高頻數(shù)據(jù)波動率小波估計方法的比較

盧小華，張艷慧，鄭宇軒

（北京工商大學(xué) 數(shù)學(xué)系，北京 100048）

0 引言

隨著金融高頻數(shù)據(jù)的普及，用小波分析方法對“原始信號”——金融高頻數(shù)據(jù)進(jìn)行多分辨率分析，達(dá)到高頻處時間細(xì)分，低頻處頻率細(xì)分，進(jìn)而估計其波動率的目的，具有很好的應(yīng)用前景。此外，小波分析在計算機(jī)應(yīng)用、信號處理、圖像分析等領(lǐng)域也有著廣泛應(yīng)用。

目前已有許多學(xué)者對金融高頻數(shù)據(jù)的波動率進(jìn)行研究，如Andersen等[1]提出的實(shí)際波動率及其改進(jìn)[2]和Lunde等[3]提出的積分波動率的小波估計。實(shí)際波動率作為積分波動率的估計，開啟了對金融高頻數(shù)據(jù)波動率研究的熱潮；而由于金融高頻數(shù)據(jù)和小波分析中的信號具有相同的特性，因此可將收益率序列看成一輸入信號，從小波的角度來描述信號的波動問題。

秦喜文等[4]在小波估計基礎(chǔ)上利用5分鐘高頻交易數(shù)據(jù)，通過極大重疊離散小波變換方法對資產(chǎn)收益的積分波動率進(jìn)行估計，克服了普通離散小波變換對樣本容量的限制問題。受此啟發(fā)，本文采用上證綜指1分鐘高頻交易數(shù)據(jù)，利用極大重疊離散小波變換方法對波動率進(jìn)行估計，并與實(shí)際波動率估計方法進(jìn)行比較，同時考察了不同采樣頻率下兩種估計方法的差異程度。

1 積分波動率的估計方法

1.1 小波分析方法

小波變換是空間和頻率的局部變換，可對函數(shù)或信號進(jìn)行多尺度的細(xì)化分析，因而能有效地從信號中提取信息。極大重疊離散小波變換(MODWT)克服了離散小波變換(DWT)對樣本容量的限制問題，且由于沒有下采樣過程，在對非平穩(wěn)時間序列分解時，能最大限度減少數(shù)據(jù)信息的遺失[4,5]。因此，本文采用極大重疊離散小波變換方法估計積分波動率。

設(shè)Pt是資產(chǎn)的對數(shù)價格過程，定義式（1）為[ ]t，t+1時間段的連續(xù)復(fù)合收益率。

假定資產(chǎn)對數(shù)價格Pt服從伊藤過程，即滿足：

這里μt和σt分別表示漂移項(xiàng)和擴(kuò)散項(xiàng)，且均為隨機(jī)過程；ωt服從標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動。對式（2）兩側(cè)積分有：

其中等號右邊第一項(xiàng)來源于有限變差過程，第二項(xiàng)為伊藤積分，來源于局部鞅[6]。用表示由生成的σ-域，則有：

稱對數(shù)收益率rt的方差為[t，t+1] 時間段的積分波動率。它表明了在連續(xù)時間下價格波動的定義，故波動率在金融市場中具有重要的參考價值，因而對波動率進(jìn)行準(zhǔn)確估計是十分必要的。下面先簡單介紹一下積分波動率的小波估計方法。

令分別是極大重疊離散小波變換的第j層小波濾波器和尺度濾波器，長度為Lj=(2j-1)(L-1)+1。當(dāng)j=1時，L1=L是單位尺度濾波器的長度，其中:

且{hj，l} ，{gj，l}是j級DWT小波濾波器和尺度濾波器。設(shè)X是一個N維向量，其元素為實(shí)值的時間序列{Xt，t=0，1，…，N-1}，其中N為任意整數(shù)，則X經(jīng)過第j層極大重疊離散小波變換的小波系數(shù)向量和尺度系數(shù)向量分別為:

其元素分別為：

假設(shè){Xt，t=…，-1，0，1，…} 是一個離散參數(shù)的實(shí)值隨機(jī)過程，則經(jīng)過MODWT小波濾波器濾波后的隨機(jī)過程記為

j波方差為：

因而可以將過程{Xt}的方差依尺度τj分解，得到：

可知在尺度τj下小波方差越大，則對{Xt}總體方差的貢獻(xiàn)度越大，從而小波方差有助于在不同尺度下清晰地研究過程的波動持續(xù)性特征[8]，且當(dāng){Xt}非平穩(wěn)，var(Xt)無窮大。

假設(shè){Xt}是一個具有平穩(wěn)d階后向差分的非平穩(wěn)過程，{Xt，t=0，1，…，N-1} 是過程{Xt}的一個實(shí)現(xiàn)，在對小波方差進(jìn)行估計時，本文選取長度為L(L≥2d)的小波濾波器，且當(dāng)L足夠大時，滿足從而有：

對于一組給定的含有dPt的n個觀測值的樣本，定義jn=[lo g2(n)-1]，則：

1.2 實(shí)際波動率

實(shí)際波動率也稱已實(shí)現(xiàn)波動率，定義式（16）為日對數(shù)收益率的實(shí)際波動率[10]。

其中rt，i表示第t天的第i個對數(shù)收益率，n為第t天的對數(shù)收益率的個數(shù)。

為了考慮[t，t+1]時間段內(nèi)的收益波動，對[t，t+1] 進(jìn)行離散劃分：

由于伊藤過程二次變差完全由伊藤積分貢獻(xiàn)，則利用伊藤積分二次變差有：

由式(19)可知，在時間間隔合理的條件下，實(shí)際波動率可用來估計積分波動率。

2 實(shí)證分析

本文選取上證綜指2016年4月18日至2016年10月21日正常交易時間的1分鐘高頻交易數(shù)據(jù)作為樣本，在計算對數(shù)收益率時，采用區(qū)間的最后一個交易價格作為該區(qū)間的股票價格，并選用Daubechies、Least Asymmetric、Coiflets、Haar這4種小波函數(shù)對對數(shù)收益率序列進(jìn)行極大重疊離散小波變換，估計積分波動率。同時為了對比，本文也利用實(shí)際波動率來估計積分波動率。

圖1 實(shí)際波動率與不同小波函數(shù)對積分波動率估計的時序圖

從積分波動率不同估計方法比較可知（見圖1），4種小波函數(shù)估計的積分波動率時序圖與實(shí)際波動率時序圖差別均很小，變化趨勢一致，圖形基本吻合，其中IVd、IVl、IVc、IVh分別表示用Daubechies、Least Asymmetric、Coiflets、Haar小波函數(shù)對積分波動率的小波估計，RV為實(shí)際波動率。

以1分鐘交易數(shù)據(jù)為樣本，分別抽取5分鐘和10分鐘間隔數(shù)據(jù)作為新樣本L1和新樣本L2，其中5分鐘間隔抽樣規(guī)則為：從原始樣本第一個數(shù)據(jù)開始數(shù)，數(shù)到第5個作為L1的第一個數(shù)據(jù)，再往后數(shù)5個，即第10個數(shù)作為新樣本的第2個數(shù)據(jù)，并以此類推，得到新樣本L1。10分鐘間隔數(shù)據(jù)也采用同樣抽樣規(guī)則，得到新樣本L2。利用新樣本L1和L2計算實(shí)際波動率與積分波動率的小波估計，并以實(shí)際波動率與小波估計的相對誤差ξ=(IV-RV)/RV為研究指標(biāo)，其中IV表示積分波動率的小波估計，則得到不同采樣頻率下的4種相對誤差。結(jié)果如表1所示。

表1 不同小波函數(shù)下的相對誤差統(tǒng)計結(jié)果

由表1可知在相同抽樣頻率下，利用不同小波函數(shù)估計得到的相對誤差的各均值、標(biāo)準(zhǔn)差、偏度和峰度均比較接近，且都是左偏的，說明利用極大重疊離散小波變換估計積分波動率對所選用的小波函數(shù)不敏感，無論采用哪種小波函數(shù)，采樣間隔是1分鐘和5分鐘的相對誤差的標(biāo)準(zhǔn)差均明顯小于10分鐘采用間隔。特別地，對于5分鐘采樣間隔，相對誤差的均值絕對值最小。

從不同抽樣頻率各小波函數(shù)估計的相對誤差的直方圖可知，無論選取哪種小波函數(shù)及采樣頻率，實(shí)際波動率與積分波動率的小波估計的相對誤差均小于零，說明利用極大重疊離散小波變換方法估計積分波動率時比實(shí)際波動率要小，且從圖中可以看出5分鐘采樣頻率下相對誤差趨于零的天數(shù)明顯比1分鐘和10分鐘的多，即5分鐘采樣間隔下積分波動率小波估計與實(shí)際波動率最接近。從10分鐘相對誤差直方圖可以看出，相較于1分鐘和5分鐘，不同小波函數(shù)得到的估計值與實(shí)際波動率的誤差均變大，從尾部可以看出，極端值越來越多，說明有更大的誤差出現(xiàn)。

3 結(jié)論

高頻數(shù)據(jù)由于包含了更多的有效信息，能更加細(xì)膩地刻畫金融市場的細(xì)節(jié)，因而在對金融資產(chǎn)收益率的波動性進(jìn)行研究時，金融高頻波動率有著低頻數(shù)據(jù)無法比擬的信息優(yōu)勢。實(shí)際波動率作為金融高頻數(shù)據(jù)波動率的度量，無模型，計算相對簡便，而受到熱烈追捧。小波變換方法由于具有多分辨率特性，可以對信息成分采取逐漸精細(xì)的時域與頻域處理，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)顯微鏡”，因而得到廣泛應(yīng)用。本文首先用1分鐘高頻數(shù)據(jù)對波動率研究，得到實(shí)際波動率與基于極大重疊離散小波變換的積分波動率的小波估計時序圖基本吻合，然后對不同采樣間隔下的實(shí)際波動率與積分波動率小波估計進(jìn)行比較分析，無論選取何種小波函數(shù)及抽樣頻率，小波估計均低于實(shí)際波動率。在頻率較高時，小波估計與實(shí)際波動率比較接近。特別在5分鐘采樣間隔下，小波估計與實(shí)際波動率最接近，說明5分鐘采樣頻率對波動率具有良好估計效果，且大部分學(xué)者均是基于5分鐘采樣間隔進(jìn)行研究的[4,9,11]。同時在所選樣本中，也可以得到小波函數(shù)的選取對小波估計無明顯差異。

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