借助類比，讓數(shù)學學習真正走向自主

吳永萍

摘 要：類比推理在小學數(shù)學中也有大量應用，是數(shù)學新問題的發(fā)現(xiàn)、新知識的獲取的重要方法?？梢酝ㄟ^讓數(shù)與代數(shù)的新知栓舊知上、讓幾何與圖形的認識框模型里、讓問題解決的方法想得美、讓實踐與活動的經(jīng)驗累起來等策略，幫助實現(xiàn)方法與知識的正遷移，培養(yǎng)學生自主探究的學習習慣。

關鍵詞：類比推理；正遷移；自主探究

類比推理，是從特殊到特殊的推理方法，即依據(jù)兩類事物的相似性，用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物也具有該性質(zhì)的推理方法，也叫類比法。如人們模仿蒼蠅的飛行特點發(fā)明了新型飛機，模仿鯨的形體結構改進了船體的設計，根據(jù)“薄殼結構”設計出許多輕便又省料的建筑物等。

同樣類比推理在小學數(shù)學中也有大量應用，是數(shù)學新問題的發(fā)現(xiàn)、新知識的獲取的重要方法。很多的數(shù)學結論通過類比推導出來的，經(jīng)過證明也是正確的。中高年級的學生，抽象邏輯類推的思維形式無論是在數(shù)量和質(zhì)量方面，都開始占據(jù)主導地位。教師在教學過程中，充分引導學生分析、類比新知識和新問題與已有的相類似的知識，從而找到解決問題的方法，這樣就可以實現(xiàn)方法與知識的正遷移，培養(yǎng)學生自主探究的學習習慣。

一、舊知——新知生長的基石

在四年級下冊“認識多位數(shù)”的整數(shù)讀寫法教學中，不難發(fā)現(xiàn)億以內(nèi)及億以上的數(shù)的讀寫法，與萬以內(nèi)數(shù)的讀寫法基本相同，只不過是在級數(shù)后面加了個“億”；萬級的讀寫法也與個級的讀寫法相同，只是在讀寫后再加個“萬”而已。教學過程中，教師就可以充分利用這一點，設計好自主學習單：

（1）讀一讀一千萬、九千六百萬、二千三百零四萬。

（2）說一說這些數(shù)與我們以前學過的數(shù)有什么不同？

（3）試著在算盤上撥一撥這些數(shù)。

（4）想一想這樣撥的理由是什么？

（5）寫一寫上面這些數(shù)。

這樣就可以讓學生能自主地從已有知識庫中提取有用的相關知識，來探索認識多位數(shù)的讀寫法。

小數(shù)的計算法則是在整數(shù)的知識基礎上擴展的，它們有著密切的聯(lián)系，都是采用十進制、都是要相同數(shù)位上的數(shù)才能相加減。小數(shù)乘除法更是除了注意對小數(shù)點的位置外，其他法則與整數(shù)無異。

小學數(shù)學中還有很多的性質(zhì)也有相似或是在本質(zhì)上是一致的。如商不變的性質(zhì)、比的性質(zhì)就有著密切的聯(lián)系。教學時可有意識地幫助學生聯(lián)點成片，形成完整的知識網(wǎng)絡。實際上，小數(shù)的性質(zhì)，如果把一個小數(shù)化成分數(shù)的形式的話，也就可以轉化成了分數(shù)性質(zhì)的一部分。還有百分數(shù)的意義、分數(shù)的比的意義，本質(zhì)上也是一致的。

同樣，在學生學習了整數(shù)的運算律后，學習小數(shù)、分數(shù)的運算律時，也可以讓學生直接通過類比法得到，然后再自己舉例驗證。運用類比法進行教學，可以影響學生的思維方式，于無形中養(yǎng)成自主探究學習的好習慣。

二、模型——探究學習的航標

模型思想就是指用數(shù)學模型處理和解決實際問題的一種思想。是學生進一步學習所不可或缺的內(nèi)容，有利于學生在解決問題的過程中逐步積累數(shù)學經(jīng)驗。

小學數(shù)學中很多概念如圓的周長、面積等，因為學生理解起來困難，從而沒有進行嚴格定義，這種情況下可以運用類比法來初步認識它們。教師可以將長方形、正方形等的周長和面積進行類比，讓學生明白圍成圓的一圈曲線的長就是這個圓的周長，曲線內(nèi)部區(qū)域的大小就是這個圓的面積，這樣就可以達到不用定義而認識相關概念的目的。

還有平面圖形面積計算公式的教學，其實就是一棵以長方形為根的知識樹。正方形是特殊的長方形，所以它的面積公式可以讓學生自行琢磨，歸納。平行四邊形的面積計算教材就直接出示如圖1所示的不規(guī)則圖形。讓學生明白轉化的策略可以讓不規(guī)則圖形變成規(guī)則圖形。接下來直接提問：你能把圖中的平行四邊形轉化成長方形嗎？讓學生根據(jù)學習菜單，自主探究平行四邊形的面積公式。

學習菜單：

1. 小組里每人在剩下的2、3、4號平行四邊形中選擇一個不同的，先把它轉化成長方形求出面積，再在小組里交流，填寫表1。

2. 根據(jù)填表的結果，小組討論。

（1）轉化成的長方形與原來平行四邊形面積相等嗎？

（2）長方形的長和寬與平行四邊形的底和高有什么關系？

（3）根據(jù)長方形的面積公式，怎樣求平行四邊形的面積？

同理舉一反三，三角形、梯形、圓的面積公式也可以以此類推。這樣就培養(yǎng)了學生可以用已有的知識來幫助學習新知識的潛意識，逐漸習慣成自然，再次遇到新問題時就不會盲然而不知所措，使學生諸方面的素質(zhì)得到全面、和諧的發(fā)展。

三、合理猜測——問題解決的藍圖

美國著名數(shù)學者家波利亞說過，掌握數(shù)學就意味著要善于解題。解題就必須分析，解題分析就要想得美。想，主要是合情聯(lián)想、想象、猜想，是對題目的條件、結論中的信息與已掌握的相關知識和方法進行合理的類比和整合。

也有專家認為，小學數(shù)學教學中基本的數(shù)量關系式只有十條。學生在一二年級時就已經(jīng)全接觸了。如總價÷數(shù)量=單價這一最基本的類型應用題，到了三四年級解決稍復雜的實際問題：一瓶牛奶10元錢，現(xiàn)在超市搞活動促銷，原來買4瓶的錢現(xiàn)在可以買5瓶了，現(xiàn)在每瓶牛奶多少元？其實其中的數(shù)量關系式還是上面那條。我們可以求出現(xiàn)在5瓶的總價，也就是原來4瓶的價格4×10=40元，然后再用總價除以數(shù)量40÷5=8元一瓶，所以教學時可以先放手讓學生自主猜測，嘗試解決，然后分析討論、歸納、比較，表揚想得好想得美的學生，更鼓勵雖然錯了但大膽去想去嘗試的學生。

同樣分數(shù)應用題其實也與倍數(shù)關系的實際問題有著千絲萬縷的聯(lián)系，類比法運用得當，就能起到事半功倍的成效。正所謂“沒有做不到，就怕想不到”。

學生利用已有的知識經(jīng)驗主動思考的結果，也是學生的創(chuàng)新意識在課堂教學中的體現(xiàn)，對于培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)和提出問題并自主解決問題的能力十分重要。

四、經(jīng)驗——數(shù)學核心素養(yǎng)的薈萃

《數(shù)學課程標準》特別指出：數(shù)學活動經(jīng)驗的積累是提高學生數(shù)學素養(yǎng)的重要標志，幫助學生積累數(shù)學活動經(jīng)驗是數(shù)學活動教學的重要目標。通過回顧、反思、運用等過程，學生充分利用已有的知識經(jīng)驗提出不同的方法策略，解決實際問題的同時，不斷積累數(shù)學的經(jīng)驗，提升數(shù)學思維的品質(zhì)。

筆者曾安排一節(jié)數(shù)學活動課，讓學生了解多邊形內(nèi)角和是多少。先讓學生自行探索四邊形、五邊形、六邊形的內(nèi)角和，學生可以把四、五、六邊形分別在其中添上幾條線段，分割成若干個小三角形求出它們的內(nèi)角和。然后提出一個設想：是不是所有多邊形都可以分割成一定數(shù)量的三角形，然后借助若干個三角形的內(nèi)角各求出多邊形的內(nèi)角和呢？接下來就讓讓學生自己任意畫多邊形，然后自主分割求和完成表2。

觀察表2的數(shù)據(jù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？填寫，驗證自己的猜測，最后得出結論。相信經(jīng)過這樣的反思內(nèi)化的過程，學生定會積累相應的正確的數(shù)學經(jīng)驗，深化對答案的理解。并以此及彼積少成多，幫助學生不斷鞏固厘清知識間的相互聯(lián)系和辯證關系，為自主探索提供更多的空間與可能。

同時這樣的發(fā)現(xiàn)問題——解決問題——提出猜測——舉例驗證——得出結論的科學的學習流程，會給學生帶來不小的收益，會影響他一輩子的思維方式。以后當他自己再次遇到新問題時，就會自覺地沿用這積累下來的數(shù)學經(jīng)驗，自主學習自主探索。

所以說打好小學數(shù)學的知識基礎和掌握類比思想方法，對于學生以后的學習常常有“意料之外”與“情理之中”的美妙效果。