圓錐曲線中范圍問題背后不等關(guān)系的尋找

江蘇省錫山高級中學(xué) (214174) 吳寶瑩 季 斌

在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中，存在著兩種關(guān)系，一種是不等關(guān)系，一種是等量關(guān)系，等量關(guān)系可以看作一種特殊的不等關(guān)系，等量關(guān)系只是相對的，不等關(guān)系大量存在.圓錐曲線中基本量的計算屬于等量關(guān)系問題，比較簡單，而求基本量或參數(shù)的范圍就屬于不等關(guān)系問題，比較困難.如求離心率的大小只要建立關(guān)于基本量a、b、c的齊次方程就可以求出來，而求離心率的取值范圍就要尋找離心率取值范圍背后的某種不等關(guān)系，再轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率的不等關(guān)系，才能求出離心率的取值范圍.后者要比前者困難得多，難就難在“所求問題背后的某種不等關(guān)系”的尋找，事實(shí)上，離心率的取值范圍僅僅是表面現(xiàn)象，其“幕后的操縱者”是“某種不等關(guān)系”，正如物理學(xué)中的布朗運(yùn)動，表面上是懸浮微粒做無規(guī)則運(yùn)動，實(shí)際上是懸浮微粒被大量分子撞擊所形成的，是分子在做無規(guī)則運(yùn)動.因此，要解決圓錐曲線中基本量或參數(shù)的范圍問題就要透過現(xiàn)象看本質(zhì)，尋找出其“幕后的操縱者”——某種不等關(guān)系，那么怎樣尋找這個“某種不等關(guān)系”呢，一般有以下幾種方法：

1.利用題目本身條件尋找“不等關(guān)系”

2.利用焦半徑范圍尋找“不等關(guān)系”

點(diǎn)評：因為點(diǎn)P在雙曲線的右支上，所以點(diǎn)P到右焦點(diǎn)的距離PF2≥c-a,利用焦半徑范圍尋找“不等關(guān)系”.

3.利用曲線上動點(diǎn)橫坐標(biāo)(縱坐標(biāo))的范圍尋找“不等關(guān)系”

(1)求橢圓的方程;

法二：連接CF并延長交橢圓于點(diǎn)N′，則xN′=

4.利用圓錐曲線基本量之間的本身大小關(guān)系尋找“不等關(guān)系”

圖1

點(diǎn)評：利用橢圓基本量a,b之間本身的大小關(guān)系a>b尋找“不等關(guān)系”.

5.利用判別式Δ>0尋找“不等關(guān)系”

圖2

(1)求雙曲線的方程；

(2)直線y=kx+m(k≠0,m≠0)與該雙曲線交于不同的兩點(diǎn)C、D，且C、D兩點(diǎn)都在以B為圓心的同一圓上，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

點(diǎn)評：直線y=kx+m(k≠0,m≠0)與該雙曲線交于不同的兩點(diǎn)，所以判別式Δ=(-6km)2-4(1-3k2)(-3m2-3)>0，得到關(guān)于m,k的不等關(guān)系m2+1>3k2(1)，再由CB=DB，點(diǎn)B在線段CD的垂直平分線上，建立關(guān)于m,k的等量關(guān)系4m+1-3k2=0(2)，聯(lián)立(1)(2)就可以求出實(shí)數(shù)m的取值范圍.