踏破鐵鞋無覓處,方法盡在圖像中—談函數(shù)零點存在性的證明

江蘇省宜興第一中學(214205) 花雨 杜亞強

蘇教版教材必修1“函數(shù)與方程”一節(jié)給出了如下零點存在定理:

定理如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是一條不間斷的曲線,并且有f(a)f(b)＜0,那么,函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內有零點,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,這個c也就是方程f(x)=0的根.

在具體解題中,尤其是在解與零點有關的證明題中,如何確定a,b的值,經(jīng)常成為一個難點.

題目設函數(shù)討論f(x)的零點個數(shù)并證明.

解f(x)的定義域為(0,+∞),(1)當a≤0時,f(x)＞0,f(x)沒有零點;(2)當a＞0時,因為,所以f(x)在(0,+∞)單調遞增.因為所以當a＞0時,f(x)存在唯一零點.

提出問題本題中的f(a)和是如何發(fā)現(xiàn)的?

例1若函數(shù)f(x)=lnx-x-a有兩個不同的零點,求實數(shù)a的取值范圍.

解由f(x)=lnx-x-a,得所以f(x)在(0,1)上單調遞增,在(1,+∞)上單調遞減.故當x=1時,f(x)取得最大值,且最大值為f(1)=-1-a.事實上,由f(1)=-1-a＞0,可以得到a＜-1;此時可取x1=ea∈(0,1),有f(ea)=-ea＜0;取x2=-2a∈(1,+∞),有f(-2a)=ln(-2a)+a.令在(1,2)上單調遞增,在(2,+∞)單調遞減,故當x=2時,g(x)取得最大值,且最大值為g(2)=ln2-1＜0,所以x∈(1,+∞)時,g(x)＜0.所以f(-2a)=ln(-2a)+a＜0.

評析若函數(shù)f(x)有兩個不同的零點,當且僅當下列三個條件同時成立;

①f(1)=-1-a＞0;②?x1∈(0,1),使得f(x1)＜0;③?x2∈(1,+∞),使得f(x2)＜0.

圖1

首先來看解法中的x1=ea,x2=-2a是如何得到的,先考慮條件②?x1∈(0,1),使得f(x1)＜0.在同一坐標系中作出y=lnx和y=x+a的圖像,使它們交于兩點,如圖1.直線y=x+a與y軸交于點(0,a),作直線y=a與y=lnx的圖像交于點(ea,0),因為a＜-1,所以ea∈(0,1),f(ea)=lnea-ea-a＜0.

下面考慮條件③?x2∈(1,+∞),使得f(x2)＜0.過原點作函數(shù)y=lnx的圖像的切線:該直線與直線y=x+a相交.為便于計算交點坐標,選擇過原點且斜率在區(qū)間上的直線得x=-2a∈(1,+∞),f(-2a)=ln(-2a)+a＜-a+a=0.對于ln(-2a)＜-a,可以構造函數(shù)進行證明.當然如果平時能夠有意積累一些不等式,對于尋找解題思路無疑是有益的.

方法在以上解題過程中,有幾個要點需要總結:

(1)令f(x)=0,通過移項等手段構造出兩個函數(shù),在同一坐標系中作出兩個函數(shù)的圖像并觀察兩個圖像的變化趨勢及交點位置,兩個交點的橫坐標其實就是函數(shù)f(x)的兩個零點.要找到上文中的x1和x2,就必須在兩個交點的外側找到兩個確定的點,這往往需要構造新的圖像與兩已知函數(shù)的圖像之一相交.

(2)如要在指對函數(shù)等超越函數(shù)的圖像上找點,為便于計算,應盡可能考慮函數(shù)圖像與垂直坐標軸的直線的交點.除此以外,需找的點應盡可能在非超越函數(shù)的圖像上產(chǎn)生.

(3)要充分利用好函數(shù)圖像與坐標軸的交點以及函數(shù)圖像的某條切線.如本題中的點(0,a),y=lnx的圖像的切線

(4)為便于計算,結合函數(shù)圖像的變化趨勢,可以進行適當?shù)牟坏仁椒趴s.上題中實際就使用了函數(shù)放縮:

回到文初的問題:在a＞0時,該題中的f(a)和是如何發(fā)現(xiàn)的?

圖2

例2已知函數(shù)f(x)=ex-2x+a有零點,求a的取值范圍.

解由f′(x)=ex-2,可得f(x)在(-∞,ln2)上單調遞減,在(ln2,+∞)上單調遞增,且在x=ln2處取得最小值,最小值為f(ln2)=2-2ln2+a.

(1)當a=2(ln2-1)時,最小值f(ln2)=0,此時函數(shù)存在唯一的零點.

評析當a＜2(ln2-1)時,若函數(shù)f(x)有兩個不同的零點,當且僅當下列三個條件同時成立:

①f(ln2)＜0;②?x1∈(-∞,ln2),使得f(x1)＞0;③?x2∈(ln2,+∞),使得f(x2)＞0.

首先,來看解法中的x1=是如何得到的.先考慮條件②?x1∈(-∞,ln2),使得f(x1)＞0,在同一坐標系中作出y=ex和y=2x-a的圖像,使它們交于兩點,如圖3.直線y=2x-a與x軸交于點該點在兩函數(shù)圖像左邊交點的左側.因為a＜2(ln2-1),所以而

圖3

例3設函數(shù)f(x)=lnx-ax,其中a為實數(shù).試求f(x)的零點個數(shù),并證明你的結論.

①當a=0時,由f(1)=0及可得f(x)存在唯一的零點;

②當a＜0時,在(0,+∞)上單調遞增,又f(1)=-a＞0,f(ea)=a(1-ea)＜0.故f(x)存在唯一的零點;

評析本題利用了函數(shù)y=lnx的圖像與x軸的交點(1,0),當 0＜a＜e?1時,確定實際上使用了函數(shù)放縮:x＞0時,可以解得如圖4.

圖4

結束語

近幾年來,利用導數(shù)研究含參函數(shù)零點問題經(jīng)常作為一道大題出現(xiàn)在各地的高三模擬試卷中,有時甚至作為壓軸題出現(xiàn).學生在對函數(shù)求導后,結合函數(shù)圖像和參數(shù)的范圍往往能判斷出零點的個數(shù).但具體的論證極少有學生能夠完成,其中的難點在于找出特殊點,使得函數(shù)值出現(xiàn)正負.本文從特征點、圖像的切線出發(fā),結合函數(shù)圖像的變化趨勢和函數(shù)放縮,對此做了一些探索.本文的例題以指對函數(shù)與一次函數(shù)的結合為主,對于指對函數(shù)與二次函數(shù)相結合的類型以及其它類型,還要考慮漸近線的作用甚至利用指對函數(shù)的泰勒級數(shù)進行放縮求解.

[1]李素波.淺析放縮法在應用零點存在判定定理時的作用[J].中國數(shù)學教育,2016(10):53-57.