中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中換元法思想的培養(yǎng)

楊建奇 朱雯婷

摘要：論文針對(duì)如何在教學(xué)中培養(yǎng)換元法思維進(jìn)行研究。為更好的讓學(xué)生認(rèn)知和接受換元法，教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)當(dāng)以簡單明了的方式去引入換元法。要通過啟發(fā)性、典型性、和創(chuàng)造性的范例教學(xué)引導(dǎo)學(xué)生掌握換元法的基本步驟和規(guī)律，要始終把換元法與化歸思想的作為一個(gè)整體進(jìn)行教學(xué)。

關(guān)鍵詞：換元法;范例教學(xué);化歸思想

新課標(biāo)明確了數(shù)學(xué)教學(xué)的總目標(biāo)是通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)能夠獲得適應(yīng)未來社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的重要數(shù)學(xué)知識(shí)、基本的思想方法以及一些必要的數(shù)學(xué)應(yīng)用技能。在眾多重要的數(shù)學(xué)方法中，換元法是其中重要的一種換元法是其中重要的一種，它在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用普遍，不易掌握。在中高考中，考察換元法的考題也層出不窮。在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中采取何種教學(xué)方法和收到來達(dá)到這個(gè)目標(biāo)，教會(huì)學(xué)生熟練掌握換元法？換元法從本質(zhì)上講就是轉(zhuǎn)化思想在解決問題中的一種具體表現(xiàn)。通過換元將未知問題轉(zhuǎn)化為熟知問題，將復(fù)雜問題簡單化，從而使問題得到解決。

換元法在中學(xué)數(shù)學(xué)中無處不在，是一種非常實(shí)用的解題方法。因此，在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)該很好地加以培養(yǎng)轉(zhuǎn)化和化歸思想，讓學(xué)生熟練地加以掌握換元法，進(jìn)而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和綜合思維能力。筆者認(rèn)為，應(yīng)該從以下幾個(gè)方面注意培養(yǎng)學(xué)生換元法的理解與運(yùn)用。

1 明確基本要求，滲透“層次”培養(yǎng)，以簡單明了的方式引入換元法

《數(shù)學(xué)大綱》將中學(xué)數(shù)學(xué)中滲透的數(shù)學(xué)思想、方法劃分為 “了解”、“理解”和“會(huì)應(yīng)用”三個(gè)層次。換元法所體現(xiàn)的化歸思想，沒有明確提出，卻滲透在學(xué)習(xí)新知問題解決的過程中，應(yīng)歸屬于“了解”這一層次。但對(duì)其要求卻是“理解”和“會(huì)應(yīng)用”。因此，在教學(xué)中，要認(rèn)真把握好這三個(gè)層次的不同要求，不能隨意提高思想與方法的所處層次。否則，由于數(shù)學(xué)思想和方法的抽象性和理論性，過高的要求會(huì)導(dǎo)致學(xué)生失去學(xué)習(xí)信心，從而喪失學(xué)習(xí)興趣。在教學(xué)中，教師應(yīng)牢牢地把握住 “度”，不能隨意提高知識(shí)學(xué)習(xí)要求。否則，學(xué)生的效果將是事倍工半、得不償失。教學(xué)中教師的作用往往是通過簡單易懂的例題教學(xué)來體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，讓學(xué)生在不知不覺中體味數(shù)學(xué)方法，領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)思想。如分式方程是學(xué)習(xí)整式方程后的一個(gè)后繼學(xué)習(xí)內(nèi)容，是整式方程解法的運(yùn)用和延伸，學(xué)生容易理解這些類型的方程，作為教師一定要抓住這一契機(jī)，訓(xùn)練學(xué)生的換元思維，以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣。

例1 解方程 x2=6x2-x+x-1。

本題如直接去分母，將出現(xiàn)四次方程，由學(xué)生現(xiàn)有知識(shí)顯鐵飯碗無法解答，如果引導(dǎo)學(xué)生變形成x2-x+1=6x2-x，發(fā)現(xiàn)x2-x是整體出現(xiàn)的，可用換元法設(shè)x2-x=y，則這個(gè)方程化為整式方程y2+y+1=0，學(xué)生很容易解出結(jié)果，也就容易掌握這種換元的方法。盡管題目簡單，但卻使學(xué)生發(fā)現(xiàn)還原法的重要作用，掌握了換元的基本思路，領(lǐng)會(huì)了換元的思想。

從這一例子還可以看出，對(duì)于較復(fù)雜的式子，需要學(xué)生冷靜思考、認(rèn)真分析抓住問題的特征，而換元有時(shí)能使問題的關(guān)系明朗化、簡單化，很容易讓學(xué)生體會(huì)到解題的樂趣。因此，只要明確教學(xué)的基本要求，從“了解”、“理解”到“會(huì)應(yīng)用”這三個(gè)層次逐漸滲透，就會(huì)讓學(xué)生慢慢體會(huì)到這一方法的重要作用，進(jìn)而注意學(xué)習(xí)和應(yīng)用。下面列舉兩例，以說明掌握換元法的重要性。

例2設(shè)x=5-12，求1+x1+x+1-x+1-x1+x2-1+x的值。

本題直接化簡求值十分繁瑣，如果注意于1-x，1+x，1-x2，1-x這些式子間的關(guān)系，換元后化簡求值就簡便得多。

解：設(shè)1+x=A，1-x=B，則

原式AA+B+B2AB-B2=AA+B+BA-B=A2+B2A2-B2=1x。故，原式=-1-52。

2 通過范例和解題教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生掌握換元法步驟和規(guī)律

在教學(xué)中要通過例題講解和練習(xí)及其反思活動(dòng)，從解題教學(xué)和習(xí)題寫作中總結(jié)歸納解題方法;從換元法教學(xué)角度上講，教學(xué)中應(yīng)充分發(fā)揮換元方法在發(fā)現(xiàn)解題方向和方法選擇、聯(lián)想和轉(zhuǎn)化功能，觸類旁通，舉一反三，以靈活運(yùn)用各種數(shù)學(xué)知識(shí)和方法去分析解決問題。范例教學(xué)中所選擇的例題和練習(xí)要具有一定的啟發(fā)性、典型性和創(chuàng)造性。同時(shí)范例的設(shè)計(jì)和選擇要注意探索性要求，要能夠體現(xiàn)一般規(guī)律和特殊規(guī)律。在分析和思考的過程中展示問題轉(zhuǎn)化思想和換元方法，提高學(xué)生的發(fā)散思維能力。例如，對(duì)某些問題，要尋求一題多解，要引導(dǎo)學(xué)生盡可能運(yùn)用多種換元方法，從各條途徑尋求答案，找出最優(yōu)方法，培養(yǎng)學(xué)生的換元變通性;對(duì)某些問題可以進(jìn)行由簡到繁、由特殊到一般的推論，讓學(xué)生大膽聯(lián)系和猜想，培養(yǎng)其思維的廣闊性;對(duì)某些特殊問題可以分析其條件和結(jié)論的特殊性，跳出慣性思維的影響和束縛，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性;對(duì)一些條件、因素較多的問題，要從總體上把握問題和結(jié)論，要引導(dǎo)學(xué)生全面、系統(tǒng)的綜合各個(gè)條件，培養(yǎng)其橫向思維，拓展思路解決問題等等。此外，還要引導(dǎo)學(xué)生通過例題學(xué)習(xí)、自主練習(xí)后進(jìn)行反思，優(yōu)化解題過程，總結(jié)換元規(guī)律和經(jīng)驗(yàn)，養(yǎng)成問題轉(zhuǎn)化思想。

例3解方程（x2+1）2=x2+3

應(yīng)該先從基本的方法的入手，把方程展開成標(biāo)準(zhǔn)的雙二次方程，再對(duì)x2進(jìn)行換元。

然后可以引入思路2：以x2+1為一個(gè)整體進(jìn)行換元，因此要對(duì)方程右邊進(jìn)行變形使其含有x2+1。然后對(duì)x2+1進(jìn)行整體換元。

由此，可以從易到難，采用多種換元方法，拓展學(xué)生的換元思路。換元法的解題關(guān)鍵是根據(jù)題目結(jié)構(gòu)形式及相關(guān)數(shù)學(xué)性質(zhì)恰當(dāng)選擇新變量，發(fā)現(xiàn)或構(gòu)造新元，在“等量代換”的轉(zhuǎn)換中把復(fù)雜的問題應(yīng)刃而解。

3 通過“換元方法”去了解“化歸思想”，利用“化歸思想”來指導(dǎo)利用“換元方法”

中學(xué)數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)思想和方法的內(nèi)涵與外延，目前尚無明確的界定。其實(shí)，在中學(xué)數(shù)學(xué)中，許多數(shù)學(xué)思想和方法相輔相成，又相互蘊(yùn)涵，他們是一致的，兩者之間很難分割。思想是屬于數(shù)學(xué)觀念一類的東西，比較抽象，而數(shù)學(xué)方法較具體，是實(shí)施有關(guān)思想的技術(shù)手段。在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)方法的理解和應(yīng)用，以達(dá)到對(duì)數(shù)學(xué)思想的了解，是使數(shù)學(xué)思想與方法有效融合的一種有效方法。換元法所體現(xiàn)的化歸思想，貫穿于整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)之中，具體表現(xiàn)為從未知到已知、一般到特殊、局部與整體的轉(zhuǎn)化等。在教學(xué)中，通過對(duì)換元法的學(xué)習(xí)和應(yīng)用，使學(xué)生逐步領(lǐng)略內(nèi)含于這一方法之中的化歸思想，同時(shí)，在相互轉(zhuǎn)換的化歸思想指導(dǎo)下，又可以進(jìn)一步深化學(xué)生對(duì)換元方法的理解和運(yùn)用。這種“方法”與“思想”的珠聯(lián)璧合，互聯(lián)互通，將創(chuàng)新思維和創(chuàng)新精神融合于日常的教學(xué)之中，一定能取得較好的教學(xué)效果。如簡單高次方程是在學(xué)習(xí)一元二次方程后的一個(gè)后續(xù)內(nèi)容，既是一元二次方程解法的運(yùn)用，也是培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸思想的重要教學(xué)內(nèi)容，而其中換元法是轉(zhuǎn)化與化歸的重要手段。通過換元、降次將高次方程化歸為一元二次方程，從而總是問題易解。

例4 解方程（x2+5x+4）（x2+5x+6）8=0

解：設(shè)x2+5x+4=y， 則原方程可化為y（y+2）-8=0。從而可以簡單求解。

4 總結(jié)

綜合以上思考，筆者認(rèn)為，在教學(xué)中教師應(yīng)該更全面地重視換元法這一基本知識(shí)和基本技能，它不應(yīng)該僅限于現(xiàn)成的公式和知識(shí)的直接套用。公式和知識(shí)的套用是最低的、普通的層次。在很長一段時(shí)間以來，我們的數(shù)學(xué)解題實(shí)際上是流于形式的演算和形式推理，基本上形成讓學(xué)生記住知識(shí)點(diǎn)，然后單純運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)訓(xùn)練解各種類型習(xí)題的模式。而從換元法的熟練運(yùn)用中，可以看出，這種具體的數(shù)學(xué)操作方法是將問題轉(zhuǎn)化后，得以快速解決的，這個(gè)化歸和轉(zhuǎn)換的過程，就是思維創(chuàng)新的過程，是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力的一種有效途徑。因此要根據(jù)課程教學(xué)大綱和課程教學(xué)計(jì)劃，以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體，按照啟發(fā)—吸收—消化—發(fā)展的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律有步驟地培養(yǎng)學(xué)生對(duì)于換元法的熟練運(yùn)用，并在內(nèi)容組織和設(shè)計(jì)上不斷豐富和完善數(shù)學(xué)思想的理念和觀點(diǎn)，在知識(shí)、技能與數(shù)學(xué)思想方法之間建立一個(gè)有機(jī)的結(jié)合，形成一個(gè)完整的學(xué)習(xí)認(rèn)知和應(yīng)用系統(tǒng)。換元法不僅存在于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，它在其他學(xué)科和解決實(shí)際問題時(shí)也處處可見。換元轉(zhuǎn)化的思想就是辯證唯物主義“事物在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化”的思想的一種具體體現(xiàn)。將轉(zhuǎn)化、換元的思想方法的教育滲透到解題教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生分析解決問題的能力及學(xué)生的核心素養(yǎng)中，是達(dá)到素質(zhì)教育的重要手段之一。

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項(xiàng)目資助：湖南科技學(xué)院教改項(xiàng)目（XKYJ2017002）;湖南省教育廳重點(diǎn)研究項(xiàng)目（17A080）;2016年湖南科技學(xué)院轉(zhuǎn)型發(fā)展試點(diǎn)專業(yè)——數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)（XKYJ2016005）

作者簡介：楊建奇（1971），邵陽人，博士，副教授，現(xiàn)從事概率統(tǒng)計(jì)的教學(xué)與研究工作。