例談三視圖還原直觀圖的復(fù)習(xí)教學(xué)設(shè)計

廣東省廣州市執(zhí)信中學(xué)(510080) 曾喻良

筆者長期從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)工作,深刻地體會到學(xué)生,特別是文科生數(shù)學(xué)直觀想象能力的薄弱.立體幾何中的三視圖問題是培養(yǎng)學(xué)生直觀想象能力的一個很好的載體.在教學(xué)中我們發(fā)現(xiàn)根據(jù)學(xué)生能夠容易地根據(jù)直觀圖畫出三視圖問題,這是“立體圖形平面化”,難點在于根據(jù)三視圖還原直觀圖,不會做的學(xué)生往往回答是“想不出這個立體圖形是怎么樣的”,會做的同學(xué)也往往是“只可意會不可言傳”,似乎沒有什么可以有顯性化的解題經(jīng)驗.

我們首先分析三視圖的教學(xué)與考試要求,考試大綱中要求能識別長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等簡單組合的三視圖所表示的立體模型.結(jié)合2013-2017年新課標(biāo)卷(文科)中立體幾何內(nèi)容的考查情況,見下表:

2013-2017年文科數(shù)學(xué)(新課標(biāo)卷)立體幾何知識點分布表

根據(jù)上表可以知道,三視圖內(nèi)容在高考中的考查方式一般為給出幾何體的三視圖,要求考生能想象直觀圖,并求出幾何體的表面積、體積.或研究線、面的位置關(guān)系.其難度有逐漸增大的趨勢.重點考查空間想象能力,邏輯推理能力和運算能力.

能否正確地將在視圖還原成直觀圖是解決這類問題的關(guān)鍵,學(xué)生錯誤的根源就是直觀想象直力不夠.下面筆者結(jié)合自己的教學(xué)實踐談?wù)勅绾卧谌晥D教學(xué)與備考中培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力.

一、立足基本模型,突出模型思想

立體幾何模型是對空間圖形的抽象概括,是凝結(jié)在學(xué)生頭腦中的一系列的加工和認(rèn)識對象.高中立體幾何就是研究各種幾何模型的學(xué)科.為此,我們首先要求學(xué)生掌握各種基本幾何模型的三視圖與直觀圖,如長方體,正方體,球等.這不僅有利于培養(yǎng)學(xué)生的辯圖、識圖和畫圖能力,提升復(fù)習(xí)效率,而且有助于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng).

必修二的課本中,對于三視圖引入,提出了長方體模型.在復(fù)習(xí)時可引導(dǎo)學(xué)生回歸課本,借助長方體模型減輕還原直觀圖想象的困難.幫助學(xué)生經(jīng)歷從識“圖”、想“圖”到構(gòu)“圖”的過程.

二.化繁為簡,滲透化歸思想

作為立體幾何模型的“母體”之一的長方體,由于其構(gòu)造簡單,能夠為學(xué)生提供更加直觀、完整的信息,甚至無需語言文字描述,就能讓學(xué)生理解問題的實質(zhì).但是學(xué)生對于長方體模型功能認(rèn)識不足,大部分解題仍靠感覺.所以在選擇例題時要突出長方體模型功能,兼顧常見空間幾何體、組合體,以及不同的擺放角度.筆者從柱體、錐體、組合體、旋轉(zhuǎn)體的各個方面自編了五組例題,利用長方體模型還原成對應(yīng)直觀圖.

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例1請根據(jù)圖1,圖2的三視圖畫出直觀圖.

圖1

圖2

旨在突出在三視圖中虛實線的處理.

例2請根據(jù)圖3,圖4的三視圖畫出直觀圖.

圖3

圖4

旨在呈現(xiàn),雖然三視圖中沒有長方形外框,但仍可以以長方體為模型,還原直觀圖.

例3請根據(jù)圖5,圖6的三視圖畫出直觀圖.

圖5

圖6

例3在例2的基礎(chǔ)上增加了虛實線變化.引導(dǎo)學(xué)生形成先以長方體為模型,根據(jù)三視圖去掉多余的長方體頂點,再分析虛實線的思考步驟.

例4請根據(jù)圖7,圖8,圖9的三視圖畫出直觀圖.

圖7

圖8

圖9

旨在突出,當(dāng)幾何體的頂點不全在長方體頂點時,亦可通過長方體模型先去掉不可能的頂點,再利用長方體的棱或面增加相應(yīng)頂點,最后根據(jù)虛實線,還原幾何體.

例5請根據(jù)圖10,圖11,圖12的三視圖畫出直觀圖.

圖10

圖11

圖12

引導(dǎo)學(xué)生思考與旋轉(zhuǎn)體有關(guān)的三視圖還原直觀圖.

在五組類型的探索中,使學(xué)生充分認(rèn)知長方體模型的作用,并對模型進(jìn)行變形,從而明確這些幾何模型與正方體之間的聯(lián)系,凸顯長方體的“母體”地位.

三.分而治之,體會分類討論思想

在三視圖還原直觀圖后,往往會進(jìn)一步考查學(xué)生在直觀圖對表面積、體積、棱長及最短距離等常見問題進(jìn)行求解的運算能力.其中空間幾何體的外接球問題是難點.筆者通過引導(dǎo)學(xué)生先在長方體模型中研究幾何體的線面關(guān)系,再根據(jù)線面關(guān)系對外接球問題進(jìn)行分類求解.

類型1由圖3、圖4、圖5、圖6的三視圖還原的空間幾何體的所有頂點都在長方體頂點上,則外接球直徑即為長方體體對角線.

類型2由圖8的三視圖還原的空間幾何體的頂點不全在長方體上,但是有一條棱垂直于某個平面這個特征.(AA1⊥平面A1B1C1,O為球心,O1為△A1B1C1外接圓圓心).

因為AA1⊥平面A1B1C1,而且OO1⊥平面A1B1C1,所以AA1//OO1,所以AA1與OO1確定一個平面,產(chǎn)生Rt△AA1D1.AA1長度已知,AD1為球的直徑.所以只需求出A1D1即可.A1D1為△A1B1C1的外接圓直徑,所以可以根據(jù)正弦定理求解三角形外接圓直徑.

類型3正棱錐的外接球問題.以正三棱錐P-ABC為例.O1為△ABC的外接圓圓心.PO1⊥平面ABC.球心O在PO1上.Rt△OO1B中,含有外接球半徑OB,△ABC的外接圓半徑O1B,及三棱錐的高與外接球半徑的差OO1.

圖13

類型4從正四面體推廣到對棱相等的三棱錐.如已知三棱錐A-BCD中,AB=CD=6,AC=AD=BC=BD=5.求三棱錐A-BCD的外接球的半徑.對棱長度相等的三棱錐可恢復(fù)成長方體模型,棱長即為長方體三條面對角線的長度.

通過這三部分教學(xué)內(nèi)容的前后呼應(yīng),展示出題目變化的過程,幫助學(xué)生形成探索方向,構(gòu)建起知識結(jié)構(gòu)框圖,突出長方體的模型作用.

四.拾級而上,培養(yǎng)自信文科生

在2018高考文理科數(shù)學(xué)考試大綱中,對文理科考生的空間能力要求描述一致.立體幾何初步的考試內(nèi)容與要求也一致.理科生比文科生還多了空間向量作為求解立體幾何的工具.筆者認(rèn)為與其增加文科生的學(xué)習(xí)內(nèi)容,不如立足于扎實培養(yǎng)文科生的直觀想象能力.

在組織課堂教學(xué)時,不妨將立體幾何考查的能力和知識點分散成不同課時的內(nèi)容,突出每節(jié)復(fù)習(xí)課的重難點.在課堂上,充分發(fā)揮長方體等模型的直觀性作用,通過例題,設(shè)置好“臺階”,讓學(xué)生拾級而上,增強文科生自信心.