基于Gibbs抽樣方法的空間滯后隨機(jī)前沿模型Bayesian估計(jì)

竇劍軍，王 媛，張輝國(guó)，胡錫健

（1.蘭州財(cái)經(jīng)大學(xué)隴橋?qū)W院，蘭州 730101；2.新疆大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，烏魯木齊 830046）

0 引言

每個(gè)生產(chǎn)單元追求的是低投入高產(chǎn)出的利潤(rùn)最大化，這就要求生產(chǎn)單元將技術(shù)效率發(fā)揮到最大化，對(duì)于每個(gè)生產(chǎn)單元面臨的問題是如何測(cè)算它們的技術(shù)效率。作為技術(shù)效率測(cè)算的參數(shù)方法的隨機(jī)前沿模型應(yīng)運(yùn)而生，該模型于 1977 年被 Meeusen[1]，Aigner[2]與 Battese[3]提出后被廣泛地應(yīng)用于諸多行業(yè)技術(shù)效率的測(cè)算中。經(jīng)過四十多年的發(fā)展，一系列關(guān)于隨機(jī)前沿模型的設(shè)定和模型的參數(shù)估計(jì)方法、技術(shù)效率估計(jì)推斷以及將隨機(jī)前沿模型應(yīng)用到具體行業(yè)測(cè)算技術(shù)效率的成果不斷出現(xiàn)，為每個(gè)行業(yè)技術(shù)效率的測(cè)算提供的一種全新的技術(shù)方法。

在隨機(jī)前沿模型發(fā)展的初期主要研究經(jīng)典的隨機(jī)前沿模型，其假定不同的生產(chǎn)單元相互獨(dú)立。但是經(jīng)濟(jì)、知識(shí)、技術(shù)效率往往具有空間上的溢出效應(yīng)，技術(shù)效率高的生產(chǎn)單元將會(huì)集聚到一起，技術(shù)效率低的生產(chǎn)單元將會(huì)集聚到一起，形成“馬太效應(yīng)”。所以，地理位置上的鄰接和經(jīng)濟(jì)上的關(guān)聯(lián)是產(chǎn)生空間效應(yīng)的重要因素。所以經(jīng)典的隨機(jī)前沿模型在技術(shù)效率的測(cè)算過程中存在很大的缺陷。

近年來，隨著產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)的調(diào)整，產(chǎn)業(yè)出現(xiàn)了集聚化的發(fā)展，生產(chǎn)單元與生產(chǎn)單元之間的聯(lián)系越來越緊密，空間交互效應(yīng)發(fā)揮著重要的作用。將空間交互效應(yīng)引入到經(jīng)典隨機(jī)前沿模型中形成空間隨機(jī)前沿模型，其理論研究層出不窮并且將該方法應(yīng)用具體行業(yè)的技術(shù)效率測(cè)算中。在模型參數(shù)估計(jì)方面，張進(jìn)峰（2014）[4]應(yīng)用二階段最小二乘法和矩估計(jì)方法對(duì)空間滯后隨機(jī)前沿模型作了估計(jì)。在應(yīng)用方面，陳關(guān)聚（2014）[5]應(yīng)用隨機(jī)前沿技術(shù)測(cè)算了中國(guó)制造業(yè)30個(gè)行業(yè)的全要素能源效率，張?jiān)铝岬龋?015）[6]應(yīng)用隨機(jī)前沿模型研究了人力資本結(jié)構(gòu)、適宜技術(shù)選擇與全要素生產(chǎn)率變動(dòng)的分解，陳潔（2016）[7]應(yīng)用隨機(jī)前沿模型測(cè)算了我國(guó)各省份用電技術(shù)效率。

上述估計(jì)方法可以得到模型參數(shù)的一致估計(jì)，但對(duì)參數(shù)的顯著性進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的構(gòu)造比較困難。鑒于此，目前應(yīng)用貝葉斯方法對(duì)空間滯后隨機(jī)前沿模型的參數(shù)做估計(jì)還沒有出現(xiàn)，本文用貝葉斯方法對(duì)模型參數(shù)的估計(jì)進(jìn)行了研究。貝葉斯方法的最大優(yōu)點(diǎn)在于得到了模型參數(shù)的后驗(yàn)分布，在進(jìn)行參數(shù)的顯著性假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量比較容易得到。

1 模型介紹

考慮如下隨機(jī)前沿模型：

其中y是n個(gè)生產(chǎn)單元的產(chǎn)出構(gòu)成的一個(gè)n×1維的向量，X是一個(gè)n×(m+1)的設(shè)計(jì)矩陣，由每個(gè)生產(chǎn)單元的m個(gè)投入構(gòu)成的矩陣，W是n個(gè)單元的空間權(quán)重矩陣。v是不可控的隨機(jī)因素，設(shè)v～N(0，)，u是技術(shù)無(wú)效率項(xiàng)，設(shè)u～N+(0，)，v與u相互獨(dú)立，在u已知的條件下，y服從正態(tài)分布。

在模型(1)中待估計(jì)的參數(shù)為ρ，β，，和技術(shù)無(wú)效率項(xiàng)u,為了對(duì)參數(shù)進(jìn)行貝葉斯估計(jì)，需要選擇參數(shù)的先驗(yàn)分布。與的先驗(yàn)分布選擇為倒Gamma分布，即取：

取ρ和β的先驗(yàn)分布為：

π(β)∝const

其中λmin，λmax為空間鄰接矩陣的最小特征值和最大特征值。

由y=ρWy+Xβ+v-u和u已知的條件下得v=(I-ρW)y+u-Xβ，根 據(jù)v～N(0，) 有所以

由貝葉斯公式，經(jīng)計(jì)算得參數(shù)聯(lián)合后驗(yàn)分布：

其中R+表示正實(shí)數(shù)。

從上可以得到，模型參數(shù)的聯(lián)合后驗(yàn)分布是一個(gè)高維分布，得到每個(gè)參數(shù)的后驗(yàn)分布需要對(duì)聯(lián)合后驗(yàn)作積分，該積分有可能不存在或沒有辦法得到?；诖?，將采用馬爾科夫鏈蒙特卡羅(MCMC)方法中的Gibbs抽樣方法對(duì)模型參數(shù)的后驗(yàn)均值進(jìn)行推斷。Gibbs抽樣是一種解決高維Bayesian模型的后驗(yàn)積分困難問題的迭代Monte Carlo方法，它避免了對(duì)復(fù)雜表達(dá)式進(jìn)行積分的問題。Gibbs抽樣得到的樣本{ρ(i)，β(i)，，，u(i);i=1，2，…n}隨著i的增大將會(huì)收斂到已知核的參數(shù)后驗(yàn)分布。因此所有關(guān)于參數(shù)的向量函數(shù)的后驗(yàn)期望可以通過Gibbs抽樣得到的樣本平均值來近似。即：

2 參數(shù)的條件分布及其抽樣方法

為了進(jìn)行抽樣，首先需要推導(dǎo)出每個(gè)參數(shù)的后驗(yàn)條件分布，在給定u的條件下，由公式(2)可以得到每個(gè)參數(shù)后驗(yàn)條件分布的核。這里記D={y，W，X}。β的后驗(yàn)條件分布為：

由上式可以看出β后驗(yàn)條件分布為多元正態(tài)分布。

的后驗(yàn)條件分布為：

恰好為倒Gamma分布密度函數(shù)的核，即：

的后驗(yàn)條件分布為：

這恰好也為倒Gamma分布密度函數(shù)的核，即：

參數(shù)ρ的條件后驗(yàn)分布為：

這個(gè)后驗(yàn)條件分布不再是一個(gè)常見的分布形式，對(duì)參數(shù)ρ的抽樣需要采用Metropolis-Hastings方法(M-H)。對(duì)于M-H抽樣，需要一個(gè)建議分布，從中產(chǎn)生參數(shù)ρ的一個(gè)候選點(diǎn)，記為ρ*，將這個(gè)候選值與當(dāng)前值ρc代入上式中去計(jì)算馬爾科夫鏈轉(zhuǎn)移概率：

假設(shè)ρ*從一個(gè)對(duì)稱的提議分布g(ρ*|ρc)=g(ρc|ρ*)中產(chǎn)生，則在每一次迭代中，從g(·)中產(chǎn)生一個(gè)增量Z，然后ρ*=ρc+Z,比如增量Z可以從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布中產(chǎn)生，此時(shí)候選點(diǎn)ρ*|ρc～N(ρc，σ2)，σ2＞ 0

產(chǎn)生ρ的算法如下：

（1）構(gòu)造合適的建議分布g(·|ρc)；

（2）從 建 議 分 布g(·) 中 產(chǎn) 生 一 個(gè) 增 量 Z，令ρ*=ρc+Z；

（3）重復(fù)上述步驟(直到馬氏鏈達(dá)到平穩(wěn)狀態(tài)）

(a)從 U(0,1)中產(chǎn)生 u;

(c)增加t，返回到(a)。

參數(shù)u的條件分布為：

可見u的后驗(yàn)條件分布服是n元截尾正態(tài)分布N+(μ，Ω)，可直接對(duì)其進(jìn)行抽樣。

3 技術(shù)效率的估計(jì)

Jondrow等(1982)[8]研究得到各個(gè)生產(chǎn)單元的技術(shù)無(wú)效率項(xiàng)ui可以通過E(ui|εi)或Mode(ui|εi)來測(cè)算，第i個(gè)生產(chǎn)單 元 的 技 術(shù) 效 率TEi=exp{-u?i} ，其 中=E(ui|εi) 或Mode(ui|εi)。因此，只要求得u的后驗(yàn)條件分布的均值或眾數(shù)即可。因?yàn)閡的后驗(yàn)條件分布為截尾正態(tài)分布，所以

每個(gè)生產(chǎn)單元的技術(shù)效率為：

4 模特卡羅模擬

為了驗(yàn)證解決Bayesian估計(jì)中高維積分問題的Gibbs抽樣方法的效果，本文進(jìn)行了數(shù)值模擬，考慮如下數(shù)據(jù)生成過程：

表1 參數(shù)后驗(yàn)均值模擬結(jié)果

從表1可以看出，參數(shù)的模擬值非常接近真實(shí)值（其中第一列中括號(hào)里的為真實(shí)值），該方法在模擬過程中取得了比較好的效果，因此Bayesian方法能夠很好地對(duì)空間滯后隨機(jī)前沿模型作出估計(jì)。

5 結(jié)論與展望

本文基于Gibbs抽樣方法對(duì)空間滯后隨機(jī)前沿模型進(jìn)行了Bayesian推斷，得到了模型參數(shù)的后驗(yàn)條件分布和技術(shù)效率的估計(jì)。Gibbs抽樣方法是一種解決高維Bayesian模型積分問題的后驗(yàn)迭代Monte Carlo方法，它避免了對(duì)聯(lián)合后驗(yàn)分布進(jìn)行數(shù)值積分計(jì)算的問題。模擬結(jié)果表明，參數(shù)的估計(jì)值不受空間權(quán)重矩陣的影響，并且估計(jì)值十分接近真實(shí)值。

本文僅考慮因變量的空間滯后，沒有考慮誤差的空間自相關(guān)。沿用本文的方法和思想，可以把該方法應(yīng)用到到空間滯后誤差自相關(guān)隨機(jī)前沿模型的參數(shù)估計(jì)中。同時(shí)可以把技術(shù)無(wú)效率的分布擴(kuò)展到指數(shù)分布、截尾正態(tài)分布等其他形式的分布。

參考文獻(xiàn)：

[1]Meeusen W,Broeck J V D.Effciency Estimation from Cobb-Douglas Production Functions With Composed Error[J].International Econom?ic Review,1977,（18）.

[2]Aigner D,Lovell K，Schmidt P.Formulation and Estimation of Stochas?tic Frontier Production Function Models[J].Journal of Economet?rics,1977,（6）.

[3]Battese G，Corra G.Estimation of a Production Frontier Model:With Application to the Pastoral Zone of Eastern Australia[J].Australian Journal of Agricultural Economics,1977,（21）.

[4]張進(jìn)峰.空間滯后隨機(jī)前沿模型的估計(jì)研究[J].商業(yè)經(jīng)濟(jì)與管理，2014,（8）.

[5]陳關(guān)聚.中國(guó)制造業(yè)全要素能源效率及影響因素研究——基于面板數(shù)據(jù)的隨機(jī)前沿分析[J].中國(guó)軟科學(xué)，2014，(1).

[6]張?jiān)铝?，葉阿忠，陳泓.人力資本結(jié)構(gòu)、適宜技術(shù)選擇與全要素變動(dòng)分解——基于區(qū)域異質(zhì)性隨機(jī)前沿生產(chǎn)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)分析[J].財(cái)經(jīng)研究，2015,41(6).

[7]陳潔.我國(guó)用電技術(shù)的隨機(jī)前沿分析[J].生態(tài)經(jīng)濟(jì)，2016,32(8).

[8]Jondrow J,Lovell K,Materov I，et al.On the Estimation of Technical Ineffciency in the Stochastic Frontier Production Function Model[J].Journal of Econometrics,1982,（19）.