正交各向異性板帶有一般孔形時應(yīng)力分析

呂愛鐘， 張曉莉， 王少杰

(華北電力大學(xué) 可再生能源學(xué)院，北京 102206)

隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，復(fù)合材料以其重量輕、比強度高、比剛度高、可設(shè)計性強等特點，在航空航天、汽車、石油化工、建筑橋梁、艦船以及生物工程等領(lǐng)域得到了越來越廣泛的應(yīng)用.常用的復(fù)合材料板多為各向異性板，由于結(jié)構(gòu)裝配或功能方面的需求，常常需要在板中打孔，而各向異性板在不同方向呈現(xiàn)出不同的力學(xué)性能，對于這種開孔結(jié)構(gòu)來說，特別突出的一個問題就是開孔引起的應(yīng)力集中.在荷載作用下，開孔可能會對結(jié)構(gòu)的承載能力、使用壽命產(chǎn)生嚴重影響，因此，精確計算出孔洞周邊的應(yīng)力分布對判斷結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性以及采取何種加固措施等具有重要的指導(dǎo)意義.為此，國內(nèi)外許多學(xué)者都對各向異性含孔結(jié)構(gòu)進行了應(yīng)力分析.

Lekhnitskii[1-2]最早采用復(fù)變函數(shù)方法，研究了帶有一個橢圓孔的各向異性板在平面荷載作用下的應(yīng)力計算問題.在此后很長一段時間內(nèi)，只有圓孔或橢圓形孔才有精確解.近幾年來，一些學(xué)者通過復(fù)變函數(shù)方法，也研究了三角形孔[3-6]、矩形孔[6-9]、某六邊形孔[9]和多邊形孔[10]在無窮遠處作用不同荷載時的孔邊應(yīng)力解析解.Ukadgaonker等[11]對不規(guī)則孔的孔邊應(yīng)力進行了分析.但是，上述研究成果獲得的解析解只有在孔邊才是適用的[12]，所以上述研究中的算例也只對孔邊應(yīng)力進行了分析，而沒有涉及孔外域，因此存在一定的局限性.筆者[12]曾對這一領(lǐng)域進行了研究，找到了含任意孔形的正交各向異性隧洞應(yīng)力計算的精確解析方法，并對馬蹄形和直墻半圓拱形隧洞進行了孔邊應(yīng)力的分析,但是，并未對各向異性板中含有一些不規(guī)則形狀孔等更復(fù)雜的孔形進行應(yīng)力解析分析，對孔邊應(yīng)力集中明顯的位置及其孔外域的應(yīng)力分析也不夠全面.

為了研究各向異性板開孔結(jié)構(gòu)應(yīng)力分布的特殊性，本文選取具有明顯尖點的某不規(guī)則形狀孔和正六角形孔為例，根據(jù)帶孔正交各向異性板的應(yīng)力解析解，從板不同的纖維方向、開孔形狀和外荷載方向幾個方面分析孔邊及部分孔外域的應(yīng)力，并且與各向同性開孔結(jié)構(gòu)進行對比，總結(jié)正交各向異性板孔邊及孔外域的應(yīng)力分布規(guī)律.不規(guī)則孔形在文獻[11]中有討論，但因為其解并未涉及孔外域的應(yīng)力分布，本文探討此孔形一方面是進行對比驗證，更重要的是對孔外域的應(yīng)力也進行研究，著重分析應(yīng)力分布的規(guī)律.正六角形孔在工程中應(yīng)用得也很多，但至今尚未見到其精確的分析結(jié)果，其主要原因可能是缺乏可用的高精度的正六角形映射函數(shù).

1 基本方程和應(yīng)力解析解的求解

工程中常用的復(fù)合材料結(jié)構(gòu)在很多場合都具有對稱性，因此在很多情況下，各向異性的問題都可以化為正交各向異性的問題來討論.復(fù)變函數(shù)中的保角變換方法是求解孔洞問題的有效工具，對于正交各向異性問題，求解時涉及3套笛卡爾坐標系：z=x+iy，z1=x+μ1y，z2=x+μ2y，通過建立3套極坐標系ζ=ρeiθ，ζ1=ρ1eiθ1，ζ2=ρ2eiθ2可以將z，z1，z23個物理平面的孔外域分別映射到ζ，ζ1，ζ23個像平面的單位圓外域，映射函數(shù)分別用z=ω(ζ)，z1=ω1(ζ1)，z2=ω2(ζ2)表示，其中，z=ω(ζ)可以表示為以下Laurent級數(shù)的形式[13]：

(1)

式中：R和Ck是代表孔的大小和孔形的常數(shù)；k為整數(shù).當k取較大的值時，式(1)可以代表足夠多的孔形.取k的最大值為n.由于3套笛卡爾坐標系z，z1，z2必須滿足如下數(shù)學(xué)關(guān)系[1-2]：

(2)

式中：γ1=(1-iμ1)/2，γ2=(1-iμ2)/2，δ1=(1+iμ1)/2，δ2=(1+iμ2)/2，μ1=α1+iβ1，μ2=α2+iβ2，αk和βk(k=1,2)是與材料性質(zhì)有關(guān)的材料常數(shù)，且β1>0，β2>0.將式(1)代入式(2)，并假設(shè)3套極坐標系在孔邊界所對應(yīng)的單位圓上滿足ζ=ζ1=ζ2=σ=eiθ，可推導(dǎo)出z1=ω1(ζ1)和z2=ω2(ζ2)的表達式和ζ，ζ1，ζ2之間的關(guān)系如下[12]：

(3)

(4)

式(3)對任意形狀的孔形都適用，式(4)對域內(nèi)(|ζ|≥1)任意一點都成立.

如圖1所示，考慮一個含孔正交各向異性板，承受分布于板邊緣并作用在面內(nèi)的力，孔形關(guān)于整體坐標系的x軸對稱，局部坐標系x′Oy′沿彈性主向.如果板的尺寸遠大于開孔的尺寸，并且開孔不在板邊的附近，那么可以假定板無限大.除此之外，假定作用在板內(nèi)的荷載遠大于體力，并且無z方向的分量，此時，體力可忽略不計，問題簡化成了無限域中的平面應(yīng)力問題.根據(jù)平衡條件和變形協(xié)調(diào)條件可以得到應(yīng)力函數(shù)F(x，y)所滿足的方程[14]：

(5)

式(5)的解與特征方程(6)的根有關(guān).

a11μ4-2a16μ3+(2a12+a66)μ2-2a26μ+a22=0

(6)

只討論μ1≠μ2的情形，引入2個解析函數(shù)F1(z1)、F2(z2)，則式(5)的解可以表示為

(7)

令Φ1(z1)=dF1(z1)/dz1，Φ2(z2)=dF2(z2)/用Φ1(z1)、Φ2(z2)表示的應(yīng)力邊界條件為

圖1受面內(nèi)均布荷載作用且?guī)в腥我庑螤羁椎恼桓飨虍愋园?/p>

Fig.1Anorthotropicplatewithanarbitraryshapedholeunderin-planeloadings

dz2，這樣，求解各向異性板平面應(yīng)力問題就轉(zhuǎn)化為尋找滿足相應(yīng)的邊界條件的應(yīng)力解析函數(shù)Φ1(z1)和Φ2(z2)的問題.

(8)

式中出現(xiàn)的z1、z2是孔邊點.因為討論的是帶孔無限域問題，且孔邊無外荷載，則f1=f2=0，且Φ1(z1)、Φ2(z2)具有以下形式：

(9)

式中：實常數(shù)B*、B′*、C′*可以通過無限遠處的外荷載(σx∞、σy∞、τxy∞)和與材料性質(zhì)有關(guān)的常數(shù)(α1、α2、β1、β2)求出[15].

(10)

因在孔的邊界有ζ1=σ=eiθ、ζ2=σ=eiθ，所以應(yīng)力邊界條件式(8)最終可以整理為如下形式：

(11)

根據(jù)式(3)、式(10)和式(11)，采用冪級數(shù)解法.將σ-k=coskθ-isinkθ代入式(11)的左右兩邊并展開，可根據(jù)sinkθ、coskθ(k=1,∞)前面的系數(shù)相等列出求解ak、bk的線性方程組，具體計算過程略.

所以，一旦正交各向異性板的彈性常數(shù)給定，式(6)中的系數(shù)就可以確定[15]，特征方程的根可解，再根據(jù)給定的外荷載，實常數(shù)B*、B′*、C′*也可以求得.結(jié)合求解的ak、bk，再根據(jù)式(9)和式(10)，解析函數(shù)Φ1(z1)、Φ2(z2)就可以求解.而笛卡爾坐標系下和正交曲線坐標系下的應(yīng)力分量也可以根據(jù)下式進行求解：

(12)

(13)

(14)

式中：φ是局部坐標系x′Oy′與整體坐標系xOy的夾角，見圖1.

至此，對于孔的邊界，由于ρ=1、ζ1=ζ2=ζ=σ=eiθ，應(yīng)力分量非常容易求出，而對于ζ≠σ的孔外域點，應(yīng)力求解稍微復(fù)雜一些，必須首先根據(jù)式(4)由ζ求出對應(yīng)的ζ1、ζ2，再根據(jù)Φ1(z1)、Φ2(z2)進行應(yīng)力求解.需要注意的是，由式(4)求出的ζ1、ζ2各有2n個解，但由于映射函數(shù)是將物理平面上的孔外域映射到像平面上的單位圓外域，在這2n個解中，只有n個解在單位圓外域.除此之外，再根據(jù)物理平面上的2個點映射到像平面上也相鄰的原則，可以找出n個解中符合題意的解.

本文得出的結(jié)果是適用于任意形狀孔形和任意纖維角度的精確解，只要孔的解析函數(shù)已知，就可以求出面內(nèi)荷載作用下孔邊及其周圍的應(yīng)力場.

2 算例分析和結(jié)果比較

2.1 不規(guī)則孔形的孔邊切向應(yīng)力分析

對于帶有不規(guī)則孔形的正交各向異性板，文獻[11]中考慮了由石墨-環(huán)氧樹脂材料(G-E)制成的具有不同纖維方向([0°/-90.0°]s，[45.0°/-45.0°]s)的復(fù)合層壓板，給出的不規(guī)則孔形的映射函數(shù)系數(shù)Ck為：C3=0.06，C6=0.04，C8=0.03，C9=0.03，其他Ck均為零，特征方程的復(fù)根為：當[0°/90.0°]s時,有μ1=0+3.640 4i，μ2=0+0.274 7i；當[45.0°/-45.0°]s時,有μ1=-0.859 7+0.510 9i，μ2=0.859 7+0.510 9i.

為了方便進行對比驗證和分析，取上述參數(shù)與文獻[11]完全相同，由于討論的是無限大平板問題，孔的大小對應(yīng)力場的求解沒有影響，故本文中映射函數(shù)的R值直接取為1.0.當板的無窮遠處分別單獨作用沿x軸或y軸方向的單向均布拉伸荷載時，即圖1中τxy∞=0，而σx∞=σ或σy∞=σ，根據(jù)上文介紹的應(yīng)力解析解的求解方法，通過自編FORTRAN程序，實現(xiàn)該不規(guī)則孔形孔邊的應(yīng)力分量的計算，結(jié)果如圖2和圖3.由于孔邊沒有外荷載作用，所以在孔邊，徑向應(yīng)力σρ=0，剪應(yīng)力τρθ=0，故本文圖中虛線繪出的都是孔邊的切向應(yīng)力與外荷載的比值σθ/σ的分布，其中，θ是ζ平面的極角.符號規(guī)定拉應(yīng)力為正、壓應(yīng)力為負.

a 各向同性材料

b G-E[0°/-90.0°]s

c G-E[45.0°/-45.0°]s圖2 帶有不規(guī)則孔形的3種材料結(jié)構(gòu)在σx∞=σ單獨作用下的孔邊切向應(yīng)力分布

Fig.2Distributionofnormalizedtangentialstressesforthreekindsofplateswithirregularshapedholeunderuniaxialloadingσx∞=σ

a 各向同性材料

b G-E[0°/-90.0°]s

c G-E[45.0°/-45.0°]s圖3 帶有不規(guī)則孔形的3種材料結(jié)構(gòu)在σy∞=σ單獨作用下的孔邊切向應(yīng)力分布

Fig.3Distributionofnormalizedtangentialstressesforthreekindsofplateswithirregularshapedholeunderuniaxialloadingσy∞=σ

首先將圖2b、2c和圖3b、3c的結(jié)果與文獻[11]進行對比驗證，發(fā)現(xiàn)文獻[11]中獲得的孔邊切向應(yīng)力的分布規(guī)律與本文中的結(jié)果基本一致，尤其是θ=0°的點，兩者得到的σθ/σ值完全相同.但是本文與文獻[11]的結(jié)果最大的不同在于，圖3c中最大切向應(yīng)力的數(shù)值是57.0，發(fā)生在θ=0.5°的點，但是這個最大值的點卻被文獻[11]忽略了.

將這2種各向異性材料與各向同性材料進行對比，如圖2和圖3，發(fā)現(xiàn)正交各向異性板孔邊應(yīng)力分布的一些特殊規(guī)律：對于各向同性材料，在2種單軸拉伸荷載作用下，孔邊的最大應(yīng)力集中發(fā)生在θ=0°的尖點位置A，當σx∞=σ單獨作用時，在A點產(chǎn)生的是最大壓應(yīng)力，而當σy∞=σ單獨作用時，在A點產(chǎn)生的是最大拉應(yīng)力；但是對于正交各向異性材料，孔邊切向應(yīng)力的最大值可能發(fā)生在尖點位置，如圖3b中的尖點A，也可能發(fā)生在尖點A的臨近位置，如圖3c中θ=0.5°的點.

除此之外，對于正交各向異性材料，當荷載沿x軸方向作用時(σx∞=σ)，在與x軸相交的孔邊2個點(A點和C點)的切向應(yīng)力均為壓應(yīng)力，且其大小都為-σ，如圖2b、2c；當荷載沿y軸方向作用時(σy∞=σ)，在與y軸相交的孔邊2個點的切向應(yīng)力也均為壓應(yīng)力，且大小也都是-σ，如圖3b、3c.而對于各向同性材料，在2種荷載作用下都沒有這樣的規(guī)律.但是3種材料的相同點是，當荷載作用方向與孔邊尖點A的指向(x軸方向)垂直時，如圖3，最大的切向應(yīng)力集中都是發(fā)生在孔邊的A處尖點或其臨近的孔邊點.

2.2 不規(guī)則孔形的孔外域切向應(yīng)力分析

觀察圖3發(fā)現(xiàn)，在沿y軸方向荷載(σy∞=σ)的作用下，不規(guī)則孔形在θ=0°的孔邊點其切向應(yīng)力集中非常明顯，為了進一步研究孔外域的應(yīng)力分布情況，圖4中給出了在θ=0°、180.0°的板內(nèi)，3種材料結(jié)構(gòu)所對應(yīng)的切向應(yīng)力與外荷載的比值σθ/σ，這在文獻[11]中并沒有研究.

由圖4可以看出：各向同性材料最大切向應(yīng)力產(chǎn)生在孔邊(圖4a，ρ=1.000 0)，而對于正交各向異性材料則不一定，纖維角度按[0°/-90.0°]s布置時，最大切向應(yīng)力產(chǎn)生在孔邊(圖4b，ρ=1.000 0)，纖維角度按[45.0°/-45.0°]s布置時，最大切向應(yīng)力產(chǎn)生在非常臨近孔邊的外部區(qū)域，如圖4c中可以清晰地看出：在ρ=1.002 4對應(yīng)的孔邊右側(cè)點，σθ/σ達到最大值34.1，而在ρ=1.000 0的孔邊點，σθ/σ只有29.2；在ρ=1.203 0對應(yīng)的孔邊左側(cè)點，σθ/σ達到最大值2.1，而在ρ=1.000 0的孔邊點，σθ/σ為2.0.

a 各向同性材料

b G-E[0°/-90.0°]s

c G-E[45.0°/-45.0°]s圖4 沿y軸單向拉伸荷載作用下(σy∞=σ)不規(guī)則孔形在θ=0°、180.0°板內(nèi)點的切向應(yīng)力分布

Fig.4Distributionofnormalizedtangentialstressesinθ=0°and180.0°forirregularshapedholewithuniaxialloadingσy∞=σ

2.3 正六角形孔的孔邊切向應(yīng)力分析

所研究的正六角形孔的映射函數(shù)系數(shù)Ck為[13]：C5=0.066 7，C11=0.010 1，C17=0.003 6，C23=0.001 8，C29=0.001 0，其他Ck均為零.材料參數(shù)的取值與上文中不規(guī)則孔完全相同，故特征方程的根也相同.R的值仍為1.0.將各向同性材料與上述2種正交各向異性材料進行對比，圖5和圖6分別用虛線繪出了沿x軸或y軸荷載作用下(σx∞=σ，σy∞=σ)正六角形孔的孔邊切向應(yīng)力與外荷載的比值σθ/σ的分布.

分析圖5和圖6可以看出：各向同性材料的孔邊最大切向應(yīng)力發(fā)生在尖點處，如圖5a中θ=60.0°的B點和圖6a中θ=0°的A點.但是對于正交各向異性材料，孔邊產(chǎn)生最大切向應(yīng)力的位置既可能是在尖點處，如圖6b的尖點A處，也可能是在尖點的附近點，如圖5b中尖點B附近θ=62.0°的點、圖5c中尖點B附近θ=59.5°的點、圖6c中尖點A附近θ=2.5°的點.除此之外，分析圖6還可以看出，當荷載作用方向與孔邊尖點A的指向(x軸方向)垂直時，3種材料最大切向應(yīng)力都發(fā)生在孔邊A處尖點或者其臨近的孔邊點.這與圖3中不規(guī)則孔形的規(guī)律完全相同.

將圖2和圖3中不規(guī)則孔形的孔邊應(yīng)力分布與圖5、圖6中正六角形孔的結(jié)果進行對比分析發(fā)現(xiàn)：當3種材料結(jié)構(gòu)的平板受沿y軸方向的單向拉伸時，在y軸與孔邊界的交點及其附近的孔邊區(qū)域，切向應(yīng)力均為壓應(yīng)力，尤其對于2種正交各向異性板，在y軸與孔邊界的交點，即θ=90.0°的點，切向應(yīng)力值都是-σ；同樣，當荷載是沿x軸方向拉伸時，在x軸與孔邊界的交點及其附近的孔邊區(qū)域，切向應(yīng)力也均為壓應(yīng)力，而2種正交各向異性板中x軸與孔邊界的交點(θ=0°的點)切向應(yīng)力值也都是-σ.

2.4 孔邊最大切向應(yīng)力點位置的確定

為了進一步研究正交各向異性板在y方向荷載σy∞=σ單獨作用下孔邊最大切向應(yīng)力發(fā)生的位置，針對上述2種孔形，計算其他纖維角度工況下孔邊的切向應(yīng)力與外荷載的比值σθ/σ.不同纖維角度條件下，孔邊產(chǎn)生最大切向應(yīng)力的位置(θ角)及其最大應(yīng)力值(σθ/σ)max與尖點(θ=0°)處應(yīng)力值的對比見表1.

a 各向同性材料

b G-E[0°/-90.0°]s

c G-E[45.0°/-45.0°]s圖5 帶有正六角形孔的3種材料結(jié)構(gòu)在σx∞=σ單獨作用下的孔邊切向應(yīng)力分布

Fig.5Distributionofnormalizedtangentialstressesforthreekindsofplateswithhexagonholeunderuniaxialloadingσx∞=σ

a 各向同性材料

b G-E[0°/-90.0°]s

c G-E[45.0°/-45.0°]s圖6 帶有正六角形孔的3種材料結(jié)構(gòu)在σy∞=σ單獨作用下的孔邊切向應(yīng)力分布

Fig.6Distributionofnormalizedtangentialstressesforthreekindsofplateswithhexagonholeunderuniaxialloadingσy∞=σ

表1纖維角度不同時整體坐標系下的復(fù)根μ1，μ2以及孔邊最大切向應(yīng)力(σθ/σ)max與尖點處(θ=0°)應(yīng)力的對比

Tab.1Thecomplexrootsμ1,μ2intheglobalcoordinatesandthecomparisonofthemaximumnormalizedtangentialstressσθ/σwiththestressinthesharpcorner(θ=0°)fordifferentfiberorientationangles

纖維角度μ1μ2不規(guī)則孔正六角形孔0°時(σθ/σ)(σθ/σ)maxθ/(°)0°時σθ/σ(σθ/σ)maxθ/(°)[0°/-90.0°]s3.6404i0.2747i108.9108.9015.615.60[5.0°/-85.0°]s-0.9732+3.3304i0.0808+0.2766i100.5108.10.0414.415.40.27[10.0°/-80.0°]s-1.5300+2.6583i0.1626+0.2826i82.1105.80.0911.915.00.55[15.0°/-75.0°]s-1.6823+1.9994i0.2464+0.2928i64.2102.00.139.514.20.83[20.0°/-70.0°]s-1.6183+1.4961i0.3332+0.3080i50.796.90.187.713.31.14[25.0°/-65.0°]s-1.4719+1.1418i0.4242+0.3290i41.690.60.236.512.01.48[30.0°/-60.0°]s-1.3058+0.8960i0.5207+0.3573i35.683.30.285.710.61.84[35.0°/-55.0°]s-1.1443+0.7236i0.6243+0.3948i31.875.20.345.29.12.20[40.0°/-50.0°]s-0.9952+0.6005i0.7367+0.4445i29.866.50.404.97.52.47[45.0°/-45.0°]s-0.8597+0.5109i0.8597+0.5109i29.257.00.504.86.02.50

圖7給出了纖維的旋轉(zhuǎn)方向和其中一種工況([10.0°/-80.0°]s)的示意圖.由于孔形和荷載的對稱性，纖維在[0°/-90.0°]s和[45.0°/-45.0°]s范圍內(nèi)的角度變化包含了纖維發(fā)生旋轉(zhuǎn)時所有可能的布置情況，而不同纖維角度的布置對應(yīng)的整體坐標系下特征方程的根μ1、μ2可以根據(jù)式(14)求出，結(jié)果見表1.

由表1可見：對于2種孔形，僅當y方向作用有荷載時，纖維角度按[0°/90.0°]s布置，最大的切向應(yīng)力產(chǎn)生在尖點A(θ=0°)；但當纖維角度稍微發(fā)生旋轉(zhuǎn)時，最大切向應(yīng)力的發(fā)生位置逐漸偏離A點，其中，不規(guī)則形狀孔的偏離幅度較小，最遠達到θ=0.5°的點，而正六角形孔的偏離幅度最遠達到θ=2.5°的點；除此之外，隨著纖維角度從[0°/90.0°]s向[45.0°/-45.0°]s旋轉(zhuǎn)，2種孔形對應(yīng)的最大切向應(yīng)力值逐漸減小.無論是不規(guī)則形狀孔還是正六角形孔，正交各向異性板纖維角度的改變對孔邊以及孔外域的切向應(yīng)力集中都會產(chǎn)生很大的影響，在以后的研究中，可以針對纖維角度進行優(yōu)化設(shè)計的研究，以使孔邊和孔外域都獲得較小的應(yīng)力集中.

圖7 纖維角度按[10.0°/-80.0°]s布置的示意圖

Fig.7Sketchofthefiberorientationanglesat[10.0°/-80.0°]s

3 結(jié)論

(1) 在單向均布荷載作用下，各向同性材料孔邊產(chǎn)生最大切向應(yīng)力的位置是尖點處，而正交各向異性材料則不一定.

(2) 當單向均布荷載的作用方向與孔邊尖點的指向垂直時，纖維角度按[0°/-90.0°]s布置會使最大的切向應(yīng)力產(chǎn)生在尖點處(θ=0°)；但是隨著纖維角度的旋轉(zhuǎn)，最大應(yīng)力點的位置逐漸偏離尖點，最大切向應(yīng)力的數(shù)值也逐漸減小.

(3) 各向同性材料產(chǎn)生最大切向應(yīng)力的位置在孔邊，而正交各向異性材料則不一定，當單向拉伸荷載的方向與尖點指向垂直時，最大切向應(yīng)力可能是在孔邊(纖維按[0°/-90.0°]s角度布置)，也可能是在孔外部的臨近區(qū)域(纖維按[45.0°/-45.0°]s角度布置).

(4) 正交各向異性板切向應(yīng)力的集中程度也與材料的纖維方向有很大的關(guān)系，通過調(diào)整材料纖維的方向可以獲得孔邊或者孔外區(qū)域較小的應(yīng)力集中.

(5) 當無限平板中均布的單向拉伸荷載σ沿某坐標軸方向作用時，該坐標軸與孔邊界的交點及其附近的孔邊區(qū)域，切向應(yīng)力均為壓應(yīng)力.尤其對于正交各向異性板，在該坐標軸與孔邊界的交點，切向應(yīng)力均為-σ.

參考文獻:

[1] LEKHNITSKII S G. Anisotropic plates[M]. New York: Gordon and Breach, 1968.

[2] LEKHNITSKII S G. Theory of elasticity of an anisotropic body[M]. Moscow: Mir Publishers, 1981.

[3] DAOUST J, HOA S V. An analytical solution for anisotropic plates containing triangular holes[J]. Composite Structures, 1991, 19(2): 107.

[4] UKADGAONKER V G, RAO D K N. Stress distribution around triangular holes in anisotropic plates[J]. Composite Structures, 1999, 45(3):171.

[5] SHARMA D S. Stress distribution around circular/elliptical/ triangular holes in infinite composite plate[J]. Engineering Letters, 2012, 20(1): EL_20_1_01.

[6] REZAEEPAZHAND J, JAFARI M. Stress analysis of composite plates with non-circular cutout[J]. Key Engineering Materials, 2008, 385-387:365.

[7] RAO D K N, BABU M R, REDDY K R N,etal. Stress around square and rectangular cutouts in symmetric laminates[J]. Composite Structures, 2010, 92(12):2845.

[8] SHARMA D S. Stresses around polygonal hole in an infinite laminated composite plate[J]. European Journal of Mechanics-A/Solids, 2015, 54:44.

[9] 李成, 鄭艷萍. 不同孔口形狀對含孔復(fù)合材料板孔邊應(yīng)力狀態(tài)影響的研究[J]. 工程力學(xué), 2007, 24(10):19.

LI Cheng, ZHENG Yanping. Influence of different orifice figure on hole-edge stress of composite material plate with hole [J]. Engineering Mechanics, 2007, 24(10): 19.

[10] PATEL N P, SHARMA D S. On the stress concentration around a polygonal cut-out of complex geometry in an infinite orthotropic plate[J]. Composite Structures, 2017, 179: 415.

[11] UKADGAONKER V G, KAKHANDKI V. Stress analysis for an orthotropic plate with an irregular shaped hole for different in-plane loading conditions—Part 1[J]. Composite Structures, 2005, 70(3):255.

[12] LU A Z, ZHANG N, ZHANG X L,etal. Analytic method of stress analysis for an orthotropic rock mass with an arbitrary-shaped tunnel[J]. International Journal of Geomechanics, 2015, 15(4): 04014068.

[13] 呂愛鐘, 張路青. 地下隧洞力學(xué)分析的復(fù)變函數(shù)方法[M]. 北京：科學(xué)出版社, 2007.

Lü Aizhong, ZHANG Luqing. Complex function method on mechanical analysis of underground tunnel[M]. Beijing: Science Press, 2007.

[14] 薩文. 孔附近的應(yīng)力集中[M]. 盧鼎霍,譯. 北京：科學(xué)出版社, 1958.

SAVIN G N. Stress concentration around holes[M]. Translated by LU Dinghuo. Beijing: Science Press, 1958.

[15] 陳子蔭. 圍巖力學(xué)分析中的解析方法[M]. 北京：煤炭工業(yè)出版社, 1994.

CHEN Ziyin. Analytical method of rock mechanics analysis[M]. Beijing: China Coal Industry Publishing House, 1994.