在折紙中透徹理解數(shù)學(xué)概念

裘陸勤

數(shù)學(xué)教材中的每個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)概念都是由數(shù)學(xué)家們經(jīng)過長(zhǎng)期的發(fā)現(xiàn)、推理和證明而來(lái)的。隨著學(xué)生年齡的增長(zhǎng)和認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)的積累，他們學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)概念由易到難，由簡(jiǎn)到繁，整體水平成螺旋上升趨勢(shì)。

為了讓中低段學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂上像數(shù)學(xué)家那樣經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)概念的形成過程，我充分利用簡(jiǎn)單且有觸摸感的紙，帶領(lǐng)他們?cè)谒季S碰撞中動(dòng)手折出數(shù)學(xué)知識(shí)，透徹理解數(shù)學(xué)概念，感悟數(shù)學(xué)思想方法。

一、在折紙中觀察角的形成，理解角的數(shù)學(xué)本質(zhì)

在《數(shù)學(xué)辭海》中對(duì)角有兩種定義：角的靜態(tài)定義是指具有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角；角的動(dòng)態(tài)定義是指一條射線繞著它的端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的圖形叫做角。

為了讓學(xué)生更加全面地理解角的數(shù)學(xué)本質(zhì)，我在教學(xué)人教版二年級(jí)上冊(cè)《角的初步認(rèn)識(shí)》一課時(shí)，先借助漢聲繪本《折紙的幾何》，讓學(xué)生用一張紙折出直角、銳角和鈍角，直觀地理解角的靜態(tài)定義；再利用剪刀等“動(dòng)態(tài)角”生活素材幫助學(xué)生理解角的大小與兩條邊張開的大小有關(guān)，有助于學(xué)生比較角的大小。

師：同學(xué)們，這節(jié)課讓我們跟著數(shù)學(xué)繪本《折紙的幾何》一起來(lái)折一折。請(qǐng)你準(zhǔn)備好一張紙，把這張紙隨便折一次，你會(huì)折出一條直線。注意，不要把折好的紙打開。接著，把這條折線對(duì)折一次。（學(xué)生邊折紙邊觀察）看看你會(huì)折出什么？是不是折出一個(gè)角？

生：這個(gè)角是一個(gè)直角。

師：請(qǐng)你仔細(xì)觀察這個(gè)直角模型，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：這個(gè)直角最頂端的一點(diǎn)是“頂點(diǎn)”，還有直直的兩條邊。

師：用你折的直角模型，去跟我們身邊的東西比一比，看看哪些是直角？

生1：我發(fā)現(xiàn)時(shí)鐘上有直角，時(shí)針指著3，分針指著12，3時(shí)就是直角。

生2：我發(fā)現(xiàn)我們數(shù)學(xué)課本的這個(gè)角落、黑板的這個(gè)角落、門和窗的角落都有直角。

生3：我發(fā)現(xiàn)剪刀正好張開像這樣的時(shí)候就是直角了。（借助手勢(shì)比劃介紹）

師：鐘面上的3時(shí)、數(shù)學(xué)課本角落、黑板角落、門和窗的角落、剪刀張開的時(shí)候，它們的兩條邊有長(zhǎng)有短，為什么它們都是直角呢？

生：它們的兩條邊雖然不一樣長(zhǎng)，但是兩條邊張開的大小是一樣的，所以都是直角。

在這個(gè)教學(xué)片斷中，我借助折一張紙不僅讓學(xué)生更加直觀地看到了各種不同大小的角，還促使他們借助手中的實(shí)物角作為參照物去比對(duì)生活中的角。在學(xué)生尋找同類角的過程中，我又進(jìn)一步引導(dǎo)他們思考“為什么這些角都是直角”，從而觸摸到“角的大小與邊的長(zhǎng)度無(wú)關(guān)，與兩條邊張開的大小有關(guān)”這一數(shù)學(xué)本質(zhì)。

二、在折紙中認(rèn)識(shí)軸對(duì)稱圖形，提煉軸對(duì)稱的數(shù)學(xué)定義

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中應(yīng)當(dāng)有足夠的時(shí)間和空間經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、計(jì)算、推理、驗(yàn)證等活動(dòng)過程。我在數(shù)學(xué)課堂上為了體現(xiàn)《課程標(biāo)準(zhǔn)》的教學(xué)理念，在教學(xué)人教版二年級(jí)下冊(cè)《認(rèn)識(shí)軸對(duì)稱圖形》一課時(shí)，先通過欣賞一組生活中的對(duì)稱現(xiàn)象自然地引出軸對(duì)稱圖形，再組織學(xué)生借助一張紙折一折、畫一畫、剪一剪、說(shuō)一說(shuō)等活動(dòng)創(chuàng)造出一些軸對(duì)稱圖形，加深學(xué)生對(duì)軸對(duì)稱圖形的直觀印象。

師：同學(xué)們，剛才我們欣賞了樹葉、蝴蝶、天安門等圖片，這些都是對(duì)稱的。接下來(lái)，我們要借助手中的這張紙自己來(lái)創(chuàng)造一個(gè)軸對(duì)稱圖形，你會(huì)怎么做？

生1：我會(huì)先把這張紙對(duì)折，然后在紙的其中一面畫上半棵樹，再用剪刀剪下這半棵樹，展開就變成一棵完整的樹了。而且這棵樹的左右兩邊完全一樣。

生2：我想剪一顆愛心。先把這張紙對(duì)折，再在對(duì)折后的紙上畫半顆愛心，剪下半顆愛心后，打開就變成一顆愛心了。

生3：我想剪1個(gè)小人，首先把這張紙對(duì)折，再在對(duì)折后的紙上畫半個(gè)小人，剪下這半個(gè)小人后展開就變成1個(gè)小人了，對(duì)折后又變成半個(gè)小人了。

師：大家真棒，有想法后就開始動(dòng)手折一折、畫一畫、剪一剪吧，看看你剪出來(lái)的是什么圖形？

（全班同學(xué)開始動(dòng)手驗(yàn)證自己的猜想，并和同伴交流自己剪出的圖形）

師：成功的同學(xué)請(qǐng)高高地舉起剪好的圖形來(lái)。像這樣剪出來(lái)的圖形都是對(duì)稱的，它們都是軸對(duì)稱圖形，中間的線叫做對(duì)稱軸。剛才我們剪出了1個(gè)小人，如果老師想要剪2個(gè)手拉手的小人，你會(huì)怎么折和怎么剪？

生4：我會(huì)把一張紙對(duì)折，再在對(duì)折后的紙上畫一個(gè)完整的小人，還要注意手這里不能斷開，剪下這個(gè)完整的小人后展開就變成2個(gè)手拉手的小人了。

生5：我還有辦法，只要畫半個(gè)小人就可以了。我把這張紙對(duì)折兩次，就是對(duì)折后再對(duì)折，然后在對(duì)折后的紙上畫半個(gè)小人，剪下展開后就變成2個(gè)手拉手的小人了。

在這個(gè)教學(xué)片斷中，我?guī)ьI(lǐng)學(xué)生從對(duì)稱現(xiàn)象中領(lǐng)略數(shù)學(xué)美，從折和剪中提煉軸對(duì)稱圖形的數(shù)學(xué)定義。引導(dǎo)學(xué)生嘗試剪從1個(gè)小人到2個(gè)手拉手的小人，再到4個(gè)手拉手的小人，既能讓學(xué)生思考和運(yùn)用軸對(duì)稱圖形的數(shù)學(xué)定義，又是培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手能力的有效時(shí)機(jī)。

三、在折紙中折出不同分?jǐn)?shù)，拓寬分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)內(nèi)涵

選擇用折紙來(lái)認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的目的在于紙不僅易準(zhǔn)備、易操作、易觀察，還在于折紙能更好地幫助學(xué)生理解分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)內(nèi)涵、直觀地比較分?jǐn)?shù)的大小。在教學(xué)人教版三年級(jí)上冊(cè)《認(rèn)識(shí)幾分之一》一課時(shí)，先從學(xué)生熟悉的整數(shù)的平均分入手，再引出平均分時(shí)每份不到“1”我們應(yīng)該如何表示，從而介紹分?jǐn)?shù)中的幾分之一。在這樣的教學(xué)過程中幫助學(xué)生體驗(yàn)分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的必要性，實(shí)現(xiàn)數(shù)域的拓展，為后續(xù)深入學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)和小數(shù)知識(shí)奠定基礎(chǔ)。

師：同學(xué)們，把4張紙平均分給2個(gè)小朋友，每人分到幾張？（2張）把2張紙平均分給2個(gè)小朋友，每人分到幾張？（1張）把1張紙平均分給2個(gè)小朋友，每人分到幾張？

生：半張。

師：你能在自己的紙上折出來(lái)嗎？

（有的學(xué)生在1張長(zhǎng)方形紙上對(duì)折，有的學(xué)生在1張正方形紙上對(duì)折，有的學(xué)生在1張圓形紙上對(duì)折，有的學(xué)生在1張等邊三角形紙上對(duì)折）

師：剛才大家都做了一個(gè)一樣的動(dòng)作——“對(duì)折”，就是說(shuō)把一張紙平均分成2份，每份是這張紙的二分之一，寫作（出示那你知道這些分?jǐn)?shù)是什么意思嗎？

在這個(gè)教學(xué)片斷中，我通過分紙問題引發(fā)矛盾沖突，讓學(xué)生經(jīng)歷分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生過程，理解分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)內(nèi)涵，體會(huì)分?jǐn)?shù)表示的優(yōu)越性。學(xué)生從認(rèn)識(shí)正遷移到認(rèn)識(shí)其他幾分之一的分?jǐn)?shù)，在折紙創(chuàng)造分?jǐn)?shù)的過程中將分?jǐn)?shù)的“數(shù)”與“形”相結(jié)合，不僅拓寬了學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)概念的理解，還培養(yǎng)了學(xué)生的動(dòng)手能力和創(chuàng)造性思維。

總之，學(xué)生在折紙過程中會(huì)從折紙模型中抽象出數(shù)學(xué)模型，從而經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)概念的形成、發(fā)展和運(yùn)用過程，這樣既能有效培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力和創(chuàng)造性思維，又能以數(shù)形結(jié)合的方式讓學(xué)生更加直觀地“看透”數(shù)學(xué)概念，為他們解決數(shù)學(xué)問題帶來(lái)靈感，促進(jìn)他們對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)化，最終提升他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力、思考力和創(chuàng)造力。