復數(shù)概念教學新設計

貴州省畢節(jié)第一中學(551700) 李敏瑜

華南師范大學數(shù)學科學學院(510631) 何嘉穎

教材人教A版普通高中數(shù)學選修2-2第三章第一節(jié)

課時安排第1課時

教學對象高二(下)學生

教材分析

本節(jié)內(nèi)容涉及到了數(shù)系擴充的過程、復數(shù)概念、復數(shù)的代數(shù)形式以及復數(shù)集與其它數(shù)集的關系,這是學生學習復數(shù)的幾何意義及其四則運算的基礎.教材通過類比自然數(shù)系到實數(shù)系的擴充過程,為了使方程x2+1=0有解,直接引出復數(shù)的概念.這種引入方式看似簡潔,但與數(shù)學史不符,而且對學生而言太突兀,難以接受.學生也不了解復數(shù)是如何被發(fā)現(xiàn)的,虛數(shù)單位是如何被定義的,也不可能體會到引入復數(shù)的必要性以及復數(shù)的應用價值.

學情分析

認知基礎:

學生已學習了正整數(shù)集、整數(shù)集、有理數(shù)集、實數(shù)集以及相應的數(shù)的運算法則和運算律,有了數(shù)系擴充的一些經(jīng)驗;學生已掌握一元一次方程、二元一次方程的求解方法以及方程的解的概念,了解乘方運算與開方運算的互逆關系、數(shù)學的邏輯用語以及推理與證明的相關知識,這些都是引入復數(shù)概念的基礎.

認知障礙:

①缺乏從整體上重新審視數(shù)系發(fā)展的過程,不知道數(shù)系是如何擴充的以及它與生產(chǎn)生活及方程求解之間的關系;

②對方程無實數(shù)解的認知不準確;

③承認負數(shù)可以開平方.

教學目標

知識與技能

①理解復數(shù)的基本概念(虛數(shù)單位、純虛數(shù)、虛數(shù)等);

②掌握復數(shù)的代數(shù)形式;

③了解復數(shù)集與其它數(shù)集之間的集合關系以及代數(shù)形式上的關系;

過程與方法

①經(jīng)歷觀察發(fā)現(xiàn)、猜想并形成復數(shù)概念的過程,領悟復數(shù)發(fā)現(xiàn)的探索思路,學習數(shù)系擴充的思想;

情感態(tài)度價值觀

①感受數(shù)系擴充與生產(chǎn)生活之間的關系、與方程求解之間的關系;

②感受引入復數(shù)的必要性;

③體會復數(shù)的產(chǎn)生是源于生活中數(shù)學方程求解的需要,以及感受人類理性思維的作用.

教學重點感受數(shù)系擴充、生產(chǎn)生活、方程求解三者之間的聯(lián)系;理解復數(shù)的概念;掌握復數(shù)的代數(shù)形式.

教學難點復數(shù)概念引入的必要性與合理性.

教學關鍵從方程求解入手,用符合學生認知的演繹推理方法導出復數(shù)引入的必要性.

教學方法問題驅(qū)動,引導探究.

教學手段板書、PPT.

教學流程

教學過程設計

(一)問題引入

(1)新課引入:

提問:1、數(shù)以及數(shù)集的概念是如何產(chǎn)生和發(fā)展的?

2、除了實數(shù),還有沒有其它數(shù);是否存在比實數(shù)集范圍更大的數(shù)集?

活動1:從數(shù)學史和已學知識分別回顧數(shù)的發(fā)展過程

從數(shù)學史回顧數(shù)的發(fā)展過程:

從已學知識來回顧數(shù)的發(fā)展過程:

(2)得到結論:我們學習數(shù)的過程和歷史上數(shù)的發(fā)展過程大同小異,數(shù)不斷發(fā)展的過程稱為數(shù)系的擴充.此外,從數(shù)學與生活看:數(shù)的發(fā)展與生產(chǎn)生活有關;從數(shù)學世界看:數(shù)的發(fā)展與方程求解有關.

(3)問題引導:已發(fā)現(xiàn)數(shù)的發(fā)展與方程求解相關,故引導學生繼續(xù)從方程求解入手探索數(shù)的進一步發(fā)展.

設計意圖通過回顧數(shù)學史以及學生所學知識中數(shù)的發(fā)展過程,使學生體會到現(xiàn)實生活對數(shù)學發(fā)展的推動作用以及方程與數(shù)的發(fā)展的聯(lián)系,從而使學生對數(shù)系擴充形成整體的映像,同時,激發(fā)學生繼續(xù)嘗試從方程出發(fā)探索數(shù)的發(fā)展的動力.

(二)探究發(fā)現(xiàn)

(1)特殊入手:讓學生用舊知求解具體方程-7x+6=0、x2-7x+6=0、x3-7x+6=0,回憶求解方程的方法.

學情預設生:上述三個方程的解分別是或x=6,x=1或x=2或x=-3.

(2)歸納方程求解的一般方法:出示上述方程的解,給出一次、二次方程的一般解法.并詢問學生,他們求解方程、x3-7x+6=0的方法,從而得到求解一元三次方程的原始方法—賦值法.

學情預設生:觀察到把1代入方程、x3-7x+6=0后等式成立,所以1是方程、x3-7x+6=0的解,類似的2,-3也是方程的解.

(3)進一步歸納方程求解的一般方法,給出一元三次方程的公式解法:肯定賦值法和公式解法對方程求解的通用性與一致性.通過說明用賦值法求解一元三次方程的不便,提供一元三次方程的公式解.引導學生用一元三次方程的公式解進一步求解、x3-7x+6=0.

背景介紹:早在公元前4-5世紀數(shù)學家們很早就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了一次方程和二次方程的一般解法,而三次方程的公式解直到16世紀才由數(shù)學家卡丹給出.對方程x3+px+q=0,它的公式解為

學情預設生:

(4)探究發(fā)現(xiàn)、出現(xiàn)障礙:求解方程有兩種方法:賦值法、公式解法;在一次和二次方程的求解中,兩種方法得到的解之間保持著一致性.但是,運用兩種解法求解三次方程x3-7x+6=0得出的結果卻出現(xiàn)了不一致.故引導學生探尋造成這種結果的原因.

設計意圖在學生尚未形成復數(shù)的概念時,通過求解具體方程,并抽象歸納出相應方程及求解方程的一般方法,使學生發(fā)現(xiàn)求解三次方程的兩種方法之間的不一致,從而使學生產(chǎn)生認知沖突并產(chǎn)生探究欲望.

(三)深入思考

(1)學生探究,提出猜測:

問題2:猜測造成使用兩種方法求解一元三次方程x3-7x+6=0得到的結果不一致的原因是什么?

提出可能的猜測,猜測一:人為錯誤,如運算、公式抄寫錯誤;猜測二:賦值法有錯誤;猜測三:公式解有錯誤.并對這些猜測進行分析、排除;經(jīng)過反復檢查,沒有出現(xiàn)代入、抄寫錯誤,排除猜測一;由于“賦值法”是求解方程的原始方法,排除猜測二;三次方程的公式解已為人們所證實,排除猜測三.

(2)深入思考,提出猜想:

問題3:用公式解求解方程x3-7x+6=0后,使得方程x3-7x+6=0從有解到無解,發(fā)生了質(zhì)的轉(zhuǎn)變,對此你有何感想?

引導學生從“方程x3-7x+6=0使用了公式解法后,方程x3-7x+6=0從有解到無解發(fā)生了質(zhì)的轉(zhuǎn)變”出發(fā),考慮造成這種結果的原因是用公式法時,基于負數(shù)開平方在實數(shù)集中無意義,于是得到方程無解的結論.從而提出猜想:負數(shù)可以開平方,有意義.

背景介紹:給出三次方程公式解的數(shù)學家卡丹,他在求解三次方程時也遇到了類似問題.但是卡丹并沒有因為這個猜測不合乎情理而置之不理,他堅持繼續(xù)運算,最終算出了結果這與我們用賦值法得到的解的結果一致.

設計意圖對用兩種方法得到方程x3-7x+6=0的兩個不一致的解的原因進行探討,從而導出問題:負數(shù)是否可以可平方?

(3)尋求猜想的合理性:負數(shù)可以開平方,負數(shù)開平方后所得的這類數(shù)存在于實數(shù)之外!

問題4:負數(shù)可以開平方嗎?負數(shù)開平方后真的有意義嗎?

引導學生回顧開平方運算,從開平方運算的概念:若?m∈R,有m2=n,則n≥ 0,記進行思考得到:在過去的學習中,負數(shù)不可以開平方是因為實數(shù)的平方都是非負數(shù).進而嘗試考察上述命題的逆否命題:若n＜0,則?m∈/R,有m2=n,于是發(fā)現(xiàn)猜想的合理性.提出結論:負數(shù)應該也可以開平方,只是它并不屬于實數(shù)集,它存在于實數(shù)集之外!因此,得到有意義,它的意義也在實數(shù)集之外.

因此,這促使我們?yōu)榱饲蠼夥匠绦枰獙崝?shù)集進行數(shù)系擴充.繼而引導學生列舉一些例子以使學生感受到猜想的合理性:確實存在著許多實數(shù)集之外的數(shù).如

設計意圖分析負數(shù)開方的條件,從而使學生理清思路、解決認知沖突,并理解引入新數(shù)的必要性.培養(yǎng)演繹推理能力和探究精神.

(四)形成概念

(1)形成虛數(shù)單位與純虛數(shù)的概念:

稱形如bi(b∈R,b/=0)的數(shù)為純虛數(shù),所有純虛數(shù)的全體稱為純虛數(shù)集.

設計意圖通過再列舉形如的例子形成純虛數(shù)的概念,并提出引入虛數(shù)單位i來表示以及用bi(b∈R,b/=0)來簡化表示純虛數(shù).

(2)進一步尋找其它屬于實數(shù)集之外的數(shù):

問題5:那么除了純虛數(shù)以外,還有其它不屬于實數(shù)集,而屬于實數(shù)集以外的數(shù)嗎?

引導學生仍然從方程入手.此前,從方程求解入手,發(fā)現(xiàn)了在實數(shù)集以外存在著大量的數(shù);那么觀察他們使方程的解產(chǎn)生了怎樣的變化?在上述的一次、二次、三次方程中,大量的方程都是有實數(shù)解的,而不涉及屬于實數(shù)集以外的數(shù).可以考慮,二次方程無實數(shù)解的情況(?＜0).

問題6:請結合新學的純虛數(shù)的概念求解方程x2+x+1=0.

學情預設生:方程x2+x+1=0的解為

引導學生從上述的方程求解中發(fā)現(xiàn),由于?=-3＜0,方程無實數(shù)解;于是并不屬于實數(shù)集;但是從結構上看,也并不是純虛數(shù),它由實數(shù)和純虛數(shù)用加減符號連接共同組成.由此可見,不屬于實數(shù)集的數(shù)還有另外一種類型!

(3)形成非純虛數(shù)的概念:

稱形如a+bi(a,b∈R,a,b/=0)的數(shù)為非純虛數(shù),如,所有非純虛數(shù)的全體稱為非純虛數(shù)集.

(4)形成虛數(shù)、復數(shù)的概念,對新學的數(shù)以及已學的數(shù)進行歸類:

把純虛數(shù)和非純虛數(shù)統(tǒng)稱為虛數(shù),其形式為a+bi(a,b∈R,b/=0);所有虛數(shù)全體構成的集合為虛數(shù)集.把虛數(shù)和實數(shù)統(tǒng)稱為復數(shù)(complex number),其形式為a+bi(a,b∈R);同時復數(shù)常用字母z表示,即有z=a+bi(a,b∈R),這種表示我們稱為復數(shù)的代數(shù)表示,其中a,b分別為復數(shù)的實部和虛部;稱所有復數(shù)的全體構成的集合為復數(shù)集,記為C.

于是,可以得到如下的圖示:

(5)得出結論:除了實數(shù)還有其它數(shù),這就是虛數(shù);存在比實數(shù)集范圍更大的數(shù)集,這就是復數(shù)集.

設計意圖繼續(xù)結合方程進行探究,進一步形成非純虛數(shù)、復數(shù)的概念以及得到復數(shù)的代數(shù)形式、復數(shù)集與其它數(shù)集的關系,使學生更深刻的體會方程與數(shù)的聯(lián)系.

(五)鞏固運用

根據(jù)復數(shù)的代數(shù)形式與純虛數(shù)等概念的關系,求解下列問題:

(1)實數(shù)m取什么值時,復數(shù)z=m+1+(m-1)i是:(i)實數(shù);(ii)虛數(shù);(iii)純虛數(shù).

(2)指出下列各數(shù)中,哪些是實數(shù),哪些是虛數(shù),哪些是純虛數(shù).為什么?

學情預設(1)(i)實數(shù),于是m-1=0,即m=1;(ii)虛數(shù),于是m-1/=0,即m/=1;(iii)純虛數(shù),于是m+1=0且m-1/=0,即m=-1.

設計意圖根據(jù)桑代克的練習律與斯金納的強化原理,使學生掌握復數(shù)的代數(shù)形式與純虛數(shù)、實數(shù)等的聯(lián)系.

(六)小結與作業(yè)

(1)課堂小結:與學生共同總結梳理本節(jié)課的復數(shù)概念形成思路:

1、從數(shù)學史和已學知識出發(fā),回顧數(shù)的發(fā)展過程.

結論:(1)數(shù)學與生活:數(shù)的發(fā)展與生產(chǎn)生活有關;(2)數(shù)學世界:數(shù)的發(fā)展與方程求解有關.

于是,促使從方程求解出發(fā)思考數(shù)的進一步發(fā)展.

2、在求解方程的過程中,歸納得到方程求解的兩種方法:“賦值法”和“公式解”.其中在這兩種方法下,三次方程x3-7x+6=0得到的解不一致,進而發(fā)現(xiàn)實數(shù)集之外的數(shù),而且這個數(shù)的平方為負數(shù);同時,意識到實數(shù)集已經(jīng)不夠用了!

3、引入新的實數(shù)集之外的數(shù)的概念:虛數(shù)單位、純虛數(shù)、非純虛數(shù)、虛數(shù);以及相應的數(shù)集的概念:純虛數(shù)集、非純虛數(shù)集、虛數(shù)集、復數(shù)集.此外,還得到了復數(shù)的代數(shù)表示以及復數(shù)集與其它數(shù)集的關系.

純虛數(shù):bi(b∈R,b/=0);

非純虛數(shù):a+bi(a,b∈R,a,b/=0);

虛數(shù):a+bi(a,b∈R,b/=0);

復數(shù)(代數(shù)表示):z=a+bi∈C(a,b∈R).

設計意圖歸納本節(jié)所學內(nèi)容,回顧探索思路歷程,強化數(shù)學系擴充的思想.

(2)作業(yè):

必做:①課本練習題P104第1題、P106第2、3題;

思考:①復數(shù)是否具有幾何意義?它的幾何意義是什么?結合書本3.1.2.②復數(shù)集是否滿足運算規(guī)律(加法結合律、加法交換律、乘法結合律、乘法交換律、乘法對加法的分配律)?

設計意圖練習強化復數(shù)的概念以及相關知識.

板書設計

附:

本教學設計的創(chuàng)新之處

①從方程x2+1=0有解入手來引入復數(shù)概念是不符合歷史事實的,而且難以讓人接受.根據(jù)HPM的教學理念,遵從復數(shù)概念發(fā)展的歷史原貌來設計教學.

②由灌輸概念式教學轉(zhuǎn)向揭示數(shù)系擴充過程的教學,體現(xiàn)了數(shù)學新課程所倡導的過程教學理念.

③借用數(shù)系發(fā)展的歷史情境和方程求解為線索,問題驅(qū)動,環(huán)環(huán)緊扣,層層深入,讓學生經(jīng)歷了方程求解探索的一般過程,學到的不僅僅是言語連鎖水平的復數(shù)概念,而是學到了理解復數(shù)概念引入的必要性與合理性,以及數(shù)系擴充的思想,化解了復數(shù)概念理解的難點.

[1]何小亞,姚靜.中學數(shù)學教學設計[M].北京:科學出版社,2012.

[2]何小亞.數(shù)學學與教的心理學[M].廣州:華南理工大學出版社,2011.

[3]李忠.復數(shù)的故事[M].北京:科學出版社,2011.