巧用錯(cuò)題資源，提升思維品質(zhì)

喬云成

[摘 要] 錯(cuò)題是初中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的寶貴資源. 錯(cuò)題資源的發(fā)掘，目的要鎖定在提升學(xué)生的思維品質(zhì)上. 錯(cuò)題資源的發(fā)掘需要師生共同認(rèn)識(shí)其價(jià)值作為前提，然后在具體的策略下實(shí)施.

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué)；錯(cuò)題資源；學(xué)習(xí)品質(zhì)

教學(xué)質(zhì)量是衡量教師個(gè)體教學(xué)水平的主要因素，教學(xué)質(zhì)量與教師的教學(xué)相關(guān)，也與學(xué)生的學(xué)習(xí)相關(guān). 從辯證的角度來(lái)看，教學(xué)質(zhì)量是師生教與學(xué)相結(jié)合的產(chǎn)物，就初中數(shù)學(xué)學(xué)科而言，教師的教學(xué)質(zhì)量更多的決定于學(xué)生的學(xué)習(xí)質(zhì)量，因此數(shù)學(xué)教師在教給學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，更要教會(huì)學(xué)生如何學(xué)好數(shù)學(xué). 考慮到學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的主要環(huán)節(jié)在于解題，因此從解題角度提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)品質(zhì)，就成為提升教學(xué)質(zhì)量的重要舉措. 在實(shí)際教學(xué)中，最能體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的是解題（問(wèn)題解決），最能反映學(xué)生思維不足的也是解題，尤其是當(dāng)遇到學(xué)生做錯(cuò)題的時(shí)候，師生如何面對(duì)？又應(yīng)當(dāng)采取什么樣的跟進(jìn)措施？筆者以為這是需要重點(diǎn)研究的課題，只有當(dāng)錯(cuò)題當(dāng)作一種資源，并從這些資源中發(fā)掘教學(xué)價(jià)值，才能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)品質(zhì)得到進(jìn)一步的提升，本文試就這個(gè)話題展開(kāi)探討.

初中數(shù)學(xué)錯(cuò)題的資源價(jià)值在哪里

認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)錯(cuò)題的資源價(jià)值所在，才能真正發(fā)掘出其價(jià)值，并且服務(wù)于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).

當(dāng)前，數(shù)學(xué)教師關(guān)于錯(cuò)題的價(jià)值認(rèn)識(shí)普遍基于這樣的一種共識(shí)：錯(cuò)題在得到重視并進(jìn)行了適當(dāng)?shù)闹貜?fù)之后，學(xué)生能夠做對(duì)，于是解題能力就能得到一定程度的提升. 這樣的認(rèn)識(shí)符合經(jīng)驗(yàn)，同時(shí)這樣的認(rèn)識(shí)又有一定的局限性. 經(jīng)驗(yàn)表明，當(dāng)前學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中表現(xiàn)出的一個(gè)顯著特點(diǎn)，就是只有做過(guò)的習(xí)題才能在下次遇到時(shí)輕車(chē)熟路，而只要題型一變，就會(huì)感覺(jué)非常困難，甚至是連一些學(xué)優(yōu)生也是如此. 在感覺(jué)到困惑的同時(shí)，教師通常會(huì)選擇幫學(xué)生擴(kuò)大視野，即通過(guò)設(shè)計(jì)、編制更多種類(lèi)型的題目讓學(xué)生去練習(xí)，而在出錯(cuò)之后則繼續(xù)進(jìn)行錯(cuò)題整理與歸類(lèi)，以試圖提高學(xué)生的解題水平.

在筆者看來(lái)，這樣的做法的作用可以說(shuō)是治標(biāo)不治本，因?yàn)閿?shù)學(xué)習(xí)題真如海，有限的訓(xùn)練不可能讓學(xué)生形成必要的解題能力（當(dāng)然，筆者并不反對(duì)必要的、一定量的訓(xùn)練）. 因?yàn)槿绻f(shuō)學(xué)優(yōu)生身上都表現(xiàn)出這種缺乏應(yīng)對(duì)變式或反例（最基本的兩個(gè)心理學(xué)概念）時(shí)，那說(shuō)明我們的訓(xùn)練方法可能存在不足. 或者說(shuō)得直接一點(diǎn)，就是簡(jiǎn)單的錯(cuò)題整理與歸類(lèi)，實(shí)際上并不會(huì)讓學(xué)生的解題能力有明顯提高. 因此，錯(cuò)題的真正的資源價(jià)值是需要重新發(fā)掘的.

筆者以為，初中數(shù)學(xué)教學(xué)中將錯(cuò)題視作寶貴的資源并發(fā)揮其價(jià)值. 需要建立兩個(gè)基本認(rèn)識(shí)：第一，有價(jià)值的錯(cuò)題，必然反映學(xué)生思維的不足. 因此并不是所有的錯(cuò)題都是有價(jià)值的，只有真正反映學(xué)生思維盲點(diǎn)的錯(cuò)題，才具有研究的價(jià)值；第二，錯(cuò)題研究的方向不在于一道題的解決，而在于一類(lèi)題的解決，因此錯(cuò)題資源的開(kāi)發(fā)與利用，應(yīng)當(dāng)是一個(gè)系統(tǒng)過(guò)程，絕不是錯(cuò)題整理一下、正確答案書(shū)寫(xiě)一下就完事的. 基于這樣的兩點(diǎn)基本認(rèn)識(shí)，筆者以為數(shù)學(xué)教師對(duì)錯(cuò)題及其價(jià)值的認(rèn)識(shí)要提升一個(gè)層次，至少要將目光集中到提升學(xué)生的思維品質(zhì)上來(lái)；而從學(xué)生的角度來(lái)看，讓學(xué)生在研究錯(cuò)題的過(guò)程中，反思自己的解題思路上的不足則是必然之舉.

用數(shù)學(xué)錯(cuò)題提升學(xué)生的思維品質(zhì)

那么，利用數(shù)學(xué)錯(cuò)題來(lái)提升學(xué)生的思維品質(zhì)，到底有哪些具有可操作性的措施呢？筆者結(jié)合自己的實(shí)踐進(jìn)行了總結(jié)，提出如下三點(diǎn)錯(cuò)題分析思路供同行們參考：

第一，能力主線式錯(cuò)題整理. 整理錯(cuò)題切忌錯(cuò)一題整理一題，結(jié)果可能會(huì)得到一本工工整整的錯(cuò)題集，但其可用性與實(shí)效性實(shí)際上是得不到保證的，相比較而言，筆者更傾向于學(xué)生通過(guò)分析自己的數(shù)學(xué)解題能力，尤其是發(fā)現(xiàn)自己解題能力或者說(shuō)某種意識(shí)的不足來(lái)整理錯(cuò)題. 比如說(shuō)在一類(lèi)幾何證明題中，筆者指導(dǎo)一位學(xué)生發(fā)現(xiàn)自己在證明“兩角相等”和證明“一條線是某角的角平分線”時(shí)所出現(xiàn)的錯(cuò)誤，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到了其出錯(cuò)原因在于沒(méi)有將角平分線的性質(zhì)——角平分線上的點(diǎn)到兩邊的距離相等活學(xué)活用，他不知道利用這個(gè)性質(zhì)引導(dǎo)自己去形成構(gòu)建全等三角形的思路. 于是筆者讓他將曾經(jīng)錯(cuò)過(guò)的若干題目中的兩題提取出來(lái)記入錯(cuò)題集，并在這兩題之前做上同樣的記號(hào)，這兩題題干看起來(lái)并不相同，但實(shí)質(zhì)都指向同一思路. 這種遵循同一思路去整理錯(cuò)題的做法，是發(fā)掘錯(cuò)題資源價(jià)值的重要基礎(chǔ).

第二，思路回溯式錯(cuò)題分析. 錯(cuò)題的價(jià)值是要通過(guò)分析才能發(fā)現(xiàn)的，分析的落腳點(diǎn)應(yīng)當(dāng)是解題思路，而解題思路中的不足是通過(guò)比較才能發(fā)現(xiàn)的，因此有效的比較是數(shù)學(xué)錯(cuò)題資源價(jià)值發(fā)現(xiàn)的重要途徑.

例如這樣的一道題目：如圖1，△ABC和△EFC都是等邊三角形，AD是△ABC的高，AB=4，若點(diǎn)E在直線AD上運(yùn)動(dòng)，連接DF，則在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段DF的最小值是（ ）

這題本來(lái)的思路是根據(jù)三角形的性質(zhì)來(lái)判定得出∠FBC=30°，進(jìn)而根據(jù)垂線段的性質(zhì)判斷當(dāng)圖中的DF與BF垂直時(shí)，DF取最小值，然后根據(jù)剛剛得出的∠FBC=30°與直角三角形的性質(zhì)來(lái)求解. 而學(xué)生在解題的過(guò)程中，他們的思路常常卡在不知道DF的值在什么時(shí)候最小. 通常情況下，學(xué)生對(duì)此類(lèi)習(xí)題的解答都需要教師的講授才能構(gòu)建完整的解題思路，而這個(gè)思路之于學(xué)生的價(jià)值，則在于幫學(xué)生完善自己原有的思路. 打個(gè)不恰當(dāng)?shù)谋确?，這類(lèi)試題學(xué)生在初次解決的時(shí)候，其思路是零散的、碎片化的，而教師的講授就如同修補(bǔ)匠一般，是幫學(xué)生的原有思維打補(bǔ)丁的過(guò)程. 真正有效的學(xué)習(xí)過(guò)程，不是接受這些補(bǔ)丁，而是在補(bǔ)丁打完之后學(xué)生的反思過(guò)程. 筆者在此題教學(xué)的過(guò)程中，重點(diǎn)讓學(xué)生梳理自己原有思路的“錯(cuò)誤”（這是錯(cuò)題的價(jià)值之一），然后讓學(xué)生復(fù)述正確思路，并比較自己思路與正確思路的差異，重點(diǎn)判斷自己在哪個(gè)地方?jīng)]有形成準(zhǔn)確的判斷. 待到自己的思路清晰之后，筆者還讓學(xué)生在錯(cuò)題集上進(jìn)行反思性描述，其大體格式是這樣的：初次思考時(shí)，因?yàn)椤?，沒(méi)有想到關(guān)鍵的……一步；梳理正確的解題思路之后，我認(rèn)為……對(duì)我而言是最關(guān)鍵的，以后解題要注意……

這種反思式的錯(cuò)題總結(jié)，實(shí)際上是讓學(xué)生回溯自己的初次解題過(guò)程，并將之與正確的解題思路進(jìn)行比較，以在比較中發(fā)現(xiàn)自己的不足. 這種分析錯(cuò)題的思路，應(yīng)當(dāng)成為初中數(shù)學(xué)錯(cuò)題資源發(fā)掘中的常態(tài)，很多時(shí)候我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生在解題之后就忘記了自己的解題思路，筆者以為這是學(xué)生解題中過(guò)于被動(dòng)的表現(xiàn)，說(shuō)明了學(xué)生對(duì)自己解題思路清晰化的忽視，而真正學(xué)習(xí)能力強(qiáng)的學(xué)生，是不會(huì)這樣的. 通過(guò)這種回溯式的分析，可以讓學(xué)生逐步形成注重思維品質(zhì)，并在錯(cuò)題中提升思維品質(zhì)的習(xí)慣.

第三，合作對(duì)比式錯(cuò)題總結(jié). 初中學(xué)生的心理特點(diǎn)決定了他們?cè)谧鲥e(cuò)題目之后，總喜歡掩飾自己的錯(cuò)誤，這實(shí)際上無(wú)形當(dāng)中使得學(xué)生喪失了一個(gè)直面自己錯(cuò)誤的機(jī)會(huì). 針對(duì)學(xué)生的這一心理特點(diǎn)，筆者的錯(cuò)題資源發(fā)掘的另一思路，就是培養(yǎng)學(xué)生“強(qiáng)大的心理”，讓學(xué)生不但敢于面對(duì)自己的錯(cuò)誤，還愿意與他人分享自己的錯(cuò)誤. “分享錯(cuò)誤”對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，是一個(gè)新的學(xué)習(xí)理論，筆者跟學(xué)生強(qiáng)調(diào)：在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中，沒(méi)有誰(shuí)不出錯(cuò)的，即使是最優(yōu)秀的學(xué)生，有時(shí)候也會(huì)犯低級(jí)的錯(cuò)誤（這里可以征得優(yōu)生的同意，舉他們的實(shí)際出錯(cuò)的例子）……錯(cuò)誤其實(shí)往往比正確更有價(jià)值，因?yàn)樵谌粘５挠?xùn)練過(guò)程中，做對(duì)了題目說(shuō)明自己已經(jīng)會(huì)了，說(shuō)明這些題目對(duì)自己已經(jīng)沒(méi)有多大的價(jià)值了，而只有做錯(cuò)了的題目，才能讓自己獲得更大的進(jìn)步. 通常情況下，初中學(xué)生是能夠認(rèn)識(shí)到這一道理的，在學(xué)生認(rèn)同了這一理念之后，教師可以利用小組合作的學(xué)習(xí)方式，讓學(xué)生就某個(gè)階段所做錯(cuò)的題目進(jìn)行專(zhuān)題討論，事實(shí)證明，這確實(shí)是一個(gè)非常好的策略.

有一次測(cè)試的時(shí)候，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生的所出的錯(cuò)誤呈現(xiàn)出兩個(gè)特點(diǎn)：一是部分難題，錯(cuò)誤集中；其余部分中檔題，則出錯(cuò)比較分散. 基于這一特點(diǎn)，筆者讓學(xué)生在小組合作中分兩步對(duì)錯(cuò)題進(jìn)行討論分析：首先，看共同的錯(cuò)題，這實(shí)際上是共性問(wèn)題，教師講授不可忽視，具體不贅述；其次，就分散的錯(cuò)題在小組內(nèi)“先提問(wèn)，后討論”. 提問(wèn)就是講自己的思路，講“為什么我這么做就錯(cuò)了”，講“這種題目應(yīng)該怎么想（思考）”. 而且筆者明確必須這么問(wèn)，因?yàn)橹挥羞@么問(wèn)，學(xué)生的解題方法的意識(shí)才會(huì)增強(qiáng).

例如這樣一題：如圖2，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，A（-4，0），B（0，2），（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）如圖3，若點(diǎn)A不動(dòng)，點(diǎn)B在y軸的正半軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，分別以O(shè)B，AB為直角邊在第一、第二象限作等腰直角三角形BOF與等腰直角三角形ABE，連接EF交y軸于P點(diǎn)，問(wèn)當(dāng)點(diǎn)B在y軸正半軸上移動(dòng)時(shí)，BP的長(zhǎng)度是否變化？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變化，請(qǐng)求出其長(zhǎng)度.

在討論中，筆者要求做錯(cuò)的學(xué)生必問(wèn)的問(wèn)題是：第1問(wèn)對(duì)第2問(wèn)有什么作用？這是這一類(lèi)題目的基本特點(diǎn)，通常第1問(wèn)對(duì)第2問(wèn)的求解都有思路上的啟發(fā)作用，而很多學(xué)生之所以出錯(cuò)，正是因?yàn)椴荒芎芎玫匾庾R(shí)到這一點(diǎn)，或者說(shuō)雖然意識(shí)到，但由于題設(shè)條件變化較大，他們無(wú)法實(shí)現(xiàn)有效的轉(zhuǎn)變. 而這種情況下，學(xué)生之間的講授，可以讓他們?cè)诎踩膶W(xué)習(xí)情境中打開(kāi)思路，最后教師再加以點(diǎn)撥，就可以讓學(xué)生的思路更加明晰.

錯(cuò)題資源的發(fā)掘須建立生本意識(shí)

錯(cuò)題資源的發(fā)掘與數(shù)學(xué)概念的教學(xué)不同，在解題中，錯(cuò)誤是學(xué)生自己犯的，錯(cuò)誤反映著學(xué)生思維的不足或者說(shuō)缺陷，而矯正錯(cuò)誤也是學(xué)生自己的事. 因此，教師研究錯(cuò)題并嘗試以錯(cuò)題分析為出發(fā)點(diǎn)來(lái)提高學(xué)生的解題能力與思維品質(zhì)，關(guān)鍵的一點(diǎn)，是必須堅(jiān)持以學(xué)生為本，真正從學(xué)生的角度出發(fā)去思考問(wèn)題.

具體有兩點(diǎn)認(rèn)識(shí)：一是要讓學(xué)生理清自己錯(cuò)在哪里，哪怕學(xué)生忘記了自己的解題思路，也要讓學(xué)生重新看自己的錯(cuò)誤解題過(guò)程，以知道自己錯(cuò)在哪里. 只有知道“錯(cuò)在哪里”，才能認(rèn)識(shí)到“對(duì)在哪里”的價(jià)值；二是要讓學(xué)生自己描述正確的解題思路，通常錯(cuò)題訂正的時(shí)候，學(xué)生只喜歡抄正確答案，卻不知道背后的思路. 嚴(yán)格來(lái)說(shuō)，這不是真正的訂正，真正的訂正是需要思路支撐的. 因此，說(shuō)思路比寫(xiě)過(guò)程更重要.

當(dāng)然還有必須交代的一點(diǎn)，本文所說(shuō)的錯(cuò)題，是指學(xué)生有思路，但思路出錯(cuò)的那些試題. 一點(diǎn)不會(huì)、毫無(wú)頭緒的錯(cuò)題，嚴(yán)格來(lái)講，不在學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”之內(nèi)，其價(jià)值發(fā)掘不如這一類(lèi)試題.