多想一步，在“想”中培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心思想

葛建華

摘 要：解題是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)必要的載體。實(shí)踐表明，如果教師能給學(xué)生到位的引導(dǎo)，足夠的空間和時(shí)間，鼓勵(lì)學(xué)生在已經(jīng)解題的基礎(chǔ)上再“多想一步”，那么學(xué)生在繼續(xù)研究的過(guò)程中，收獲的不僅僅是會(huì)解決一道具體的題目，同時(shí)，抽象、推理、建模這些核心素養(yǎng)也能在其中得以培養(yǎng)和落實(shí)。

關(guān)鍵詞：多想一步；抽象；推理；建模

解題是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)必要的載體。對(duì)于一道題目的解答，是只停留于解題的層面，還是可以在解題的基礎(chǔ)上，引領(lǐng)學(xué)生再“多想一步”呢？實(shí)踐表明，如果在解題的基礎(chǔ)上，對(duì)題目本身再多研究一些，可以讓學(xué)生對(duì)所學(xué)的知識(shí)應(yīng)用更透徹，并且能在“多想一步”的過(guò)程中，培養(yǎng)學(xué)生相關(guān)的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

一、“多想一步”，在變式練習(xí)中感受“建?！?/p>

數(shù)學(xué)建模是從具體問(wèn)題中抽象、提煉出數(shù)學(xué)模型的過(guò)程。當(dāng)學(xué)生根據(jù)一道題中具體的信息解題后，教師可以通過(guò)變式訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生逐漸抽象，并從中找出這類題的共性，尋找解決這一類題的通用方法，感受其方法的“建?！薄?/p>

比如這一題：用地磚鋪成一塊長(zhǎng)方形活動(dòng)場(chǎng)地，其中白地磚有8行，每行15塊。同樣大小的花地磚在白地磚外圍鋪一圈，且花地磚比白地磚少70塊?；ǖ卮u有多少塊？解決這一題時(shí)，可以先求白地磚的塊數(shù)：15×8=120（塊），再求花地磚的塊數(shù)：120-70=50（塊）。解答完后，再引領(lǐng)學(xué)生多想一步：“這一題還可以用不同方法解答嗎？”隨后，學(xué)生們?cè)谝幌盗械奶剿髦?，就?huì)有更多的發(fā)現(xiàn)。

首先，可以將題中的信息用圖1來(lái)表示。

可以發(fā)現(xiàn)，花地磚的塊數(shù)可以分成三部分，第一部分可以橫著看，是白地磚的一行的塊數(shù)乘2；第二部分可以豎著看，是白地磚的行數(shù)乘2；第三部分是四個(gè)角落里的4塊?？梢粤惺綖椋?5×2=30（塊），8×2=16（塊），30+16+4=50（塊）。

如果再進(jìn)一步，想一想：“如果白地磚有50行，每行100塊?！被ǖ卮u的塊數(shù)該怎么求？如果白地磚的行數(shù)、每行的塊數(shù)更多，可以怎樣求花地磚的塊數(shù)？

學(xué)生在幾次變式訓(xùn)練后，逐漸感悟到，如果把白地磚每行的塊數(shù)看作里面這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，把白地磚的行數(shù)看作里面這個(gè)長(zhǎng)方形的寬，那么，外圍一周花地磚的塊數(shù)就是“長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)+4”。由此，在“多想一步”的思索中，學(xué)生對(duì)問(wèn)題的研究越來(lái)越深入，思維逐步由直觀走向抽象，慢慢感悟，并最終建立起解決這一類題的相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。

二、“多想一步”，在“尋找規(guī)律”中感受“抽象”

解一道題，可以帶給學(xué)生相應(yīng)的這道題的解題經(jīng)驗(yàn)。某些時(shí)候，在解一道題的基礎(chǔ)上，如果能適當(dāng)?shù)匾龑?dǎo)學(xué)生“多想一步”，就有可能將這一題變得豐厚，并能從中進(jìn)行抽象，發(fā)現(xiàn)相關(guān)問(wèn)題之間的規(guī)律。

比如這一題：甲、乙、丙三人去釣魚。他們將釣得的魚放在一個(gè)魚簍中，就在原地躺下休息，結(jié)果都睡著了。甲先醒來(lái)，他將魚簍中的魚平均分成3份，發(fā)現(xiàn)還多1條，就將多的這條魚扔回河中，拿著其中一份回家了。乙隨后醒來(lái)，他將魚簍中現(xiàn)有的魚平均分成3份，發(fā)現(xiàn)還多1條，也將多的這條魚扔回河中，拿著其中一份回家了。丙最后醒來(lái)，他也將魚簍中的魚平均分成3份，這時(shí)也多1條魚。這三個(gè)人至少釣到多少條魚？

解題時(shí)，從結(jié)果出發(fā)，根據(jù)條件進(jìn)行倒推。從最少的情況出發(fā)，假設(shè)最后丙平均分得的每份為1條：

發(fā)現(xiàn)：甲分魚時(shí)，三份中剩下的兩份和為7條，不現(xiàn)實(shí)。所以這一假設(shè)不成立。

假設(shè)最后丙平均分得的每份為2條：

發(fā)現(xiàn)：乙分魚時(shí)，三份中剩下的兩份和為7條，不現(xiàn)實(shí)。所以這一假設(shè)不成立。

假設(shè)最后丙平均分得的每份為3條：

所以，這三個(gè)人至少釣到25條魚。

可以感受到，學(xué)生在解決這一題中用到了多種策略，比如列表、假設(shè)、推理等，在這些策略綜合運(yùn)用的基礎(chǔ)上，找到了三個(gè)人至少釣到的魚數(shù)。照理說(shuō)，學(xué)生能解決到這一步已經(jīng)很不錯(cuò)了。但如果能在這個(gè)基礎(chǔ)上，我們?cè)僖龑?dǎo)學(xué)生多想一步：“如果這一題把‘至少二字拿去，丙最后平均分得的每份還可能是多少呢？”學(xué)生就會(huì)遵循剛才解題中用到的策略繼續(xù)思索下去，就會(huì)得到一系列的數(shù)據(jù)，丙最后平均分得的每份應(yīng)是：3、7、15、31、63……再繼續(xù)觀察，就會(huì)發(fā)現(xiàn)，這些數(shù)據(jù)是有規(guī)律的，后面一個(gè)數(shù)是前一個(gè)數(shù)的2倍加1。在發(fā)現(xiàn)、推理中，學(xué)生不但能發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，同時(shí)能感受到數(shù)學(xué)的思維美。

再如這一題：一個(gè)皮球從16米的高處落下，如果每次彈起的高度總是它下落的一半，第3次彈起多少米？第4次呢？要求每次彈起的高度，可以從圖3中發(fā)現(xiàn)，分別是：8米、4米、2米、1米。

如果再多想一步：“第5次、第6次、第7次、第8次……彈起的高度分別是多少呢？”如果高度逐漸減小，如果還是用圖畫來(lái)表示就很困難，而且，學(xué)生已經(jīng)可以根據(jù)之前數(shù)據(jù)直接得出：0.5米、0.25米、0.125米、0.0625米……

在這一系列數(shù)據(jù)得出的同時(shí)，學(xué)生同時(shí)感受著其中的極限思想：當(dāng)次數(shù)達(dá)到一定程度時(shí)，彈起高度已接近0，這時(shí)，球不再?gòu)椘稹?/p>

可以發(fā)現(xiàn)，在解題時(shí)，我們要借助畫圖、列表等策略來(lái)解題，但在其基礎(chǔ)之上，再“多想一步”時(shí)，學(xué)生就可以從其具體的策略中走出來(lái)，思維逐漸抽象，并能從中感受規(guī)律、極限等數(shù)學(xué)思想。

三、“多想一步”，在“化錯(cuò)”中感受“推理”

對(duì)于一些判斷題，或者一些錯(cuò)誤的命題，學(xué)生對(duì)待其態(tài)度是不是只停留在判斷其對(duì)錯(cuò)呢？對(duì)待此類題，如果“多想一步”，同樣能在“化錯(cuò)”中推出新的收獲。

比如這一道選擇：□□÷□=12……4，除數(shù)是一位數(shù)，有（ ）種可能。選項(xiàng)為：A. 6種；B. 5種；C. 4種。打眼一看，這一題考查的是余數(shù)和除數(shù)的關(guān)系，除數(shù)要比余數(shù)大，而且必須是一位數(shù)，所以可能會(huì)是5、6、7、8、9，有5種可能，應(yīng)該選B選項(xiàng)。其實(shí)不然，因?yàn)椤氨怀龜?shù)是一個(gè)兩位數(shù)”。這樣想來(lái)，除數(shù)只能是：5、6、7這3種可能。因?yàn)椋?×12+4=112（被除數(shù)是三位數(shù)）；8×12+4=100（被除數(shù)是三位數(shù)）。所以，要增加一個(gè)選項(xiàng)：D.3種。

那如果要使得這一題的選項(xiàng)為B，可以把原題怎樣改動(dòng)呢？學(xué)生發(fā)現(xiàn)：（1）如果把余數(shù)改為3，商還是12，則除數(shù)可以為4、5、6、7、8，這時(shí)被除數(shù)都是兩位數(shù)。（2）如果把商改為10，余數(shù)還是4，則除數(shù)可以為5、6、7、8、9，這時(shí)被除數(shù)都是兩位數(shù)。

所以，解題時(shí)，可以把“本身的錯(cuò)題”或“學(xué)生易錯(cuò)的題”轉(zhuǎn)化成一種有利的資源，引導(dǎo)學(xué)生充分挖掘其中的數(shù)量關(guān)系，在把題目研究透徹的基礎(chǔ)上，使學(xué)生得到最大的收獲。

鄭毓信教授在《數(shù)學(xué)教師的三項(xiàng)基本功》中提出：“我提倡‘一題一課，一課多題——一節(jié)數(shù)學(xué)課做一道題目，以一道題為例子講解、變化、延伸、拓展，通過(guò)師生互動(dòng)、探討、嘗試、修正，最后真正學(xué)到的是很多題的知識(shí)?！边@一段話或許可以給教師以啟發(fā)。

所以，在教學(xué)中，如果教師能讓學(xué)生“多想一步”，學(xué)生將收獲更多。