利用高等幾何極點(diǎn)與極線關(guān)系解答高考數(shù)學(xué)試題

陜西安康學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 (725000) 羅珊珊

1.極點(diǎn)與極線的概念

定義1[1]給定二階曲線，如果兩點(diǎn)P,Q(P不在Γ上)的連線與二階曲線Γ交于兩點(diǎn)M1,M2，且(M1M2,PQ)=-1，則稱點(diǎn)P,Q關(guān)于二階曲線?；楣曹楛c(diǎn).特例，當(dāng)點(diǎn)P為M1M2的中點(diǎn)，則點(diǎn)Q為無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn).

定義2[1]定點(diǎn)P關(guān)于二階曲線的共軛點(diǎn)的軌跡是一條直線，這條直線叫做P點(diǎn)關(guān)于此二階曲線的極線；P點(diǎn)叫做這條直線關(guān)于此二階曲線的極點(diǎn).特例，如果P點(diǎn)在二階曲線上，則點(diǎn)P的極線就是此二階曲線在P點(diǎn)處的切線.

2.圓錐曲線的極點(diǎn)和極線

定理3[2]定點(diǎn)P(x0,y0)關(guān)于二次曲線Γ:Ax2+2Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0的極線L的方程為：L：Ax0x+B(x0y+xy0)+Cy0y+D(x+x0)+E(y+y0)+F=0.

3.極點(diǎn)和極線理論的應(yīng)用

例1 (2009高考數(shù)學(xué)海南、寧夏卷理科13題)已知拋物線Γ的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為F(1，0)，直線L與拋物線Γ相交于A,B兩點(diǎn)，若AB中點(diǎn)為(2，2)，則直線L的方程為 .

方法1：設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，則有

設(shè)AB：y=x+b,代入(2，2),得b=0,則L：y=x.

例2 (2009高考數(shù)學(xué)廣東理科21題)已知曲線Cn:x2-2nx+y2=0(Cn=1,2,3)從點(diǎn)P(-1，0)向曲線Cn引斜率為kn(kn>0)的切線Ln，切點(diǎn)為Pn(xn,yn),求數(shù)列{xn}，{yn}的通項(xiàng)公式.

方法1：Cn:(x-n)2+y2=n2表示圓心在(n，0)處，半徑為n的圓.

設(shè)切線方程為L(zhǎng)n:

方法2：Cn:(x-n)2+y2=n2表示圓心在(n，0)處，半徑為n的圓.

在Rt△PPnCn中，由射影定理得：

[1]周振榮,趙臨龍.高等幾何.華中師范大學(xué)出版社，2013.

[2]趙臨龍，一道高考數(shù)學(xué)題推廣的修正.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2013.1:23-24.