立足一題多解 培養(yǎng)發(fā)散思維

☉湖北省秭歸縣實驗中學 李 萍

一題多解，顧名思義就是一道訓練題有多種解法，即啟發(fā)和引導學生從不同的角度、不同的思路，用不同的方法和不同的運算過程去分析、解答同一道數(shù)學題的練習活動.如果復習課中充分運用一題多解訓練，會讓學生受益匪淺.筆者在教學中常和學生共同探討典型題目的多種解法，以拓展學生思維的廣度和深度，鍛煉學生思維的靈活性和敏捷性，幫助學生掌握知識的縱橫聯(lián)系，提高學生綜合運用能力.現(xiàn)就一道圓的性質復習題，列舉以下六種證法來說明.

題目：如圖1，AB是⊙O直徑，△ABC中，AB=AC，AC交⊙O于點E，BC交⊙O于點D，連接DE.求證：BD=DE.

一、四組量的關系定理運用

圖1

證法1：如圖2，連接AD.

因為AB是直徑，所以∠BDA=90°.因為AB=AC，所以∠BAD=∠CAD.所以D（E=B（D，所以BD=DE.

證法2：如圖3，連接OD，OE.

因為由證法1可知，D為BC的中點，所以OD為△ABC的中位線.所以OD∥AC，所以∠BOD=∠OAE，∠EOD=∠OEA.

因為OA=OE，所以∠OAE=∠OEA，所以∠BOD=∠EOD，所以BD=DE.

運用的主要知識點有等腰三角形三線合一和圓的四組量關系定理.

圖2

圖3

圖4

二、圓周角定理及推論

證法3：如圖4，連接AD，BE.

因為AB是直徑，所以∠ADB=∠AEB=90°.

由證法1可知，D為BC的中點，所以ED為Rt△BEC斜邊BC的中線，所以DE=BD.

證法4：如圖5，連接AD，BE，D（E.因為所對的圓周角∠DBE和∠DAE，所以∠DBE=∠DAE.

因為AB是直徑，所以∠ADB=90°.

因為AB=AC，所以∠BAD=∠DAE，所以∠BAD=∠DBE，所以D（E=B（D，所以DE=BD.

這兩種證法所運用到的知識點除了等腰三角形三線合一外，主要運用了圓周角定理及推論.

圖5

三、圓內接四邊形知識運用

證法5：如圖6，因為四邊形ABDE為⊙O的內接四邊形,所以∠DEC=∠B.

因為AB=AC，所以∠B=∠C，所以∠DEC=∠C，所以DC=DE.

由證法1可知，D為BC的中點，所以CD=BD，所以DE=BD.

證法6：如圖6，作DG⊥AB，DH⊥AC，垂足分別為G，H.因為AB是直徑，所以∠ADB=90°.

因為AB=AC，所以∠BAD=∠CAD，所以∠BAD=∠CAD，所以DG=DH.

因為四邊形ABDE為⊙O的內接四邊形，所以∠DEH=∠B，所以△DEH≌△DBG，所以DE=BD.

一題多解體現(xiàn)了數(shù)學思想的靈活性，是學生探索的源泉，是數(shù)學課堂發(fā)散的思維調動.在課堂上啟發(fā)學生一題多解，學生思維不拘泥于一個方向、一個框架，而向四面八方延伸，開放性的思維為課堂注入生機，使課堂充滿靈動.同時體現(xiàn)出不同的數(shù)學思想方法的運用，可以極大開拓學生的思維空間，也為數(shù)學課堂注入生機和活力.在解題的過程中，我們不能只停留在找到答案或得到泛泛的解題方法之上，而應該立足一題多解，進行反思和系統(tǒng)化，完善和豐富知識結構，對各種解題方法進行優(yōu)化，追本溯源，讓課堂充滿靈動，讓思維綻放精彩.H

圖6