例析小題巧做之圖像法解題

江西師大數信學院 (330022) 嚴 婷

圖像法是借助函數圖像的直觀性來處理有關代數問題的方法，體現的是數形結合的數學思想.高考數學中的選擇、填空類小題常以此法為落腳點考察學生對數形結合方法的應用.借助圖像法解題,不僅可以避免繁瑣的運算,達到事半功倍的效果，而且還能加深學生對數學基本概念的理解，對基本知識與基本技能的靈活運用.本文擷取幾例，予以說明.

圖1

例2 對任意實數x，設f(x)=min {4x+1，x+2,-2x+4}，則f(x)的最大值是 .

圖2

評注：法一用代數法求解，運用了分類討論的思想，但在分類過程中，學生需十分謹慎細心，否則易因漏分或錯分而得不到正確答案.法二運用圖像法，較之法一巧妙地避免了復雜的分類討論，而且從圖像的高低可以直觀的看出所對應的函數值的大小，達到事半功倍的效果.

圖3

A.b

C.b

評注：要比較a,b,c三者的大小，首先應把它們變形為同底數或同指數的形式，但由于我們最多只能統(tǒng)一兩個數的形式，這時在此基礎上利用函數圖像，便能快速得出三者的大小關系，使問題迎刃而解.

圖4

解：設h(x)=

f(x)≤g(x)恒成立，則只能將h(x)向下移動，當半圓恰好與直線相切時，結論成立.

評注：對于不等式恒成立的問題，我們常用的方法有構造函數法，分離變量法，圖像法等.但在選擇、填空類題求解可以優(yōu)先考慮圖像法，尤其是易于畫出給定函數圖像的題，它可以省去繁瑣的計算步驟，使復雜問題簡單化.

例5 已知定義域為R的奇函數f(x)滿足f(x)+f(2-x)=0,且當x∈[-1,0)時，f(x)=

A.2B.3C.4D.6

圖5

解：由題意可知，f(x)是周期為2的奇函數，方程變形為f(x)=g(x)-1，令h(x)=g(x)-1，則題目轉化為求在[-3,3]上函數f(x)與h(x)圖像的交點個數，畫出圖像如圖5，則由圖像可以直觀看出有A,B,C三個交點，故選B.

評注：這是與周期函數，奇偶函數結合的一道求方程解的個數問題.顯然，用代數法無法求解，但若把方程根的個數問題轉化為函數圖像的交點個數問題，運用圖像法便能天塹變通途，將題目解出.

綜上，圖像法在解部分選擇、填空類題時，總會給我們帶來意想不到的快捷與高效.所以，要想學生能夠靈活的運用圖像法解題，那么老師上課時就應該足夠重視基本函數圖像的性質與畫法，并讓學生熟練的掌握圖像的平移、旋轉、對稱等變換.