用“三條主線”串起等腰三角形起始課的教學
——也談“等腰三角形的軸對稱性（第1課時）”教學設計及立意闡釋

☉江蘇蘇州市高新區(qū)第一初級中學校 單凈璇

《讓學生有實實在在的“獲得感”——“等腰三角形（第1課時）”教學設計簡述及立意闡釋》中對“等腰三角形的軸對稱性（第1課時）”給出了一些思考，很有新意.時隔不久，筆者有幸在一次教研活動中執(zhí)教該課，于是結合日常教學實踐和閱讀帶來的感受對其進行了再次重構，取得了較好的教學效果，下面進行簡單介紹，不當之處，敬請指正.

一、教學設計簡述

1.教學目標.

探索并證明等腰三角形的兩個性質，并會用它們證明角相等、線段相等或線段垂直.

2.教學流程.

（1）復習交流.

圖1

（2）嘗試解疑.

探究：

①將你手中的等腰三角形紙片沿對稱軸對折，你能發(fā)現(xiàn)等腰三角形的性質嗎？說一說你的猜想.（提示：可以從邊、角及特殊線段（中線、高、角平分線）說起……）

②再看一下你同桌或組內其他成員手中的等腰三角形紙片，你的猜想仍然成立嗎？

說明：此時得到兩個猜想（猜想1：等腰三角形的兩底角相等；猜想2：等腰三角形底邊上的高線、中線及頂角平分線相互重合.）

進一步說明：在通過“折紙”活動初步得到兩個猜想以后，用幾何畫板軟件再次驗證得到的兩個猜想，引導學生進一步體會猜想的“正確性”，進而激起學生幾何證明的欲望.

圖2

圖3

圖4

圖5

說明：通過圖2引導學生進一步驗證猜想1，在圖形動態(tài)變化過程中重點引導學生發(fā)現(xiàn)“變化中的不變量”；通過圖3～圖5引導學生進一步驗證猜想2，重點引導學生體會由線段BC的垂直平分線，到等腰△ABC的對稱軸，再到等腰△ABC底邊的中線（底邊的高或頂角的角平分線）之間的三種“不同身份”的變化，強化學生的認同感，此時可設計如下一系列問題串：

問題1：這條虛線是線段BC的垂直平分線，在其上取一點A，請問：△ABC的形狀如何？

問題2：此時，我們知道這條虛線是等腰△ABC的對稱軸，如果將其兩端“隱藏”掉，剩下的線段，對于等腰△ABC而言是什么？（此時學生有的說底邊的中線，有的說底邊上的高，有的說頂角的角平分線，進而實現(xiàn)教學預設的最初目的）

問題3：如果將點A改變位置（如圖5），三者還會重合嗎？為什么？

（3）揭示規(guī)律.

思考1：請根據(jù)以前的學習經(jīng)驗或剛才的對折過程說明上述猜想的合理性或給出證明.

說明：此時給出猜想1的證明，得到性質1，并引導學生結合文字語言、圖形語言給出其符號語言.此時，為了和后續(xù)對“猜想2”的證明保持連貫性，對于學生添加輔助線的方式只呈現(xiàn)一種，順應學生的思考方式，按照學生的思路走.

思考2：根據(jù)性質1的證明過程，你能嘗試著給出猜想2的證明嗎？（提示：在性質1的證明過程中還能得到哪些相等的角或線段）

說明：此時結合性質1的證明得到猜想2的證明思路，進而得到性質2，同時結合上述學生添加的輔助線給出其符號語言的一種表現(xiàn)形式，進而進行如下一系列追問：

問題1：對于猜想1和猜想2的證明，你還有其他添加輔助線的方式嗎？

問題2：不同的輔助線的添加方式，它們的本質是什么？

問題3：請結合其他添加輔助線的方式，完善性質2的符號語言的其它表現(xiàn)形式.

問題4：請結合其他輔助線的添加方式，在課下認真完成證明（即課下作業(yè)必做題的①）.

（4）問題解決.

①等腰三角形的一個底角是36°，則它另外兩個角的度數(shù)為______.

②等腰三角形的一個角是36°，則它另外兩個角的度數(shù)為______.

例1如圖6，在△ABC，AB＝AC，點D在AC上，且BD＝BC＝AD.求△ABC各角的度數(shù).

說明：牛刀小試以搶答的形式呈現(xiàn).例1重點引導學生體會如何設未知數(shù)，（設較小的角）如何將兩個等腰三角形進行聯(lián)系，（通過外角）如何列方程，（在大三角形中應用三角形的內角和定理），同時引導學生體會方程思想的運用給解題帶來的便利.

再次說明：牛刀小試環(huán)節(jié)實際上是為例1的出現(xiàn)打基礎的，該環(huán)節(jié)之后，教師應該引導學生明確對于等腰三角形而言，如果知道了一個內角的度數(shù)就可以根據(jù)三角形內角和定理求出其他兩個內角的度數(shù)，為例1做準備.同時第②題還可以追問兩個問題，一個是將36°改為90°（引出等腰直角三角形），一個是將36°改為100°，讓學生明確等腰三角形的底角只能是銳角.接著進行例1的講解，主要是讓學生和牛刀小試環(huán)節(jié)的解題經(jīng)驗建立聯(lián)系，要求出所有角的度數(shù)，必須要知道一個角的度數(shù)（不知道，應該怎么辦？），引導學生自然地想到需要設未知數(shù)，然后將其他角用未知數(shù)表示出來，進而解決問題.

（5）變式訓練.

練習：如圖7，在△ABC，點D為BC上的一點，AB＝AC＝BD且AD＝CD，求∠C的度數(shù).

例1如圖6，在△ABC，AB＝AC，點D在AC上，且BD＝BC＝AD.

①求△ABC各角的度數(shù)；②變式：如圖8，若E為AB的中點，連接DE，求∠ADE的度數(shù).

圖6

圖8

圖7

（6）達標檢測.

達標檢測：如圖9，在△ABC，AB＝AC，點D是邊BC的中點，過點D作DE⊥AB，DF⊥AC，證明DE=DF.（提示：用兩種方法證明）

說明：一種方法不添加輔助線，通過證明△BED≌△CFD即可，應用性質1完成；當一種方法需要添加輔助線（連接AD），應用性質2完成.

課后作業(yè)：

①必做題：請用其他添加輔助線的方式，完成猜想1和猜想2的證明；教科書第61頁練習的第1、2、3題；

②選做題：根據(jù)你積累的學習經(jīng)驗嘗試給出等腰三角形的判定方法.

圖9

二、立意闡釋

1.第一條主線：觀察、猜想、論證.

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》將推理分為合情推理和演繹推理兩種，演繹推理即后面所說的論證（嚴格的幾何推理），已經(jīng)引起了一線教師的足夠重視.但是，對于演繹推理卻處于一種比較尷尬的局面，沒有引起足夠的重視.

縱觀蘇教版初中數(shù)學的整個教材體系,可以明顯感覺到對于幾何定理的學習大多是以猜想開始的，而這也正是人類研究問題的一個基本過程，符合讓學生經(jīng)歷知識的發(fā)生和發(fā)展過程的基本理念，同時引導學生明確得到猜想后要進一步驗證，直至能夠給出嚴格的證明.此外，應該使學生明確并不是所有的猜想都是正確的，培養(yǎng)學生嚴謹?shù)膶W習態(tài)度.

因此在上述課例的設計中始終保持“觀察、猜想、論證”這樣一條主線，三個環(huán)節(jié)同樣重要，觀察是基礎，猜想是手段，論證是目標，最后的論證也是為培養(yǎng)學生數(shù)學學科的核心素養(yǎng)（邏輯推理）打下堅實的基礎.

2.第二條主線：定義、性質、判定.

章建躍教授在《中國數(shù)學教科書使用變式素材的途徑和方法》提出，教科書從設置與原先學習情境相似的問題情境開始，逐漸變化問題類型，最終變?yōu)榕c原先學習情境完全不同的新情境，使學生在變式情境中形成運用數(shù)學概念、原理解決問題的技能；根據(jù)數(shù)學思想方法的內隱性、概括性、模糊性和啟發(fā)性等特征，在數(shù)學一般觀念指導下，提供過程性變式，引導學生的探究過程，使學生領悟數(shù)學研究的“基本套路”，對于基本圖形而言，其“基本套路”為：定義、性質、判定.

等腰三角形應該是第一次（前面的平行線、角的平分線、線段的垂直平分線不是封閉圖形，全等三角形是兩個圖形之間的關系）比較嚴格的按照定義、性質、判定展開教學的封閉的幾何圖形，應該為后續(xù)等邊三角形、平行四邊形、矩形、菱形、正方形、圓等封閉幾何圖形的學習打下堅實的基礎，因此在本節(jié)課的“總結反思”環(huán)節(jié)以定義、性質、判定進行總結，同時引導學生對于性質和判定的思考方向（邊、角、特殊線段）進行初步體會，為實現(xiàn)中國學生發(fā)展核心素養(yǎng)（比如學會學習）的培養(yǎng)貢獻一份力量.

3.第三條主線：含36°角的等腰三角形.

含36°角的等腰三角形是一類比較特殊的三角形，其具有豐富的教學教育價值，比如，可以構造出更多（相似）的等腰三角形，點D是線段AC的黃金分割點（如圖6），點D是線段BC的黃金分割點（如圖7）等.

上述設計從牛刀小試，到例1，到練習，到變式，都是以此為載體的，而且含36°角的等腰三角形（兩種，如圖6和圖7）都得以出現(xiàn)，這也是為培養(yǎng)學生用“欣賞”的眼光學習幾何進行初步嘗試.

參考文獻：

1.中華人民共和國教育部.義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2012.

2.于彬.讓學生有實實在在的“獲得感”——“等腰三角形（第1課時）”教學設計簡述及立意闡釋［J］.上海中學數(shù)學，2018（1/2）.

3.章建躍.中國數(shù)學教科書使用變式素材的途徑和方法［J］.數(shù)學通報，2015（10）.