面向高中生數(shù)學高階思維能力培養(yǎng)的問題設計*—以《數(shù)學歸納法》為例

廣東省廣州市東圃中學(510700) 彭紅亮

1.高階思維能力的概念

高階思維能力的英文翻譯是“High Order Thinking Skill”,通常簡稱HOTS.以布盧姆1956年版的認知目標分類為基礎,經(jīng)過泰勒等學者修改后,將新目標分類中的記憶、理解和應用稱為“低級思維能力”,將分析、評價和創(chuàng)造稱為“高階思維能力”.

結合國內(nèi)外對于高階思維能力的研究,借鑒江梅編制的《小學中年級語文閱讀高級思維能力測評指標體系》設計出高中數(shù)學高階思維能力的測評指標體系(見表1).

表1 高中數(shù)學高階思維能力測評指標體系

2.面向高中生高階思維能力培養(yǎng)的問題設計案例分析

問題是數(shù)學學習的核心.高效的教學離不開優(yōu)質的問題設計.設計問題時首先需目標明確,以達成課程標準的要求為準;其次要有利于問題情境的創(chuàng)設,揭示知識的生活背景,形成認知沖突;最后要符合學生的認知規(guī)律,以低階學習為基礎,逐步上升到高階學習.

2.1 設定針對高階思維培養(yǎng)的教學目標

根據(jù)布盧姆2001年版認知目標分類,教師可以反思自己的教學是處在低階思維(知道、領會和應用層次)還是處在高階思維層次(分析、綜合和評價)?教學是否期望學習者將所學的知識應用于分析問題的情境?教學方法和學習任務是否要求學習者運用元認知和問題求解的技能?對等等諸如此類問題的反思,都有助于教師設計幫助學習者發(fā)展高階思維能力的教學.

以《數(shù)學歸納法》為例,課程內(nèi)容標準是“了解數(shù)學歸納法的原理,能用數(shù)學歸納法證明一些簡單的數(shù)學命題.”.學生要達到這個目標還存在一定的困難,具體體現(xiàn)如下:①不理解為什么要引進數(shù)學歸納法,本質原因就是不理解有限與無限之間的辯證關系;②難以理解數(shù)學歸納法第一步的作用,本質原因就是不理解有限是無限的基礎,只有歸納奠基成立,才能保證一直遞推下去;③難以理解數(shù)學歸納法第二步的作用,本質原因就是不理解遞推思想的妙用—用有限步驟證明無限個命題的正確性,由此造成對證明中何以必須用“假設”的不理解,從而出現(xiàn)易錯點:將“解決由P(k)到P(k+1)的傳遞性問題”,誤解為“證明P(k+1)的真實性”.

因此,本節(jié)課設計的問題需要達到以下目標:①通過多米諾骨牌游戲理解數(shù)學歸納法的原理與實質,即運用遞推思想解決有限與無限之間的矛盾,培養(yǎng)學生的理解能力和創(chuàng)造能力.②由多米諾骨牌游戲抽象概括出數(shù)學歸納法的兩個基本步驟—歸納奠基和歸納假設,并了解它們之間缺一不可的關系,培養(yǎng)學生的創(chuàng)造能力.③能用數(shù)學歸納法證明一些簡單的與正整數(shù)有關的命題,體驗大膽猜想、小心求證的思維過程,培養(yǎng)推理論證能力,培養(yǎng)學生的應用能力和創(chuàng)造能力.④引導學生課前獨立自主學習,課堂小組合作學習,養(yǎng)成嚴謹善究的學習習慣,鍛煉探究、分析和交流的學習能力,培養(yǎng)學生的分析、評價和創(chuàng)造能力.

2.2 創(chuàng)設培養(yǎng)高級思維的問題情境

問題既是學生探究的任務,也是學生探究的線索.課堂上要創(chuàng)設相應的問題情境,造成認知沖突,激發(fā)學生的求知欲和興趣.如在引入課題前,先設計兩個結論互相矛盾的問題.其中問題1(1)是關于法國數(shù)學家費馬的小故事:“費馬在1640年觀察到220+1=3,221+1=5,222+1=17,223+1=257,224+1=65537,歸納猜想得:任何形如22n+1(n∈N)的數(shù)都是素數(shù),這就是著名的費馬猜想.差不多一個世紀以后,瑞士數(shù)學家歐拉于1732年發(fā)現(xiàn):225+1=4294967297=641×6700417不是素數(shù),從而推翻費馬猜想.”然后再設計問題1(2)“由教材第71頁例題1可知,數(shù)列{an},若通過對n=1,2,3,4前4項歸納,猜想請問這個猜想正確嗎?請你運用數(shù)列知識說明理由.”通過思考,學生發(fā)現(xiàn)費馬猜想和教材例題1的猜想一個正確一個不正確,從而產(chǎn)生認知沖突,激起了學習新課的積極性.

此時,教師可以再提出問題“請問不完全歸納法的結論正確嗎?”這個問題可以引起學生的回憶,培養(yǎng)學生的識記能力,同時很自然地讓學生反思上述兩個猜想結論矛盾的原因就是“不完全歸納法結論可能正確也可能不正確”,培養(yǎng)了學生的分析能力.

教師可以趁熱打鐵,繼續(xù)提出問題“遇到這種與正整數(shù)有關的問題,我們有什么辦法來證明它是否可靠呢?能不能一個個去檢驗?”前一個問題促使學生反思自己過去是否學過有效的證明方法,當他們找不到時,會嘗試思考有沒有新方法去證明,培養(yǎng)了他們的創(chuàng)造能力.后一個問題給學生提供了一個思考方向,但是學生會發(fā)現(xiàn)這個方法是不現(xiàn)實的,培養(yǎng)了學生的評價能力.當他們再次陷入困境的時候,他們會很渴望新方法的學習.此時,教師就能夠自然地引出新課.

這個過程中,層層深入的設計讓學生經(jīng)歷知識的構建過程,體會知識中蘊含的數(shù)學思想,培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的能力.

2.3 搭建適合高階思維發(fā)展的“腳手架”

數(shù)學歸納法的原理比較抽象,因此教師要精心設計提問,為學生的思考、探究提供腳手架.首先要講授多米諾骨牌游戲的內(nèi)涵.教師可以設計問題鏈:①多米諾骨牌成功倒下的條件是什么?②“第1塊骨牌倒下”的作用是什么?③“相鄰的兩塊骨牌,前一塊倒下導致后一塊也倒下”的作用是什么?④請大家總結多米諾骨牌游戲成功的兩個條件是什么?結論是什么?這幾個問題讓學生逐步分析多米諾骨牌成功倒下的原理,而不是憑空猜想,并且讓學生在一個個問題的解決過程中理解這個游戲的本質.其中前三個問題培養(yǎng)學生的理解能力和分析能力,最后一個問題培養(yǎng)了學生的創(chuàng)造能力.

其次,通過類比多米諾骨牌游戲,講授數(shù)學歸納法原理.教師可以再設計一個問題鏈:①請問你能用數(shù)學語言表示多米諾骨牌游戲嗎?②有時我們遇到一些這樣的問題,當n≥n0,n0∈N?時結論才成立.那我們又該如何表述呢?③請歸納出數(shù)學歸納法的概念和步驟.第一個問題的目的是引導學生將游戲數(shù)學化,幫助學生貫通生活與數(shù)學之間的聯(lián)系,讓學生用數(shù)學的視角來分析游戲,培養(yǎng)學生的理解能力.學生經(jīng)常以為數(shù)學歸納法都是從n=1開始證明.第二個問題就讓學生意識到問題的多樣性和靈活性,并且在思考的過程中培養(yǎng)分析能力.第三個問題讓學生提煉出概念,思維升華,建構知識,培養(yǎng)分析能力和創(chuàng)造能力.

本節(jié)課的重點就是讓學生會正確運用數(shù)學歸納法,教師可以設計一個問題鏈:①用數(shù)學歸納法證明問題1(2)中的猜想正確;②用數(shù)學歸納法證明③請用數(shù)學歸納法證明:1+2+3+···+2n=n(2n+1),n∈N?.第一個問題僅僅是直接應用,讓學生的應用的過程中理解數(shù)學歸納法,熟悉數(shù)學歸納法,培養(yǎng)學生的識記能力和應用能力.第二個問題由教材的例1變形而成,不僅讓學生熟悉數(shù)學歸納法的應用,更讓學生體驗n0是命題所允許的最小正整數(shù),而它的取值不一定為1.在這個探究過程中,培養(yǎng)了學生的理解、應用、創(chuàng)造能力.第三個問題讓學生體會從n=k到n=k+1時,等式左邊的項不一定只增加一項,從不同角度更高層次地培養(yǎng)了學生的理解、應用、創(chuàng)造能力.這三個問題由淺入深,后兩個問題更是針對學生忽視的地方、不容易理解的地方,激發(fā)學生的思維,提升了學生的高階思維能力.

總之,問題鏈可以幫助學生全面理解概念或法則的內(nèi)涵,學會從不同角度分析問題,解決問題,真正提高高階思維能力.

3.反思

有效的高階思維能力培養(yǎng)模式要根據(jù)布盧姆2001版目標分類制定合理的教學目標,設計針對性的問題、任務、活動和組織形式,在低階學習的基礎上加強高階學習,實現(xiàn)低階學習到高階學習的過渡,從而促進和提高學生的高階思維能力.

[1][美]洛林·W·安德森.布盧姆教育目標分類學(修訂版完整版)[M].北京:外語教學與研究出版社,2009.

[2]江梅.為高級思維能力而教:提升教師課程建設能力[M].廣州:華南理工大學出版社,2014.

[3]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準(實驗)[M].北京:人民教育出版社,2010.