數(shù)表達式；

(2)連接PO，PC，并將△POC沿y軸對折，得到四邊形POP′C，當(dāng)四邊形POP′C為菱形時，求點P的坐標(biāo)；

(3)當(dāng)點P運動到什么位置時，四邊形ABPC面積最大？求此時點P的坐標(biāo)和四邊形ABPC的最大面積．

解(1)二次函數(shù)的表達式為：y=x2-2x-3．

(3)過點P作y軸的平行線與BC交于點Q，與OB交于點F，設(shè)P(x，x2-2x-3).

由x2-2x-3=0得點A坐標(biāo)為(-1，0).

又已知點B和點C的坐標(biāo)，從而直線BC的解析式為y=x-3.

點Q的坐標(biāo)為(x，x-3)，則AB=4，CO=3，BO=3，PQ=-x2+3x.

S四邊形ABPC=S△ABC+S△BPC

以上幾例，不管是三角形面積問題還是四邊形面積問題，最終都是轉(zhuǎn)化為利用直角坐標(biāo)系中三角形的面積公式進行解答，此法簡潔方便，值得進一步歸納和總結(jié)一些典型例題、習(xí)題，使學(xué)生能熟練掌握和應(yīng)用．

參考文獻：

[1]陳永明.數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)研究[M].上海:上海教育出版社,2014.