“數(shù)學(xué)思考”教學(xué)如何引向深入
———“數(shù)學(xué)思考”教學(xué)片斷與評析

執(zhí)教/ 陳光明 評析/ 陳華忠(特級教師)

片斷一：創(chuàng)設(shè)情境，提出問題

教師與兩位同學(xué)兩兩握手。

師：剛才我們?nèi)齻€人一共握了幾次手？

生：3次。

師：如果相互握手的人一共有4個，將一共要握幾次手呢？

生 1：4次。

生2：不對，應(yīng)該是6次。

師：怎么會是6次呢？你能用什么方法使我們相信你的結(jié)論。

（生2在黑板上畫圖說明）

師：剛才這位同學(xué)用4個點代表4個人，用4個點之間的連線表示他們之間相互握手。這是一種很了不起的方法。我們通常稱之為“數(shù)形結(jié)合”。

師：猜一猜，紙上的任意8個點，一共可以連成多少條線段？

生1：8條。

生2：24條。

生3：16條。

生4：28條。

師：大家來驗證一下，你們猜得對嗎？請大家拿出紙和筆在紙上任意點上8個點，并將它們每兩點連成一條線，再數(shù)一數(shù)，看看連成了多少條線段？

師：有結(jié)果了嗎？

生：太亂了，都數(shù)昏了。

師：別急，今天我們就一起來用數(shù)學(xué)的思考方法去解決這個難題。（板書課題:數(shù)學(xué)思考—化難為易）

【評析：先讓學(xué)生猜一猜任意8個點，一共可以連成多少條線段？然后讓學(xué)生進(jìn)行驗證，看似簡單，連線時感覺很亂也很容易出錯。這樣在課前制造一個懸念，不僅激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的欲望，同時又為探究“化難為易”的數(shù)學(xué)方法埋下伏筆?！?/p>

片斷二：自主探究，尋找規(guī)律

1.從簡到繁，動態(tài)演示，經(jīng)歷連線過程。

師：用8個點進(jìn)行連線，大家覺得有些麻煩也很亂，應(yīng)該怎么辦呢？

師：有什么好辦法嗎？

生1：如果把點減少一些，就會容易一些。

生2：先從2個點開始，逐步增加點數(shù)，尋找其中的規(guī)律。

師：好的，我們就從簡單的2個點入手，逐步增加點數(shù)，找一找有什么規(guī)律？

1.學(xué)生獨立研究點數(shù)是2～6的情況。并發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律。

?

師：大家認(rèn)真觀察、對比分析，思考增加線段與點數(shù)的關(guān)系。

師：仔細(xì)觀察這張表格，在這張表格里有哪些信息呢？看著這些信息你有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

生：每次增加的線段數(shù)和點數(shù)相差1。

師：當(dāng)3個點時，增加條數(shù)是幾？

生：2條。

師：那點數(shù)是4時，增加條數(shù)是多少？

生：增加3條。

師：點數(shù)是5時呢？

生：增加4條。

師：點數(shù)是6時呢？

生：增加5條。

教師小結(jié)：我們可以發(fā)現(xiàn)，每次增加的線段數(shù)就是（點數(shù)－1）。

師：數(shù)學(xué)的探究可不是得出結(jié)論就結(jié)束了。我們更應(yīng)該探究結(jié)論背后的原因。為什么“每次增加的線段數(shù)就是（點數(shù)－1）”呢？

（學(xué)生同桌討論，再讓學(xué)生在班上交流，并結(jié)合課件，使學(xué)生明白：“因為每增加一個點都要和原先的所有點連一條線。”）

【評析：在經(jīng)歷了豐富的連線過程之后，引導(dǎo)學(xué)生從整體上進(jìn)行觀察、分析與比較表格中的線段與點數(shù)，逐漸增加點，從中發(fā)現(xiàn)每次增加條數(shù)就是點數(shù)－1，為后面推導(dǎo)總線段數(shù)的算法做好鋪墊?！?/p>

2.進(jìn)一步探究，推導(dǎo)總線段數(shù)的算法。

（1）分步指導(dǎo)，逐個列出求總線段數(shù)的算式。

師：大家知道了5個點可以連10條線段，現(xiàn)在你們有什么辦法知道6個點、8個點可以連多少條線段嗎？

生：連一連，算一算。

師：（追問）如果當(dāng)點數(shù)再多一些時，我們這樣去計算是不是很麻煩呢？看看它們有沒有什么規(guī)律，行嗎？

師：我們先來看，2個點連1條線段，那么3個點時，可以連多少條線段？你是怎么知道的？

生：2個點連1條線段，增加一個點，就增加了2條線段，1＋2＝3（條），所以3個點就連了3條線段。

師：4個點共連了6條線段，這又可以怎么計算呢？

生：計算3個點連出的線段數(shù)時，我們用了1＋2，再增加1個點，就增加了3條線段，我們就再加3，所以列式為 1＋2＋3＝6（條）。

師：那么按著這個方法，你能列出5個點共連線段的算式嗎？

生：1＋2＋3+4＝10（條）。

（2）觀察算式，探究規(guī)律。

師：大家仔細(xì)觀察這些算式，有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

生1：計算3個點的總線段數(shù)是1＋2，計算4個點的總線段數(shù)是1＋2＋3，計算5個點的總線段數(shù)是1＋2＋3＋4，它們都是從 1 開始依次加的。

生2：我覺得計算總線段數(shù)其實就是從1開始加2，加3，加4，一直加到比點數(shù)少1的數(shù)。

師：那么你說的點數(shù)少1的那個數(shù)其實是什么數(shù)？

生：就是每次增加一個點時，增加的線段數(shù)。

（3）引導(dǎo)小結(jié)，歸納規(guī)律。

師：現(xiàn)在我們只要知道點數(shù)是幾，就從1開始，依次加到幾減1，所得的和就是總線段數(shù)。同學(xué)們，明白了嗎？

師：下面我們運用這條規(guī)律去計算一下6個點和8個點時共連的線段數(shù)，請同學(xué)們把算式寫在作業(yè)紙上。

（學(xué)生獨立完成，教師巡視，之后學(xué)生板演算式集體評議）

師：如果是n個點，該如何列式？

生：1+2+3+…+（n-1）=n（n-1）÷2。

【評析：在探討總線段數(shù)的算法時，同樣延用從簡到繁的思考方法，讓學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)這些算式的共有特征：都是從1依次加到點數(shù)減1的那個數(shù)，從而讓學(xué)生明白總線段數(shù)其實就是從1依次連加到點數(shù)減1的那個數(shù)的自然數(shù)數(shù)列之和。接著讓學(xué)生用已建立的數(shù)學(xué)模型去推算6個點、8個點時一共可以連成多少條線段。若有n個點，讓學(xué)生進(jìn)行拓展引伸，歸納出可連接n(n-1)÷2條線段，這是數(shù)學(xué)思考在這節(jié)課中的一個升華。也是從特殊到一般的規(guī)律的探究。】

片斷三：變換問題，建立對應(yīng)

師：將6個點移到同一條直線上，這6個點能決定多少條線段？

生：6×5÷2=15。

師：與例題中的問題有什么聯(lián)系？

（建立“一一對應(yīng)”）

師：將同一直線上的六個點與直線外一點依次連接，圖上有幾個三角形？

師：你是如何思考的？

師：還能像這樣繼續(xù)改變題目，通過“一一對應(yīng)”尋找答案嗎？

【評析：經(jīng)歷豐富的連線過程，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、分析與比較，從而進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)規(guī)律，再通過變式訓(xùn)練與例題中的問題建立了“一一對應(yīng)”的聯(lián)系，使學(xué)生懂得運用一定的規(guī)律去解決較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，提高學(xué)生解決問題的能力。也滲透轉(zhuǎn)化與化難為易的數(shù)學(xué)思想與方法，】

片斷四：運用規(guī)律，解決問題

師：在上課開始，大家就發(fā)現(xiàn)連線問題和握手問題直接的聯(lián)系。如果我們班的全體同學(xué)每個人之間都握一次手，總共要握多少次手呢？該如何列式？

師：生活中還有哪些問題和今天的“連線問題”相類似？你能提出這樣的問題嗎？

生1：單循環(huán)賽問題。

生2：從我們小組中推選兩位組長，一共有多少種方法？

生3：在幾個城市之間開辟航線，一共需要開辟多少條航線？

【評析：運用所學(xué)知識，解決日常生活中的實際問題，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)源于生活，又服務(wù)于生活，產(chǎn)生要學(xué)好數(shù)學(xué)的情感體驗?！?/p>

【總評：《數(shù)學(xué)思考》是總復(fù)習(xí)的例題。實質(zhì)上就是通過尋找規(guī)律來解決實際問題。這里的規(guī)律的一般化表述是：以平面上幾個點為端點，可以連多少條線段。即例1：“6個點可以連成多少條線段？8個點呢？”這種以幾何形態(tài)顯現(xiàn)的問題，便于學(xué)生動手操作，通過一邊畫圖一邊探究，有利于學(xué)生對化歸、數(shù)形結(jié)合和化繁為簡等數(shù)學(xué)思想方法形成系統(tǒng)的認(rèn)識。

1.由淺入深，深化學(xué)生的數(shù)學(xué)思考。

柏拉圖說：“我們應(yīng)該區(qū)分兩種不同的存在——經(jīng)驗的存在和理性的存在。經(jīng)驗的存在是有缺陷的，理性的存在才是完美的?！苯虒W(xué)中，遇到復(fù)雜的問題，我們往往采取化難為易的方法，先從簡單問題去思考，逐步找到其中的規(guī)律，再用規(guī)律去解決復(fù)雜的問題。本節(jié)課教材中呈現(xiàn)的探究方法是：從簡單問題即兩個點開始，逐個增加點數(shù)進(jìn)行探討，去找尋其中的規(guī)律。這樣，還不能讓學(xué)生體驗到從無序到有序、從雜亂中找到規(guī)律的思維過程，從而引導(dǎo)學(xué)生用每一個點與其他點分別相連，并尋找其中的規(guī)律。即當(dāng)3個點時，增加條數(shù)是幾？（生：2條）點數(shù)是4時，增加條數(shù)是多少？（生：3條）點數(shù)是5時呢？（4條）6時呢？（5條）引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，每次增加的線段數(shù)就是（點數(shù)－1）,總線段數(shù)其實就是從1依次連加到點數(shù)減1的那個數(shù)的自然數(shù)數(shù)列之和。為此，只要知道點數(shù)是幾，我們就從1開始，依次加到幾減1，所得的和就是總線段數(shù)。這樣，有利于學(xué)生對數(shù)學(xué)思考中的條理性與有序性的認(rèn)識，更利于學(xué)生清晰感受化難為易等數(shù)學(xué)思想方法。這樣，不僅激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望，同時又為滲透“有序思考”和“化繁為簡”的數(shù)學(xué)思想方法埋下伏筆。

2.由點到面，促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考。

學(xué)生從一個個具體的點向知識的面匯聚的過程，也是學(xué)生思維從具體向抽象生長的過程。在這一過程中學(xué)生的數(shù)學(xué)思考由點到面不斷生長，思維能力不斷提高。本節(jié)課中教師采用從簡到繁的思考方法，依托課件先探究2個點時連成一條線段，之后列出3個點、4個點、5個點……讓學(xué)生通過一邊畫圖一邊探究，并引導(dǎo)學(xué)生觀察,當(dāng)3個點時，增加條數(shù)是幾？點數(shù)是4時，增加條數(shù)是多少？點數(shù)是5時呢？ 6時呢？這樣，學(xué)生就會有新的發(fā)現(xiàn)，再引導(dǎo)學(xué)生通過不完全歸納，讓學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)這些算式的共有特征：都是從1依次加到點數(shù)減1的那個數(shù)，線條數(shù)=1+2+3+……+（點數(shù)-1），并歸納出公式為：線條數(shù)=點數(shù)×（點數(shù)-1）÷2。這樣，學(xué)生在探究中發(fā)現(xiàn)、建立基本計算線條數(shù)的模型，體驗到探究的快樂與成功感，真正實現(xiàn)了在探究中學(xué)有所樂，在快樂中學(xué)有所獲，同時也促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思考。

3.由定到變，激活學(xué)生的數(shù)學(xué)思考。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們需要培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思考的有序性與條理性，也要培養(yǎng)學(xué)生解決問題的靈活性與多樣性，從有序的“規(guī)定”到看似無序的“變化”，往往能激發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突與解決問題的欲望。學(xué)生在這種心求通而不能，口欲言而弗達(dá)的“憤悱”之中，思維的火花被點燃，主動積極思考成為可能。本節(jié)課中教師先引導(dǎo)學(xué)生思考并探究“6個點可以連成多少條線段？8個點呢？”再到n個點可連成多少條線段？然后通過變式將6個點移到同一條直線上，這6個點能決定多少條線段？再變成將同一直線上的六個點與直線外一點依次連接，圖上有幾個三角形？并延伸出可以找出幾個扇形？幾個角？還可以從幾個長方形到用幾條小棒等。通過不斷地變式訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生積極思考，不斷探究，有利于激活學(xué)生的數(shù)學(xué)思考。】