復(fù)合材料開口有限元建模方法研究

熊美蓉，陳琳，劉傳軍

(1.中國商飛上海飛機(jī)制造有限公司，復(fù)合材料中心，上海 200123；2.中國商飛北京民用飛機(jī)技術(shù)研究中心，民用飛機(jī)結(jié)構(gòu)與復(fù)合材料北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 102211)

0 引言

復(fù)合材料開口產(chǎn)生的局部應(yīng)力集中會引起結(jié)構(gòu)強(qiáng)度下降，應(yīng)力集中與層壓板鋪層比例、載荷情況、缺口尺寸和形狀、缺口約束情況有關(guān)。

在比較主流的分析方法中，對于單軸載荷下復(fù)合材料開口結(jié)構(gòu)，可采用基于斷裂力學(xué)模型Mar-Lin準(zhǔn)則[1]進(jìn)行層合板剩余強(qiáng)度分析，將開口定義為損傷，通過獲得不同鋪層下的復(fù)合材料斷裂韌性、奇異性參數(shù)、構(gòu)型因子等，擬合得到不同開口尺寸下的層合板剩余強(qiáng)度；另一種方法是采用基于應(yīng)力失效模型的Withney-Nuismer方法[2]，獲得圓孔層合板在圓孔中心線上垂直于遠(yuǎn)場載荷方向的應(yīng)力分布，再通過點(diǎn)應(yīng)力或平均應(yīng)力方法開展失效分析。對于復(fù)雜載荷下，可采用Lehknitskii理論[3]中提出的復(fù)變函數(shù)計(jì)算含橢圓孔(圓孔)的正交各向異性無限大板，在復(fù)雜遠(yuǎn)場載荷作用下的孔邊應(yīng)力分布，再通過點(diǎn)應(yīng)力或平均應(yīng)力方法開展失效分析。

常見的飛機(jī)復(fù)合材料開口結(jié)構(gòu)和其載荷狀況都較為復(fù)雜，一般采用精細(xì)有限元建模后提取孔邊最大應(yīng)力或應(yīng)變開展分析。而開口區(qū)的復(fù)雜應(yīng)力分布對孔邊網(wǎng)格要求較高，網(wǎng)格尺寸、數(shù)量和質(zhì)量等都會直接影響數(shù)值計(jì)算的結(jié)果精確性，同時網(wǎng)格尺寸過小也影響計(jì)算效率。本文主要研究復(fù)合材料開口結(jié)構(gòu)在單軸和雙軸兩種載荷狀態(tài)下復(fù)合材料開口結(jié)構(gòu)孔邊網(wǎng)格尺寸對有限元計(jì)算精度的影響，為開展復(fù)合材料開口有限元建模和分析提供指導(dǎo)。

1 單軸載荷分析

本文選用T800級碳纖維復(fù)合材料開口層合板，其鋪層為[45 °/135 °/0 °/90 °/90 °/0 °/135 °/45 °]，層合板為100 mm× 100 mm 方板，圓孔直徑為25.4 mm，主要分析層合板單軸載荷作用下，孔邊的應(yīng)力應(yīng)變分布情況。

1.1 分析方法

圖1 在單向拉伸作用下、含圓形孔開口區(qū)應(yīng)力分布示意圖

對有限寬板，沿y軸方向的應(yīng)力σx(y)表達(dá)式：

(1)

(2)

其中β為有限寬度修正系數(shù)，修正系數(shù)根據(jù)材料(各向同性和各向異性)和開口類型(圓孔或橢圓孔)變化；KT為孔的應(yīng)力集中系數(shù)。

1.2 孔邊應(yīng)力計(jì)算

采用1.1節(jié)中Withney-Nuismer方法計(jì)算在100 MPa沿X軸作用下，層合板孔邊沿Y軸的應(yīng)力分布。

圖2 孔邊Quad單元與節(jié)點(diǎn)示意圖

當(dāng)采用四節(jié)點(diǎn)的Quad單元劃分有限元網(wǎng)格時，對模型求解得到的孔邊最大應(yīng)變，即為孔邊一圈所有單元中的最大應(yīng)變。如圖2所示，可通過節(jié)點(diǎn)位置處的應(yīng)變估算得到001單元的應(yīng)變值，計(jì)算圖中1、2、3、4節(jié)點(diǎn)位置處應(yīng)變的平均值，作為單元的中心點(diǎn)的應(yīng)變，這樣即可預(yù)測不同有限元網(wǎng)格尺寸下孔邊的最大應(yīng)力和應(yīng)變。

取開口直徑為25.4 mm的復(fù)合材料層合板，計(jì)算網(wǎng)格大小為0.000 1 mm、0.001 mm至10 mm時，孔邊單元對應(yīng)的最大應(yīng)力、最大應(yīng)變及相對于孔邊最大值精確解的誤差(表1)。從圖3中也可以看出，開口直徑為25.4 mm時，當(dāng)網(wǎng)格尺寸在0.000 1 mm到0.01 mm時，孔邊的最大應(yīng)變趨于收斂，精度不超過0.1%。隨著網(wǎng)格尺寸增大，孔邊最大應(yīng)變略微下降，計(jì)算精度也逐漸降低。

表1 單軸載荷網(wǎng)格尺寸對計(jì)算精度的計(jì)算

圖3 不同開口區(qū)網(wǎng)格尺寸對孔邊最大應(yīng)變的影響

1.3 開口尺寸及鋪層影響

從Withney-Nuismer方法的解析公式可以看出，孔邊應(yīng)力分布主要是開口尺寸與層合板鋪層的函數(shù)，根據(jù)1.1中對有限元模型中孔邊最大應(yīng)力應(yīng)變的估算方法，可以分析不同開口直徑下不同網(wǎng)格尺寸的精度大小。如圖4所示，圖中曲線為針對準(zhǔn)各向同性層合板開口直徑分別為6.35 mm、12.7 mm、25.4 mm、50 mm、100 mm及200 mm下不同網(wǎng)格尺寸下的精度大小?？梢钥闯?，開口直徑越小時對孔邊網(wǎng)格大小越為敏感，對較小直徑如6.35 mm的開口，孔邊網(wǎng)格為0.1 mm時，最大應(yīng)變精度為3.54%，而較大直徑下200 mm的開口，孔邊網(wǎng)格為0.1 mm時，最大應(yīng)變精度依然較高為0.58%。當(dāng)直徑大于100 mm后，孔邊網(wǎng)格小于1 mm可獲得5%以上的精度。

圖4 單軸載荷不同開口直徑下網(wǎng)格尺寸對計(jì)算精度的影響

復(fù)合材料層合板鋪層主要影響孔邊應(yīng)力集中系數(shù)，從而影響孔邊應(yīng)力應(yīng)變分布。圖5主要分析了四種鋪層比例下不同網(wǎng)格尺寸的精度大小。對于開口直徑為25.4 mm的層合板，當(dāng)AML(AML=±45 °鋪層百分比-0 °鋪層百分比)越小，即0 °鋪層比例越高時對孔邊網(wǎng)格大小更為敏感。對絕大多數(shù)鋪層，在孔邊網(wǎng)格尺寸在0.01 mm時精度可以控制在0.21%以下。相對于開口尺寸，鋪層的影響要較小一些，因此可以主要根據(jù)開口直徑和精度要求估算出孔邊網(wǎng)格大小，再針對鋪層作簡單分析來確定有限元模型網(wǎng)格劃分，以滿足強(qiáng)度計(jì)算要求。

2.2.5 水煎煮提取工藝正交試驗(yàn) 根據(jù)上述的藥效篩選結(jié)果，對水煎煮提取工藝進(jìn)行正交試驗(yàn)，以君藥黃芪中黃芪甲苷含量（Y1）和固形物質(zhì)量（Y2）為評價指標(biāo)，并分別賦予權(quán)重系數(shù)0.6和0.4，計(jì)算綜合評分值[Y，Yi＝(X1i/X1max×0.6＋X2i/X2max×0.4)×100]，對影響煎煮的加水量（A）、煎煮時間（B）和煎煮次數(shù)（C）進(jìn)行優(yōu)選。因素與水平見表3。

圖5 單軸載荷不同鋪層比例下網(wǎng)格尺寸對計(jì)算精度的影響

2 雙軸載荷分析

本文選用T800級碳纖維復(fù)合材料開口層合板，其鋪層為[45 °/135 °/0 °/90 °/90 °/0 °/135 °/45 °]，層合板為100 mm× 100 mm 方板，圓孔直徑為25.4 mm，主要分析在雙軸應(yīng)力100 MPa作用下，孔邊的應(yīng)力應(yīng)變分布情況。

2.1 分析方法

雙軸載荷下開口分析采用Lehknitskii方法，Lehknitskii模型如圖 6所示。分析假設(shè)如下：

(1)材料主軸方向12與橢圓孔主軸方向xy一致。

(2)平板尺寸與橢圓孔或者圓孔尺寸相比可認(rèn)為是無限大。

(4)考慮平面應(yīng)變或者廣義平面應(yīng)力情形。

圖6 在遠(yuǎn)場力作用下、含開口的無限大平板

孔緣的應(yīng)力由遠(yuǎn)場應(yīng)力和擾動應(yīng)力構(gòu)成，形式如下，

(3)

(4)

式中：Re——復(fù)數(shù)的實(shí)部；

Zk——復(fù)數(shù)變量，形式為Zk=x+yμk(k=1,2)；

Φk(Zk)為復(fù)應(yīng)力函數(shù)， 由橢圓孔存在引起的擾動應(yīng)力對應(yīng)的應(yīng)力函數(shù)為：

(5)

2.2 孔邊應(yīng)力計(jì)算

根據(jù)2.1中對有限元模型中孔邊最大應(yīng)力應(yīng)變的估算方法，取開口直徑為25.4 mm的復(fù)合材料層合板，采用Lehknitskii方法，計(jì)算復(fù)合材料開口層合板在計(jì)算在X軸遠(yuǎn)場載荷100 MPa與Y軸遠(yuǎn)場載荷100 MPa作用下，網(wǎng)格大小為0.000 1 mm、0.001 mm至10 mm時，孔邊單元對應(yīng)的最大應(yīng)力、最大應(yīng)變及相對于孔邊最大值精確解的誤差。從表2中也可以看出，對于開口直徑為25.4 mm時，當(dāng)網(wǎng)格尺寸在0.000 1～0.01 mm時，孔邊的最大應(yīng)變趨于收斂，精度不超過0.1%，與單軸載荷趨勢一致。

表2 雙軸載荷網(wǎng)格尺寸對計(jì)算精度的計(jì)算

2.3 開口尺寸及鋪層影響

在雙軸載荷下，復(fù)合材料層合板開口孔邊的應(yīng)力應(yīng)變分布受鋪層影響較大。對于25 °/50 °/25 °準(zhǔn)各向同性鋪層的層合板，在100 MPa、100 MPa雙軸載荷作用下，其0～180 °孔邊的應(yīng)力分布如圖7所示，可知最大主應(yīng)力出現(xiàn)在孔邊0～360 °所有方向上。而對于純±45 °鋪層層合板，在100 MPa、100 MPa雙軸載荷作用下，其0～180 °孔邊的應(yīng)力分布如圖8所示，可知最大主應(yīng)力出現(xiàn)在孔邊45 °、135 °、225 °、275 °方向。此外，應(yīng)力應(yīng)變分布還與x軸、y軸載荷比例有關(guān)，本文暫不做具體分析。

圖7 準(zhǔn)各向同性層合板孔邊應(yīng)力應(yīng)變分布(σx ∶σy=1 ∶1)

圖8 純±45 °鋪層層合板孔邊應(yīng)力應(yīng)變分布(σx ∶σy=1 ∶1)

根據(jù)2.1中對有限元模型中孔邊最大應(yīng)變的估算方法，可以分析不同開口直徑下不同網(wǎng)格尺寸的精度大小。如圖9所示，圖中曲線為針對雙軸載荷下的準(zhǔn)各向同性層合板，開口直徑分別為6.35 mm、12.7 mm、25.4 mm、50 mm及100 mm下不同網(wǎng)格尺寸下的精度大小?？梢钥闯觯_口直徑越小時對孔邊網(wǎng)格大小越為敏感，對較小直徑如6.35 mm的開口，孔邊網(wǎng)格為0.1 mm時，最大應(yīng)變精度為3.54%，而較大直徑100 mm的開口，孔邊網(wǎng)格為0.1 mm時，最大應(yīng)變精度依然較高為0.58%。當(dāng)直徑大于100 mm后，孔邊網(wǎng)格小于1 mm可獲得5%以上的精度。相比于單軸，不同開口直徑層合板在雙軸載荷下精度略高，主要原因是層合板的泊松效應(yīng)一定程度降低了孔邊的應(yīng)力集中，應(yīng)力分布受網(wǎng)格尺寸的影響也略為降低。

圖9 準(zhǔn)各向同性層合板不同開口直徑開口網(wǎng)格尺寸對孔邊最大應(yīng)力的影響(σx ∶σy=1 ∶1)

采用同樣方法，對雙軸載荷下的純±45 °鋪層層合板開展分析，取45 °方向最大應(yīng)力，分析不同開口直徑下不同網(wǎng)格尺寸的精度大小如圖10所示?？梢钥闯?，與前文中分析結(jié)果一致，開口直徑越小時對孔邊網(wǎng)格大小越為敏感。當(dāng)開口直徑為6.35 mm和12.7 mm層合板時，圖中可明顯看出，當(dāng)網(wǎng)格尺寸>1 mm后曲線出現(xiàn)拐點(diǎn)，主要原因?yàn)椤?5 °鋪層層合板在x，y軸雙軸加載時，沿著45 °方向離孔中心超過5 mm后，應(yīng)力有所升高，如圖11所示。

圖10 純±45 °鋪層層合板，不同開口直徑開口網(wǎng)格尺寸對孔邊最大應(yīng)力的影響(σx ∶σy=1 ∶1)

圖11 純±45 °鋪層層合板，E11隨距離孔邊位置變化趨勢(σx：σy=1 ∶1)

通過對比兩種鋪層下不同開口的精度分布，可發(fā)現(xiàn)純±45 °鋪層相比準(zhǔn)各向同性鋪層對孔邊網(wǎng)格尺寸更為敏感，且鋪層比例影響孔邊最大應(yīng)力點(diǎn)的分布位置。因此對雙軸載荷的復(fù)合材料開口結(jié)構(gòu)建模時，需按實(shí)際鋪層進(jìn)行估算，以確定有限元模型網(wǎng)格劃分，以滿足強(qiáng)度計(jì)算要求。

3 有限元網(wǎng)格尺寸

為驗(yàn)證上述分析方法，本文在ABAQUS CAE中建立了復(fù)合材料開口結(jié)構(gòu)有限元模型，定義載荷和邊界條件，對模型網(wǎng)格劃分，并對孔周邊網(wǎng)格進(jìn)行細(xì)化。圖12與圖13分別為準(zhǔn)各向同性鋪層層合板在雙軸載荷下的孔邊最大主應(yīng)力和最大應(yīng)變的分布云圖。在最大主應(yīng)力的分布云圖中可知，孔邊最大主應(yīng)變?yōu)? 466ε，E11方向最大應(yīng)變?yōu)? 458ε，與解析法計(jì)算的E11最大應(yīng)變相差9ε，偏差在0.26%。

圖12 復(fù)合材料開口結(jié)構(gòu)雙軸加載有限元模型

圖13 復(fù)合材料開口結(jié)構(gòu)雙軸載荷的最大主應(yīng)力和最大應(yīng)變分布云圖

本文同時開展了單軸載荷下有限元方法、Withney-Nuismer方法和Lehknitskii方法計(jì)算結(jié)果的對比，如圖14所示。從圖14可看出，解析解和數(shù)值解的計(jì)算結(jié)果一致性較好，有效驗(yàn)證了解析方法計(jì)算的合理性。

圖14 有限元方法和解析法計(jì)算結(jié)果對比

4 結(jié)論

本文通過研究復(fù)合材料開口層合板在不同載荷狀態(tài)、開口尺寸及鋪層比例下，有限元網(wǎng)格尺寸與數(shù)值計(jì)算精度的關(guān)系，通過分析，得到如下主要結(jié)論：

(1)在單軸載荷下，開口直徑越小時對孔邊網(wǎng)格大小越為敏感，0 °鋪層比例越高時對孔邊網(wǎng)格大小更為敏感。對開口直徑25.4 mm、大多數(shù)鋪層的層合板，在孔邊網(wǎng)格尺寸0.01 mm時精度在0.21%以上。

(2)在雙軸載荷下，開口直徑越小時對孔邊網(wǎng)格大小越為敏感;相對單軸載荷，存在一定泊松效應(yīng)降低應(yīng)力集中，降低網(wǎng)格敏感度。孔邊最大應(yīng)力位置與鋪層比例和載荷狀態(tài)相關(guān)。