中學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維體系建構(gòu)的途徑

廣東省惠東縣教育局教研室(516000) 汪輝

隨著現(xiàn)代科技迅猛發(fā)展和知識(shí)經(jīng)濟(jì)的興起、知識(shí)更新速度日益加快,創(chuàng)新將決定一個(gè)國(guó)家和民族的綜合實(shí)力和競(jìng)爭(zhēng)力.正如原總書記江澤民說(shuō)“創(chuàng)新是一個(gè)民族進(jìn)步的靈魂,是國(guó)家興旺發(fā)達(dá)的不竭動(dòng)力.”因此,在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中,結(jié)合教材內(nèi)容,刻意挖掘教材中的創(chuàng)新因素,滲透創(chuàng)新教育思想,幫助學(xué)生樹立創(chuàng)新意識(shí),培養(yǎng)創(chuàng)新思維,發(fā)展創(chuàng)新能力,建構(gòu)創(chuàng)新思維體系.這不僅是時(shí)代對(duì)我們的客觀要求,也是提高民族整體素質(zhì)和培養(yǎng)本世紀(jì)創(chuàng)新人才的需要.本文旨在從“開啟創(chuàng)新思維、誘發(fā)創(chuàng)新思維、培養(yǎng)創(chuàng)新思維、延續(xù)創(chuàng)新思維、升華創(chuàng)新思維”等五個(gè)方面對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中建構(gòu)學(xué)生創(chuàng)新思維體系的途徑,做了一些具體的思考.

一、富于想象,開啟創(chuàng)新思維.

想象是在原有表象的基礎(chǔ)上加工改造形成新形象的思維.創(chuàng)新想象并不依據(jù)現(xiàn)在的描述或圖示,而是根據(jù)一定的目的和任務(wù),把經(jīng)過(guò)改造的各個(gè)成分納入新的體系而創(chuàng)新出新的完整形象的過(guò)程,其結(jié)果具有新穎性、獨(dú)創(chuàng)性、奇特性.古希臘亞里士多德說(shuō):“想象是所有發(fā)現(xiàn)、發(fā)明等創(chuàng)造性活動(dòng)的源泉.”可見(jiàn),一切新活動(dòng),都是從創(chuàng)新想象開始,沒(méi)有想象就沒(méi)有任何發(fā)明創(chuàng)造.因此.在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中,自覺(jué)而有意識(shí)地追求數(shù)學(xué)材料和數(shù)學(xué)事實(shí)的形象,讓學(xué)生展開思維的翅膀大膽想象,能有效地開啟學(xué)生的創(chuàng)新思維.講扇形面積時(shí),可將扇形想象成三角形,便獲得是弧長(zhǎng),R為半徑).求正n邊形的面積,當(dāng)n無(wú)限大時(shí),將正n邊形想象成圓進(jìn)行近似計(jì)算.圓錐想象成由一個(gè)直角三角形繞一直角邊旋轉(zhuǎn)一周所形成的圖形.對(duì)于某些例題、習(xí)題的分析,也可用想象獲得巧妙的解法.

例如圖1,兩個(gè)同心圓被兩條半徑截得的AB弧長(zhǎng)為6πcm,CD弧長(zhǎng)為10πcm,且AC=12cm,求陰影部分ABCD的面積.

圖1

此題的常規(guī)解法是:S陰影ABCD=S扇形OCD-S扇形OAB(解略)

解題后,根據(jù)圖形的特征,引導(dǎo)學(xué)生想象成梯形模型,進(jìn)行探索、分析,可得到創(chuàng)新的解法:以直替曲,把所求陰影部分面積看成是曲邊梯形面積,便巧妙地獲得新穎解法.

這種解題方法突破了常規(guī)性,既準(zhǔn)確、快捷,同時(shí)又肯有創(chuàng)新性.有利于培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立探索,發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造能力.因此,讓學(xué)生沖破框框的局限,充分發(fā)揮想象,常能打破常規(guī),另辟蹊徑,獲得簡(jiǎn)捷、明快、精巧的解法,從而有效地開啟學(xué)生的創(chuàng)新思維,同時(shí)也在想象層面對(duì)學(xué)生的創(chuàng)新思維體系進(jìn)行了構(gòu)建.

二、美為媒介,誘發(fā)創(chuàng)新思維.

數(shù)學(xué)家阿達(dá)瑪指出:“數(shù)學(xué)家的美感猶如一個(gè)篩子,缺少美感的人不會(huì)成為一個(gè)發(fā)明家.”他認(rèn)為,數(shù)學(xué)美感是數(shù)學(xué)發(fā)明的真正動(dòng)力.這種美感越強(qiáng),數(shù)學(xué)直覺(jué)能力也就越強(qiáng),數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)與發(fā)明的才能就越大.因此,教學(xué)中憑借數(shù)學(xué)本身所賦予的審美因素,讓中學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔、對(duì)稱、相似、和諧、嚴(yán)謹(jǐn)、奇異等數(shù)學(xué)美.在審美情感支配下對(duì)數(shù)學(xué)美的追求,一旦題目提供的知識(shí)信息與審美主體的審美情感相吻合,就會(huì)激起審美直覺(jué),引發(fā)聯(lián)想,拓展思維空間,通過(guò)歸納、類比、猜想等推理方法,不斷發(fā)現(xiàn)新知識(shí),創(chuàng)新地解決問(wèn)題,從而誘發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維.

例已知x+2y+3z=20,x+3y+5z=31,求x+y+z的值.

分析已知條件中方程的個(gè)數(shù)少于未知數(shù)的個(gè)數(shù),不能直接求解x、y、z的值.但仔細(xì)觀察,感受到方程與未知數(shù)個(gè)數(shù)的奇異性和等式結(jié)構(gòu)的和諧美感,把x+y+z看作一個(gè)整體求出,就能巧妙簡(jiǎn)潔地解決問(wèn)題.

解將已知條件化為解得:x+y+z=9.

教學(xué)中,教材的很多內(nèi)容,都可以通過(guò)精心設(shè)計(jì),引導(dǎo)學(xué)生追求數(shù)學(xué)美感,在數(shù)學(xué)美的激發(fā)下,以美為媒,對(duì)于開拓思維,誘發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維是非常有益的,而且也在局部與整體兩方面構(gòu)建了學(xué)生的創(chuàng)新思維體系.

三、靈活多變,培養(yǎng)創(chuàng)新思維.

思維的靈活性是創(chuàng)新思維的特征之一,它表現(xiàn)為思維敏捷,隨機(jī)應(yīng)變,善于全面地轉(zhuǎn)換觀察,分析、思考的角度,使問(wèn)題出奇制勝地獲解,這是創(chuàng)新思維的靈魂.在中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中,依據(jù)教材內(nèi)容有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生從多角度、多層次、多方位去思考問(wèn)題.強(qiáng)化各種數(shù)學(xué)思維策略變換的訓(xùn)練,促使學(xué)生當(dāng)思維遇到障礙時(shí),迅速進(jìn)行轉(zhuǎn)換,從而獲取解決問(wèn)題的方法,這樣能防止思維僵化、拓寬思路、活化知識(shí),有利于培養(yǎng)創(chuàng)新思維.例:引導(dǎo)學(xué)生探討公式的逆應(yīng)用或探討定理的逆命題是否正確,它對(duì)于激發(fā)學(xué)生探索新知,培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維能力具有重要意義.

例已知:二次方程(b-c)x2+(c-a)x+a-b=0(b/=c)有相等的實(shí)數(shù)根,求證:2b=a-c.

分析此題采用常規(guī)證法較困難,引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)換思考角度,通過(guò)觀察、分析等式結(jié)構(gòu)系數(shù)特征,易知此方程系數(shù)和為零的特點(diǎn).便能創(chuàng)新地獲得簡(jiǎn)捷的證法.

證明因?yàn)?b-c)+(c-a)+(a-b)=0,又因?yàn)榇硕畏匠逃邢嗟葘?shí)數(shù)根,所以兩根為:x1=x2=1.由一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系可得:所以a-b=b-c,所以2b=a-c.

可見(jiàn),引導(dǎo)學(xué)生善于變換思考角度,掙脫思維定勢(shì)的束縛,敢于打破常規(guī)的禁錮,敢于探索創(chuàng)新,便能巧妙地獲得簡(jiǎn)捷、獨(dú)特、新穎的解法.從而有效地培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力,最大程度地在普遍性和特殊性之間建構(gòu)了學(xué)生的創(chuàng)新思維體系.

四、大膽猜想,延續(xù)創(chuàng)新思維.

“猜想是人類認(rèn)識(shí)中最活躍、最積極的因素,是人類理性中最富于創(chuàng)造的部分.有了猜想,人的認(rèn)識(shí)才擺脫了消極等待的奴隸狀態(tài).”正如偉大的物理學(xué)家牛頓所說(shuō):“沒(méi)有大膽的猜想,就做不出偉大的發(fā)現(xiàn).”許多數(shù)學(xué)結(jié)論的發(fā)現(xiàn),都是從猜想開始,然后設(shè)法加以證明.可見(jiàn),猜想是創(chuàng)新思維的源泉,猜想是科學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要途徑,猜想是數(shù)學(xué)發(fā)展的強(qiáng)大動(dòng)力.在數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的關(guān)鍵時(shí)刻,如果善于提出猜想,將有利于解題方向及解題思路的形成.因此,在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中,要根據(jù)教材編寫的特點(diǎn)和學(xué)生的認(rèn)識(shí)規(guī)律,引導(dǎo)學(xué)生開動(dòng)腦筋,激發(fā)學(xué)生猜想的欲望,培養(yǎng)學(xué)生猜想的興趣,鼓勵(lì)學(xué)生勤于觀察,大膽地提出猜想,允許學(xué)生提出各種“異議”,啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行多向猜測(cè)、多向思考.對(duì)發(fā)展學(xué)生的猜想能力,實(shí)現(xiàn)認(rèn)識(shí)能力的飛躍和突破,從而發(fā)展、延伸學(xué)生的創(chuàng)新潛能.

例已知(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0,求證:x+z=2y.

將原方程展開得x2+2xz-4xy+z2-4yz+4y2=0,引導(dǎo)學(xué)生整體考察,憑直覺(jué)猜想到可將原方程化為關(guān)于x的一元二次方程,從而獲得通過(guò)解關(guān)于x的方程就可得出所要證明的結(jié)論.

證明由已知等式得:x2+2xz-4xy+z2-4yz+4y2=0,故有:x2+2(z-2y)x+(z-2y)2=0,于是有(x+z-2y)2=0,故x+z=2y.

再進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生探索,得出又一新證法.通過(guò)整體觀察原方程左邊的結(jié)構(gòu)與一元二次方程的根的判別式b2-4ac非常相似,從而猜想此題可以構(gòu)造一元二次方程來(lái)求解.于是可把已知條件看作是t的二次方程(x-y)t2+(z-x)t+(y-z)=0有等根的條件.進(jìn)而觀察到方程左邊的系數(shù)之和為零,故方程的兩個(gè)根均為1,于是由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得:t1·t2=1,即所以x+z=2y.

可見(jiàn),精心安排教材,設(shè)計(jì)教法,引導(dǎo)學(xué)生開展各種歸納、類比等豐富多彩的探索活動(dòng),鼓勵(lì)學(xué)生積極猜想,對(duì)發(fā)展、延續(xù)學(xué)生創(chuàng)新思維具有積極實(shí)踐意義,在大膽猜想中構(gòu)建了學(xué)生的創(chuàng)新思維體系.

五、打破常規(guī),升華創(chuàng)新思維.

思維的創(chuàng)新性是指思維活動(dòng)的內(nèi)容、途徑和方法的自主創(chuàng)新程度.它是思維中最可貴的品質(zhì),包含有新穎、獨(dú)特、創(chuàng)造等因素.它表現(xiàn)為思維的不尋常規(guī),不拘常法,不落俗套,尋求變異,勇于創(chuàng)造.因此,中學(xué)教師在教學(xué)中要注意引導(dǎo)學(xué)生積極探索、嘗試、不斷創(chuàng)新,不斷激起學(xué)生強(qiáng)烈的求知欲,不斷鼓勵(lì)學(xué)生創(chuàng)造思維的萌芽、探究目標(biāo)、發(fā)現(xiàn)隱含條件,不拘常規(guī)地以前所未有的思路去探索、嘗試問(wèn)題的解,以不同的嶄新的角度去思考問(wèn)題.使學(xué)生的思維縱橫馳騁,創(chuàng)造力得到充分的發(fā)揮,從而能有效地升華學(xué)生思維的創(chuàng)新性.

例如圖2,在矩形ABCD中,AB=a,BC=b,M是BC的中點(diǎn),DE⊥AM,E是垂足,求證:

圖2

本題常規(guī)解法是應(yīng)用相似三角形的判定和性質(zhì)來(lái)證明,先證得△ABM～△DEA,再利用相似三角形的性質(zhì),本題便可得證,這是一般方法,在此基礎(chǔ)上,還應(yīng)啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生再探索嘗試,另辟蹊徑得出別開生面的證法.

證明連結(jié)DM,如圖3,因?yàn)楣识?/p>

圖3

再進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生探索,得出又一新證法.如圖4:延長(zhǎng)AM交DC的延長(zhǎng)線于F,易證△ABM△CFM,則△ADF的面積與矩形ABCD的面積相等,從而得出結(jié)論.

圖4

在整個(gè)解題過(guò)程中,學(xué)生始終處于一種積極探索、創(chuàng)造的狀態(tài),根據(jù)已學(xué)過(guò)知識(shí),不斷探索、產(chǎn)生“頓捂”或“觸類旁通”,創(chuàng)造性地解決了問(wèn)題,使學(xué)生在不斷探究中構(gòu)建了創(chuàng)新思維體系.

綜上可知,中學(xué)數(shù)學(xué)課堂中構(gòu)建學(xué)生創(chuàng)新思維體系的關(guān)鍵在于醞釀它的發(fā)生機(jī)制.因此,教學(xué)中教師要從上述五個(gè)方面著手深入挖掘,研究教材中的創(chuàng)新因素,從多渠道、多層次積極有地開展創(chuàng)新活動(dòng),從而最大限度去開發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新潛能,培養(yǎng)創(chuàng)新思維能力、建構(gòu)創(chuàng)新思維體系,為進(jìn)一步提高中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)效率奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ).當(dāng)然,創(chuàng)新思維體系的建構(gòu)是一項(xiàng)長(zhǎng)期艱巨的任務(wù),有待于我們進(jìn)一步的探討和開拓.

[1]《數(shù)學(xué)思維方法》傅學(xué)順、王屏山,暨南大學(xué)出版社.

[2]《課程·教材·教法》.人民教育出版社.2003.3.

[3]《創(chuàng)新教學(xué)探索全書》.興旺主編.湖南教育出版社.1999年版.