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    圓錐曲線中范圍問題背后不等關(guān)系的尋找

    2018-05-30 04:17:55江蘇省錫山高級中學(xué)214174吳寶瑩
    關(guān)鍵詞:操縱者判別式等量

    江蘇省錫山高級中學(xué) (214174) 吳寶瑩 季 斌

    在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中,存在著兩種關(guān)系,一種是不等關(guān)系,一種是等量關(guān)系,等量關(guān)系可以看作一種特殊的不等關(guān)系,等量關(guān)系只是相對的,不等關(guān)系大量存在.圓錐曲線中基本量的計算屬于等量關(guān)系問題,比較簡單,而求基本量或參數(shù)的范圍就屬于不等關(guān)系問題,比較困難.如求離心率的大小只要建立關(guān)于基本量a、b、c的齊次方程就可以求出來,而求離心率的取值范圍就要尋找離心率取值范圍背后的某種不等關(guān)系,再轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率的不等關(guān)系,才能求出離心率的取值范圍.后者要比前者困難得多,難就難在“所求問題背后的某種不等關(guān)系”的尋找,事實(shí)上,離心率的取值范圍僅僅是表面現(xiàn)象,其“幕后的操縱者”是“某種不等關(guān)系”,正如物理學(xué)中的布朗運(yùn)動,表面上是懸浮微粒做無規(guī)則運(yùn)動,實(shí)際上是懸浮微粒被大量分子撞擊所形成的,是分子在做無規(guī)則運(yùn)動.因此,要解決圓錐曲線中基本量或參數(shù)的范圍問題就要透過現(xiàn)象看本質(zhì),尋找出其“幕后的操縱者”——某種不等關(guān)系,那么怎樣尋找這個“某種不等關(guān)系”呢,一般有以下幾種方法:

    1.利用題目本身條件尋找“不等關(guān)系”

    2.利用焦半徑范圍尋找“不等關(guān)系”

    點(diǎn)評:因為點(diǎn)P在雙曲線的右支上,所以點(diǎn)P到右焦點(diǎn)的距離PF2≥c-a,利用焦半徑范圍尋找“不等關(guān)系”.

    3.利用曲線上動點(diǎn)橫坐標(biāo)(縱坐標(biāo))的范圍尋找“不等關(guān)系”

    (1)求橢圓的方程;

    法二:連接CF并延長交橢圓于點(diǎn)N′,則xN′=

    4.利用圓錐曲線基本量之間的本身大小關(guān)系尋找“不等關(guān)系”

    圖1

    點(diǎn)評:利用橢圓基本量a,b之間本身的大小關(guān)系a>b尋找“不等關(guān)系”.

    5.利用判別式Δ>0尋找“不等關(guān)系”

    圖2

    (1)求雙曲線的方程;

    (2)直線y=kx+m(k≠0,m≠0)與該雙曲線交于不同的兩點(diǎn)C、D,且C、D兩點(diǎn)都在以B為圓心的同一圓上,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

    點(diǎn)評:直線y=kx+m(k≠0,m≠0)與該雙曲線交于不同的兩點(diǎn),所以判別式Δ=(-6km)2-4(1-3k2)(-3m2-3)>0,得到關(guān)于m,k的不等關(guān)系m2+1>3k2(1),再由CB=DB,點(diǎn)B在線段CD的垂直平分線上,建立關(guān)于m,k的等量關(guān)系4m+1-3k2=0(2),聯(lián)立(1)(2)就可以求出實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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