忽視“試錯(cuò)”教學(xué)的原因及其對(duì)策
——基于初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)實(shí)踐的思考

☉浙江省嘉興市南湖區(qū)教育研究培訓(xùn)中心 顧建鋒

☉浙江省嘉興市南湖區(qū)大橋鎮(zhèn)中學(xué) 趙有紅

“試錯(cuò)”即嘗試探究和清除錯(cuò)誤，其思想是由英國(guó)哲學(xué)家卡爾·波普爾提出來(lái)的.波普爾認(rèn)為對(duì)于一個(gè)理論上的問(wèn)題，用來(lái)解答這一問(wèn)題的方法，通常都是一樣的：這就是試探和清除錯(cuò)誤的方法，簡(jiǎn)稱(chēng)為試錯(cuò)法［1］.而初中數(shù)學(xué)解題事實(shí)上就是一個(gè)理論問(wèn)題的解決過(guò)程，其首要任務(wù)是先確定問(wèn)題所涉及的知識(shí)范圍，并提出可能的解決方向，再經(jīng)過(guò)多次的調(diào)整和修改，從不正確到正確，從不適應(yīng)到適應(yīng)，逐步走向問(wèn)題的解決.因此，初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)的應(yīng)然追求是“求真與試錯(cuò)的恰當(dāng)融合”，它需要在“試錯(cuò)”的基礎(chǔ)上“求真”，從而形成正確的解題方法，積累相關(guān)的解題經(jīng)驗(yàn).

然而，在實(shí)際解題教學(xué)時(shí)，一線教師往往重視“求真”，忽視“試錯(cuò)”.例如對(duì)于問(wèn)題：“如圖1，點(diǎn)A（-1，0），點(diǎn)C（0，3）是拋物線y=-x2+2x+3上的點(diǎn)，點(diǎn)P是該拋物線對(duì)稱(chēng)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PA+PC的值最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).”多數(shù)教師在教學(xué)時(shí)，會(huì)選擇直接呈現(xiàn)“行得通”的解題方案（即先找到點(diǎn)P的位置，如圖2，再求點(diǎn)P的坐標(biāo)），而對(duì)“行不通”的解題方案（構(gòu)建函數(shù)模型）束之高閣.這種重“求真”，輕“試錯(cuò)”的解題現(xiàn)象，在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中大量存在.

圖1

圖2

當(dāng)然，在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，“試錯(cuò)”思想被忽視，有著比較復(fù)雜的原因.本文嘗試作一定的分析，進(jìn)而提出改變這種狀況的若干對(duì)策.

一、忽視“試錯(cuò)”教學(xué)的三種典型表現(xiàn)

數(shù)學(xué)解題的過(guò)程是一種漸進(jìn)嘗試探究和消除錯(cuò)誤的過(guò)程，在這個(gè)過(guò)程中，無(wú)關(guān)的錯(cuò)誤反應(yīng)逐漸減少，而正確的反應(yīng)最終形成.可以說(shuō)要真正學(xué)會(huì)和領(lǐng)悟數(shù)學(xué)解題的方法，不斷地經(jīng)歷“試錯(cuò)”過(guò)程不可或缺.然而，在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，許多一線教師往往注重解題策略的“求真”，對(duì)“試錯(cuò)”的過(guò)程則不重視，甚至根本不去關(guān)注.具體可以歸納為三種典型表現(xiàn).

1.無(wú)“錯(cuò)”可試

我們知道，解題教學(xué)首先是一個(gè)教師“教”和學(xué)生“學(xué)”互動(dòng)交流的過(guò)程.教師的“教”應(yīng)該以揭開(kāi)問(wèn)題“條件”與“結(jié)論”之間的內(nèi)在聯(lián)系，或者探索由“已知”可以導(dǎo)出怎樣的“未知”為出發(fā)點(diǎn).學(xué)生的“學(xué)”則應(yīng)該是一個(gè)主動(dòng)的、基于問(wèn)題思考、探究和感悟的過(guò)程，期間學(xué)生出現(xiàn)解題思路受阻、解題方向錯(cuò)誤、解題策略不當(dāng)在所難免.然而，現(xiàn)在仍有不少的初中數(shù)學(xué)教師為追求解題教學(xué)的“行云流水”，強(qiáng)勢(shì)地以“教師的思路”完全替代“學(xué)生的思路”，尤其是在對(duì)綜合程度較高的習(xí)題教學(xué)時(shí)，都是以教師的分析、講解為主，學(xué)生基本沒(méi)有探究的機(jī)會(huì)，所要做的事情只需被動(dòng)地記住或理解教師講解的方法即可.這樣的解題教學(xué)，幾乎沒(méi)有“嘗試探究”的學(xué)習(xí)過(guò)程，出現(xiàn)無(wú)“錯(cuò)”可試的局面也就不言而喻了.

2.有“錯(cuò)”不試

這種狀況一般出現(xiàn)在新手教師的解題教學(xué)中.雖然這些教師在教學(xué)時(shí)，會(huì)有意識(shí)地創(chuàng)設(shè)學(xué)生嘗試探究的時(shí)間和空間，提供學(xué)生自主探索解決問(wèn)題的機(jī)會(huì)，搭建學(xué)生展示個(gè)人觀點(diǎn)的舞臺(tái).但當(dāng)學(xué)生發(fā)表了自己的解題思路后，教師往往只對(duì)正確思路給予足夠的重視，而對(duì)錯(cuò)誤想法則不予關(guān)注.如文章開(kāi)頭的案例中提到的最值問(wèn)題教學(xué)，教師會(huì)將教學(xué)注意力和著力點(diǎn)放在“先用作圖的方法找到點(diǎn)P的位置，再用“函數(shù)解析”的方法求出點(diǎn)P的坐標(biāo)”這一正確的解題路徑上，而對(duì)“先設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)

“用函數(shù)模型為什么不能順利求解出該題最值”這樣有價(jià)值的問(wèn)題“荒廢”，失去了引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)“試錯(cuò)”過(guò)程的機(jī)會(huì).這是有“錯(cuò)”不試的典型體現(xiàn).

3.試“錯(cuò)”不實(shí)

這是“試錯(cuò)”教學(xué)中比較常見(jiàn)的一種狀況.具體教學(xué)時(shí)，教師已經(jīng)關(guān)注到“錯(cuò)誤資源”的再利用，但在利用錯(cuò)誤的過(guò)程中，又出現(xiàn)了試“錯(cuò)”不實(shí)的情況.具體表現(xiàn)為兩種狀況：一是利用過(guò)程中，教師沒(méi)有將其擴(kuò)展到全體學(xué)生中，把“試錯(cuò)”過(guò)程的體驗(yàn)，作為全體學(xué)生的學(xué)習(xí)資源；二是用其他學(xué)生的講解代替出錯(cuò)學(xué)生的回答，從而剝奪了學(xué)生自己調(diào)整和修改的機(jī)會(huì)，讓“試錯(cuò)”的學(xué)習(xí)價(jià)值大打折扣.

例如，有教師這樣進(jìn)行解題教學(xué)：（1）呈現(xiàn)問(wèn)題：“某次人與自然的知識(shí)競(jìng)賽中共有20道題，對(duì)于每一道題，答對(duì)了得10分，答錯(cuò)了或不答扣5分，小明至少要答對(duì)幾題，其得分才會(huì)不少于80分？”（2）學(xué)生自主探索，列不等式；（3）實(shí)物投影展示一位學(xué)生的解答：“設(shè)答對(duì)x道題，則答錯(cuò)或不答（20-x）道題，根據(jù)題意可列不等式為10x+5（20-x）≥80”；（4）教師追問(wèn)有無(wú)不同意見(jiàn)，有學(xué)生馬上指出“答錯(cuò)了或不答扣5分”應(yīng)該表示成“-5”，并將所列的不等式更正為10x-5（20-x）≥80.

上例中，對(duì)于學(xué)生出現(xiàn)的錯(cuò)誤教師及時(shí)用其他學(xué)生的講解予以糾正，雖有“試錯(cuò)”意識(shí)，但沒(méi)有讓出錯(cuò)學(xué)生經(jīng)歷自己發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，尋找錯(cuò)因，并自覺(jué)地改正錯(cuò)誤的過(guò)程，“試錯(cuò)”的價(jià)值不大.若將上述教學(xué)過(guò)程修改為：“學(xué)生列出不等式10x+5（20-x）≥80后，請(qǐng)這位學(xué)生解這個(gè)不等式，當(dāng)學(xué)生解出不等式的解為x≥-4時(shí)（讓學(xué)生自己看到錯(cuò)誤），教師可以追問(wèn)，根據(jù)你列出的不等式10x+5（20-x）≥80，得出的答案是至少答對(duì)“-4”題，小明的得分才不會(huì)少于80分，這樣的答案可以嗎（以錯(cuò)治錯(cuò)）？這時(shí)相信學(xué)生能馬上發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，并思考錯(cuò)誤的根源是什么？同時(shí)促使學(xué)生去重新審視自己所列的不等式，去重新審題，去重新尋找題中關(guān)鍵的字詞，從而找到錯(cuò)誤的本源（改正錯(cuò)誤）.”這樣“試錯(cuò)”教學(xué)才會(huì)真真落地生根.

二、忽視“試錯(cuò)”教學(xué)的原因分析

數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，“試錯(cuò)”常被教師忽視，有著較為復(fù)雜的原因，且有些時(shí)候是多種因素相互結(jié)合造成的.那么，造成“試錯(cuò)”教學(xué)被忽視的主要因素是什么呢？

1.“教為中心”的課堂：無(wú)“錯(cuò)”可試的主因

無(wú)“錯(cuò)”可試的主要問(wèn)題是：解題教學(xué)為什么沒(méi)有“試錯(cuò)”的機(jī)會(huì)？再深究下去，即為什么解題教學(xué)時(shí)只分析正確的思路，而不叩問(wèn)錯(cuò)誤的思路？這是數(shù)學(xué)解題的自然狀態(tài)嗎？顯然不是，那么是什么原因造成的？

當(dāng)下，“學(xué)為中心”的教學(xué)理念遍地開(kāi)花，但仍有不少教師在“教為中心”的道路上風(fēng)雨兼程，這些教師為了追求所謂的“課堂效率”，仍然牢牢把持著課堂的主動(dòng)權(quán)不放，將問(wèn)題的提出與問(wèn)題的最終解決獨(dú)攬一身.具體到解題教學(xué)，教師往往會(huì)慣性地將最簡(jiǎn)捷的解法直接呈現(xiàn)給學(xué)生，而有意無(wú)意地回避解法背后艱難的思考?xì)v程，這是“教為中心”理念的典型表現(xiàn).在這樣的課堂上，教師不會(huì)讓錯(cuò)誤的結(jié)論出現(xiàn)，也不會(huì)呈現(xiàn)錯(cuò)誤的解題思路，更不會(huì)給學(xué)生在課堂里是“試錯(cuò)”的機(jī)會(huì).因?yàn)樵谶@些教師看來(lái)，讓學(xué)生“試錯(cuò)”的成本偏高，要占用去較多的課堂時(shí)間，減少教師較多的“講題時(shí)間”，很可能導(dǎo)致教師原定的教學(xué)計(jì)劃不能按時(shí)完成.于是，這些教師為了既定的程序不再去捕捉課堂上的生成性“錯(cuò)誤”資源，就成了“教為中心”理念下教師的行動(dòng)指南.

2.教學(xué)認(rèn)識(shí)的封閉：有“錯(cuò)”不試的主因

有“錯(cuò)”不試的主要問(wèn)題是：為什么解題中出現(xiàn)了“錯(cuò)誤”后，教師不愿意引導(dǎo)學(xué)生花時(shí)間去探究“錯(cuò)誤”“錯(cuò)”在哪里？以及探究錯(cuò)誤產(chǎn)生的原因之外，還有什么經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)可以讓我們借鑒？

數(shù)學(xué)解題教學(xué)離不開(kāi)學(xué)生做題，而做題時(shí)教師勢(shì)必要求學(xué)生獨(dú)立嘗試探究，因此便有可能產(chǎn)生錯(cuò)誤的結(jié)論，即學(xué)生在解題過(guò)程中選擇了錯(cuò)誤的思路或途徑，產(chǎn)生了不正確的結(jié)論.當(dāng)這種不正確的結(jié)論出現(xiàn)后，教師不去組織學(xué)生“試錯(cuò)”的主要原因是：教師認(rèn)識(shí)不到“試錯(cuò)”過(guò)程的教學(xué)價(jià)值，片面地認(rèn)為數(shù)學(xué)解題應(yīng)追求結(jié)論的正確性、方法的便捷性、以及過(guò)程的簡(jiǎn)潔性，這種教學(xué)認(rèn)識(shí)上的固步自封，讓他們固執(zhí)地認(rèn)為，學(xué)生在解題中出現(xiàn)的錯(cuò)誤想法或結(jié)論只需點(diǎn)到為止，無(wú)需展開(kāi)，只要引導(dǎo)學(xué)生把正確的解法與結(jié)論研究清楚即可.于是，解題教學(xué)時(shí)，即使學(xué)生中出現(xiàn)了錯(cuò)誤的結(jié)論，教師也會(huì)刻意回避，不作探討.如在分式加減的習(xí)題教學(xué)中，因?yàn)榻忸}前教師認(rèn)為“異分母分式相加減時(shí)，分母不變分子相加”這樣的錯(cuò)誤是非典型錯(cuò)誤，沒(méi)有“試錯(cuò)”的必要，所以

僅停留在指出錯(cuò)誤、改正錯(cuò)誤的層面，而不去作深入的探討，也就不足為奇了.

3.教學(xué)智慧的不足：試“錯(cuò)”不實(shí)的主因

試“錯(cuò)”不實(shí)的主要問(wèn)題是：是不是所有的“錯(cuò)誤”都有“試錯(cuò)”的價(jià)值？又為什么對(duì)于解題中出現(xiàn)的有些“錯(cuò)誤”，教師在教學(xué)時(shí)已經(jīng)引起了注意，并已經(jīng)組織學(xué)生去探究“錯(cuò)誤”產(chǎn)生的原因及“錯(cuò)誤”更正的方法，可收效卻甚微，有時(shí)甚至還干擾到學(xué)生對(duì)正確結(jié)論的認(rèn)識(shí)與理解？

數(shù)學(xué)解題事實(shí)上就是尋找問(wèn)題解答的活動(dòng)過(guò)程，在這個(gè)過(guò)程中一個(gè)人的興趣、情緒、意志等起到了重要的作用.因此，在解題教學(xué)中，教師首先要挑起學(xué)生的好奇心，激起他的興趣，使他產(chǎn)生解題的愿望；其次是恰到好處的問(wèn)題啟發(fā)或追問(wèn).這是解題教學(xué)是否有效的關(guān)鍵，它需要教師的教學(xué)智慧.同樣，組織學(xué)生“試錯(cuò)”的過(guò)程，也離不開(kāi)教師的教學(xué)智慧.當(dāng)然，筆者認(rèn)為，在引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行“試錯(cuò)”的過(guò)程中，教師的教學(xué)智慧主要是指：對(duì)“錯(cuò)誤結(jié)論”或“錯(cuò)誤解法”探討價(jià)值的判斷力與調(diào)控“試錯(cuò)”過(guò)程的組織力.即在解題教學(xué)中，學(xué)生基于自主嘗試探究得到“錯(cuò)誤結(jié)論”或“錯(cuò)誤解法”后，教師需要判斷是否有必要對(duì)其進(jìn)行“試錯(cuò)”，即嘗試探討“錯(cuò)誤”產(chǎn)生的原因，調(diào)整和修改原來(lái)解題方法，直至“錯(cuò)誤”消除.然而實(shí)踐中，由于教師教學(xué)智慧的匱乏，往往讓有價(jià)值的“錯(cuò)誤”教學(xué)資源發(fā)揮不出應(yīng)有的“試錯(cuò)”價(jià)值.

三、改變忽視“試錯(cuò)”教學(xué)的對(duì)策

忽視“試錯(cuò)”教學(xué)現(xiàn)狀的改變，需要有教學(xué)理念的改變與教學(xué)行為的改變兩個(gè)層面上的努力.針對(duì)以上問(wèn)題，我們可以從以下三個(gè)方面進(jìn)行嘗試.

1.變“教為中心”的課堂為“學(xué)為中心”的課堂，讓學(xué)生經(jīng)歷自主解題過(guò)程，不必?fù)?dān)心“錯(cuò)誤”產(chǎn)生

“學(xué)為中心”的課堂相對(duì)于“教為中心”的課堂最大的變化體現(xiàn)在學(xué)生的學(xué)習(xí)方式上，前者是主動(dòng)學(xué)習(xí)，后者是被動(dòng)學(xué)習(xí).在“教為中心”的課堂上，教師把控一切，學(xué)生是被灌輸?shù)膶?duì)象，少有獨(dú)立思考的機(jī)會(huì)；而在“學(xué)為中心”的課堂上，學(xué)生真正邁向“前臺(tái)”，成為課堂學(xué)習(xí)的主人，教師則適當(dāng)“后撤”，成為學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)的組織者、引導(dǎo)者和幫助者，在這樣的課堂上，教師呈現(xiàn)學(xué)習(xí)任務(wù)之后，更多的是以“積極的旁觀者”出現(xiàn)，在學(xué)生自主解題時(shí)，積極地觀察和收集相關(guān)信息.當(dāng)學(xué)生展示個(gè)人解題成果時(shí)，給學(xué)生充分暴露思維過(guò)程的機(jī)會(huì)，哪怕學(xué)生呈現(xiàn)的解題方法“不太完善”，甚至是錯(cuò)誤解法，也要坦然面對(duì)，有時(shí)甚至還要故意放大學(xué)生的錯(cuò)誤，以引發(fā)全體學(xué)生進(jìn)行思考、探討，引導(dǎo)全體學(xué)生參與“試錯(cuò)”過(guò)程，從而實(shí)現(xiàn)“去錯(cuò)”基礎(chǔ)上的“求真”.

2.轉(zhuǎn)變教學(xué)認(rèn)識(shí)上的固步自封，認(rèn)識(shí)到“試錯(cuò)”教學(xué)的價(jià)值，讓有價(jià)值的“試錯(cuò)”過(guò)程成為提升學(xué)生解題素養(yǎng)的“催化劑”

受知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)和方法的局限，學(xué)生在解題過(guò)程中難免會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)解.這些錯(cuò)解是學(xué)生數(shù)學(xué)思維的本真表現(xiàn)，反映出學(xué)生的認(rèn)知水平和行為習(xí)慣［4］.許多教學(xué)名家都認(rèn)為，在學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程中，正確很可能只是一種模仿，可錯(cuò)誤絕對(duì)是一種經(jīng)歷，是通往正確和成功的必經(jīng)之路.基于此，教師需突破自己教學(xué)上的固步自封，具體表現(xiàn)為：（1）在教學(xué)理念上，既要認(rèn)識(shí)到錯(cuò)誤在學(xué)生的學(xué)習(xí)中不可避免，又要認(rèn)識(shí)到“試錯(cuò)”的教學(xué)價(jià)值——學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程實(shí)質(zhì)就是一個(gè)不斷修正錯(cuò)誤的過(guò)程，更要認(rèn)識(shí)到與其一直步步為營(yíng)地預(yù)防學(xué)生出錯(cuò)，不如讓學(xué)生錯(cuò)一次，讓學(xué)生在嘗試中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，在體驗(yàn)中解決問(wèn)題.（2）在教學(xué)行為上，積極踐行試錯(cuò)教學(xué)，雖然課堂教學(xué)是一個(gè)動(dòng)態(tài)生成的過(guò)程，學(xué)生的學(xué)習(xí)錯(cuò)誤具有不可預(yù)見(jiàn)性，但是一旦錯(cuò)誤產(chǎn)生，往往是學(xué)生思維的真實(shí)反映，包含著某種合理成分，甚至是蘊(yùn)含著寶貴的“亮點(diǎn)”，此時(shí)要讓學(xué)生充分展示其思維過(guò)程，并由此針對(duì)性地展開(kāi)教學(xué)，促使學(xué)生主動(dòng)地對(duì)錯(cuò)誤進(jìn)行反思，突破性地認(rèn)識(shí)到錯(cuò)誤所在，進(jìn)而在不知不覺(jué)中提升自己的解題素養(yǎng).

3.提高教師對(duì)錯(cuò)誤資源價(jià)值的鑒別力，有效組織“試錯(cuò)”過(guò)程，充分發(fā)揮“試錯(cuò)”的學(xué)習(xí)功能

“試錯(cuò)”客觀地說(shuō)是一種符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的解題方法.在初中數(shù)學(xué)課堂解題教學(xué)中，“試錯(cuò)”教學(xué)的應(yīng)用，需要教師對(duì)學(xué)生生成的錯(cuò)誤資源有著較強(qiáng)的鑒別力，即能夠以有價(jià)值的錯(cuò)誤資源為載體，通過(guò)設(shè)計(jì)問(wèn)題，引領(lǐng)全體學(xué)生進(jìn)行“試錯(cuò)”活動(dòng)，發(fā)揮“試錯(cuò)”過(guò)程的學(xué)習(xí)功能，進(jìn)而達(dá)到對(duì)“正確解法”的深刻理解.如“解方程：2x（x-5）=x-5”的教學(xué)，我們來(lái)看一位教師的“試錯(cuò)”教學(xué)過(guò)程［5］.

（1）先“展錯(cuò)”.教師有意識(shí)地讓學(xué)生展示錯(cuò)誤解答：

（2）后“議錯(cuò)”.當(dāng)學(xué)生紛紛說(shuō)“錯(cuò)了”時(shí)，教師讓另外兩個(gè)學(xué)生板演正確的解題過(guò)程（一個(gè)用公式法，另一個(gè)用移項(xiàng)后因式分解的方法）.這時(shí)，教師話鋒一轉(zhuǎn)，說(shuō)，“剛才出錯(cuò)的同學(xué)的思考過(guò)程有無(wú)可取之處？”

（3）再“去錯(cuò)”.出錯(cuò)的學(xué)生自豪地展示了自己的“驚

和行為可以看出，他從自我改進(jìn)中強(qiáng)烈體會(huì)到了從尷尬到被欣賞的喜悅.

通過(guò)“展錯(cuò)”、“議錯(cuò)”和“去錯(cuò)”三個(gè)環(huán)節(jié)的教學(xué)，讓全體學(xué)生在對(duì)比中反思，在反思中改進(jìn)，在改進(jìn)中求真，最終收獲成功.

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