基于分數(shù)階PIλDμ控制在混合自動定量給料器中的研究

，

(1.湖北大學 資源環(huán)境學院， 武漢 430062； 2.區(qū)域開發(fā)與環(huán)境響應(yīng)湖北省重點實驗室，武漢 430062； 3.湖北省生物資源綠色轉(zhuǎn)化協(xié)同創(chuàng)新中心，武漢 430062)

0 引言

目前國內(nèi)對于產(chǎn)品包裝大多采用手工定量充填，為了解決粉粒狀物料高速度、高準確度自動定量充填包裝技術(shù)，減少有毒有害的粉塵對人體傷害嚴重，無人化包裝將具有十分廣闊的前景和意義[1]。為了實現(xiàn)產(chǎn)品包裝的自動化，將一些自動化技術(shù)應(yīng)用到包裝工程里，取代目前常用的人工包裝技術(shù)。其中，按定量原理主要有容積式和稱重式兩種自動定量充填，分別適用于不同物料屬性。其中，容積式自動定量充填主要依據(jù)容積來計算填充物料的數(shù)量，其結(jié)構(gòu)簡單，成本也低。但是容積式自動定量的計量精度受很多因素影響[2]，主要有物料顆粒的大小，結(jié)構(gòu)，容器容積等；相反，稱重式自動定量充填的原理是依據(jù)其重量來計算填充物料的個數(shù)，他最大的優(yōu)點是不像容積式那樣受物料特性的影響，所以其具有高精度和良好的通用性。但是缺點就是不僅包裝速度偏低，而且成本高，結(jié)構(gòu)復雜等[3]。

對比以上兩種常見的定量技術(shù)，其各有優(yōu)缺點，它們在單獨應(yīng)用時都無法同時兼顧其定量的速度和精準度。因此，在面對現(xiàn)代大批量高速度和精度的包裝時，將無法滿足要求[4]。為了克服和解決這個難題，本文在參考和借鑒國外的先進的自動定量方法，它將微機技術(shù)與其相融合，同時為了將容積式和稱重式定量技術(shù)各自的優(yōu)點相結(jié)合，提出了用微機技術(shù)控制的混合式自動定量充填法，滿足了在自動定量充填時對速度和精度的高要求。同時，為了提高和改善混合式充填法中加料過程的精度，穩(wěn)定性和可控性等方面的性能時，引入一些控制算法。

目前，針對混合式定量給料包裝控制系統(tǒng)大多采用傳統(tǒng)的PID控制，由于傳統(tǒng)的PID控制自身的局限性，因此在利用傳統(tǒng)的控制算法對混合式定量給料包裝控制系統(tǒng)就很難獲得令人滿意的控制效果和性能。本文先在分數(shù)階微積分理論的基礎(chǔ)上，將其理論應(yīng)用在傳統(tǒng)的PID控制系統(tǒng)中與其相結(jié)合，提出了分數(shù)階PIλDμ控制器，通過分數(shù)階積分階次和微分階次的引入，使得分數(shù)階PIλDμ控制器不僅保留了傳統(tǒng)PID控制的優(yōu)點，還具有傳統(tǒng)PID不具備的長處，實現(xiàn)由點到面的控制，擴大了控制的范圍。因此，利用分數(shù)階PIλDμ控制對其進行控制，從而達到令人滿意的效果。最后，通過理論分析和仿真結(jié)果表明，分數(shù)階PIλDμ比傳統(tǒng)PID控制具有更加優(yōu)良的動、靜態(tài)性能指標。

1 混合式自動定量充填原理及過程

1.1 工作原理

混合式充填繼承了傳統(tǒng)定量的各自優(yōu)點，整個充填過程與稱重式自動定量充填相同，其基本結(jié)構(gòu)如圖1所示[5]。從圖1中可以知道，混合式包裝系統(tǒng)有機械部分的料倉，粗細給料管/器，包裝機和控制部分傳感器等設(shè)備組成。其充填原理是在微機技術(shù)的控制下，為了提高混合式自動定量技術(shù)在速度方面的優(yōu)勢，首先進行快加料，將大部分的目標物量利用具有快速定量的容積式技術(shù)，由粗給料器將物料從料倉送到稱重料斗上，然后進行慢加料，在完成快加料后計算出剩余的小部分目標量，并進行轉(zhuǎn)換計算出通過細加料管給料時所用的時間，完成慢加料；最后，將稱重料斗中經(jīng)過快加料和慢加料中的總量投入包裝機進行包裝，完成一整個包裝過程[6-7]。

圖1 混合式自動定量充填原理示意圖

1.2 工藝流程

通過以上分析可以看出，混合式自動定量包裝工藝只要是由兩個部分組成：一是自動定量，二是包裝。在一個過程中，包裝和自動定量是同時進行的，提高包裝的速度?；旌鲜蕉窟^程流程如圖2所示[8]：一般，混合式加料需要有4個步驟：分別是快加料、稱質(zhì)量、慢加料和放料[9]。

圖2 混合式定量加料過程圖

由圖2的簡化過程可知，完成整個加料過程需要以上的四個步驟組加料器完成物料的快速加料，節(jié)約大量時間，其快速性也就體現(xiàn)在這個過程，然后完成定量，根據(jù)差值，進行細加料，完成定量的精度，最后進行包裝，包裝過程中，上面的步驟仍在繼續(xù)，完成整個工藝流程。

2 混合式定量加料過程分數(shù)階PIλDμ控制

2.1 傳統(tǒng)整數(shù)階PID控制算法

傳統(tǒng)的整數(shù)階PID控制器因結(jié)構(gòu)簡單,操作方便，魯棒性較強等優(yōu)點的而被廣泛應(yīng)用在各行各業(yè)[8]。它是從經(jīng)典控制理論中推到出來的一種控制算法，其應(yīng)用廣泛的另一個原因是當被控對象模型不精確或難以建立的時候，通過調(diào)節(jié)PID控制器的參數(shù)時都能夠獲得較好的指標。也就是說PID控制器的作用與被控對象的輸入—輸出模型沒有任何關(guān)系，它最大的特點就是利用偏差通過比例—積分—微分系數(shù)的簡單線性組合就可以使系統(tǒng)的這種偏離回歸到設(shè)定值上。人們只要選擇PID增益使閉環(huán)穩(wěn)定，就能獲得良好的靜態(tài)指標。以輸出值y(t)與設(shè)定值r(t)之間的差值e(t)作為輸入量，可以描述為：

e(t)=r(t)-y(t)

(1)

PID控制方法的控制規(guī)律可以用描述為：

(2)

也可以將上式寫成傳遞函數(shù)的數(shù)學形式：

(3)

式中，Kp為比例系數(shù)；Ki為積分時間常數(shù)；Kd為微分時間常數(shù)。

針對PID參數(shù)的確定本文采用的是傳統(tǒng)方法，即Z-N臨界比例度法并在以上整定值附近利用經(jīng)驗試湊法觀察各控制指標對性能的改變情況，經(jīng)過多次試驗后，當出現(xiàn)較好的控制系統(tǒng)性能時，記錄下相關(guān)數(shù)據(jù)。其中，Z-N法在設(shè)計時將Ki=0、Kd=0，即系統(tǒng)中不存在積分和微分。此時，我們通過試探給出比例系數(shù)，通過運行和觀察系統(tǒng)在階躍輸入下的響應(yīng)，當發(fā)現(xiàn)曲線即將要出現(xiàn)振蕩時，觀察此時的比例系數(shù)，并將該狀態(tài)下的常數(shù)叫做臨界增益，記為Ku，與之對應(yīng)的時臨界振蕩周期為Tu。通過以上兩個參數(shù)，由經(jīng)驗公式得出常規(guī)PID控制器的比例系數(shù)、積分系數(shù)和微分系數(shù)。需要注意的是，比例、積分、微分系數(shù)的調(diào)整是相互影響的，例如，設(shè)置適當?shù)谋壤禂?shù)后，加入積分環(huán)節(jié)會導致響應(yīng)曲線的超調(diào)量變大，應(yīng)適當減少比例系數(shù)。所以幾個參數(shù)需要一點點逐步調(diào)整，直到系統(tǒng)的響應(yīng)曲線達到最佳狀態(tài)為止。

2.2 分數(shù)階控制理論

隨著工業(yè)社會的發(fā)展，被控對象也變得越來越復雜，精度要求越來越高等傳統(tǒng)的整數(shù)階PID控制將很難滿足工業(yè)生產(chǎn)的要求，其弊端也越來越凸顯。為了保留傳統(tǒng)整數(shù)階PID控制器結(jié)構(gòu)簡單，魯棒性強等優(yōu)點的同時又具備傳統(tǒng)PID控制不具備的長處—控制精度等。在經(jīng)過控制理論的不斷發(fā)展后，人們越來越多的開始關(guān)注分數(shù)階理論。分數(shù)階微積分它可以看作是傳統(tǒng)PID控制的推廣，因為他打破了傳統(tǒng)PID控制階次的整數(shù)意義，并將其設(shè)置為任何值(實數(shù)或者復數(shù)等)。目前，其常用的的定義有三種。分別是Grunwal-Letnikov定義、Riemann-Liouville定義和Caputo定義等。其中，定義其微積分算子如下：

(4)

式中,aDtα為函數(shù)f(t)的α次積分或微分；α為其值大于零為分數(shù)階的微分，相反小于零為分數(shù)階的積分；a為下限值；t為上限值。

2.3 分數(shù)階PIλDμ控制

通過以上分數(shù)階理論的分析，Podlubny教授與1999年提出了分數(shù)階PIλDμ控制器的基本結(jié)構(gòu)。將分數(shù)階PIλDμ控制器與原本的PID控制器對比，多出了2個參數(shù)積分階次λ和微分階次μ，且可以不間斷地轉(zhuǎn)化它們的屬性，正因為比傳統(tǒng)整數(shù)階PID控制多了2個參數(shù)，所以，該控制器可通過擴大參數(shù)整定范圍，能夠獲得更優(yōu)良的控制性能。某種意義上看，其控制的性能、范圍都將有很大的改變，分數(shù)階控制算法對誤差的處理不再是簡單的線性加權(quán)，而是一種非線性控制[6]。分數(shù)階PIλDμ從一定程度上，可看做廣義化的整數(shù)階PID。典型的分數(shù)階PIλDμ控制器，結(jié)構(gòu)如圖3所示。

圖3 分數(shù)階PID控制器的結(jié)構(gòu)框圖

與傳統(tǒng)整數(shù)階PID控制類似，分數(shù)階PIλDμ控制器的微分方程可寫為：

u(t)=Kpe(t)+KiD-λe(t)+KdDμe(t)

(5)

式中,λ積分階次；μ微分階次；e(t)=r(t)-y(t)為控制器輸入；u(t)控制器輸出。

參數(shù)λ和μ取值范圍較廣，可以為實數(shù)，也可以為無理數(shù)，甚至為復數(shù)。一般的應(yīng)用中，λ和μ取實數(shù)，范圍為[0，2]。Kp、Ki、Kd定義同整數(shù)階一樣，為控制器特有的3個變量。在分數(shù)階理論定義的基礎(chǔ)上，設(shè)計了分數(shù)階PIλDμ控制器。它可以認為是常規(guī)PID控制器發(fā)展與推廣，其設(shè)計過程既與常規(guī)PID類似但也有區(qū)別，只不過它有5個可調(diào)參數(shù)Kp、Ki、Kd、λ和μ。其中，λ和μ是分數(shù)階PIλDμ控制器所特有的參數(shù)，對上述時域表達式(5)進行Laplace轉(zhuǎn)化，可得到 分數(shù)階PIλDμ控制器的傳遞函數(shù)如下式:

(6)

由于分數(shù)階積分環(huán)節(jié)的引入，能夠很好地改善整數(shù)積分環(huán)節(jié)導致閉環(huán)響應(yīng)速度緩慢，調(diào)節(jié)時間長，容易產(chǎn)生振蕩，積分飽和引起的控制量飽和等負面影響。由式(6)可以看出，分數(shù)階PIλDμ控制器的積分項與傳統(tǒng)的PID控制器的積分項相比，從s變成sλ，對應(yīng)的變化是在相頻對數(shù)圖中其斜率不再是個固定值-20 dB/dec，而是變成了隨著積分階次λ的值而變化，即-20 λdB/dec。對式(5)進行離散化處理，則分數(shù)階PID控制器的離散化形式為：

(7)

式中,e(k)=r(k)-y(k)，qj和dj為積分算子和微分算子，它可由遞推公式計算[7]：

(8)

(9)

式(6)中，取λ=0，μ=0，變成比例控制器P。λ=1，μ=0，即為比例積分控制器PI。當λ=0，μ=1時，即為比例微分控制PD。當λ=1，μ=1時，即為整數(shù)階PID控制器。如此看，若有數(shù)學語言描述，整數(shù)階的4個狀態(tài)，都屬于分數(shù)階PIλDμ控制器。整數(shù)階PID只是幾個特定的點可以取。

通過以上對分數(shù)階理論的分析可知，分數(shù)階PIλDμ控制器可認為是傳統(tǒng)的整數(shù)階PID控制器的廣義表達式。通過將分數(shù)階理論與傳統(tǒng)的整數(shù)階PID控制器相結(jié)合，能夠提升傳統(tǒng)整數(shù)階PID控制器的性能，更加的豐富了其控制器的意義。與傳統(tǒng)整數(shù)階PID控制器不同，正由于增加了積分系數(shù)和微分系數(shù)這兩個參數(shù)實現(xiàn)了傳統(tǒng)整數(shù)階PID控制由點到面推廣，雖然分數(shù)階PIλDμ控制器的結(jié)構(gòu)相比較為復雜，然而由于參數(shù)選擇更加隨意，反而多了一些靈活性。分數(shù)階PIλDμ控制器可以根據(jù)不同的對象，不同的需求，選擇合適的λ和μ的值，可接受范圍更廣，多方面進行調(diào)節(jié)，達到理想控制。正是因為如此，它極大的提高了控制器的自由度和靈活的，改善了傳統(tǒng)PID控制器的性能指標。

2.4 Oustaloup濾波算法

分數(shù)階系統(tǒng)與整數(shù)階系統(tǒng)不一樣，對其研究必須采取不一樣的方法，由于分數(shù)階維數(shù)的無限，我們要想設(shè)計其控制器，對分數(shù)階必須近似處理。目前，對分數(shù)階系統(tǒng)的近似化方法有很多，例如，直接近似化的冪級數(shù)離散近似法、連分式離散近似法和Muir遞歸近似法等；間接算法的連分式近似、Carlson近似方法和oustaloup近似方法等。在以上所有的近似算法中其近似結(jié)果都不是很好，效果較好的只有oustaloup近似方法。為了實現(xiàn)分數(shù)階控制，本章采用Oustaloup近似算法以及改進算法[7]。

首先通過選擇一個擬合頻率段，頻率下限為wb，上限為wh，然后構(gòu)造一個不間斷的濾波器模型，如式(10)所示：

(10)

式中的零極點和增益可由下式求出：

(11)

(12)

(13)

式中，w為濾波器的近似頻率，wb為其頻率的下限，wh為其頻率的上限；α為微積分的階次；N為濾波器的階次；s為拉普拉斯算子，s=jw，j為虛數(shù)單位。

由于該算法在近似頻率兩端的近似效果不是很理想，故參考了文獻[7]提出的改進算法，該算法是將分數(shù)階算子用分數(shù)階傳遞函數(shù)近似：

(14)

在頻率段內(nèi)wb

(15)

聯(lián)合式(11)和式(12)可以得到如下微積分的近似公式：

(16)

式中，α為微積分階次，0<α<2；s為拉普拉斯算子，s=jw，j為虛數(shù)單位，w為濾波器的近似頻率；b、d為常數(shù)，均大于0。

這樣作出的改進，可取得更好的邊界擬合效果和整體擬合效果。

2.5 分數(shù)階濾波器構(gòu)造

首先利用Matlab仿真軟件中Simulink系統(tǒng)搭建分數(shù)階濾波器。將改進的 oustaloup算法采用Simulink子系統(tǒng)的封裝功能封裝成一個模塊，為了避免在仿真的過程中出現(xiàn)代數(shù)環(huán)，在微積分算子后面串聯(lián)一個帶寬為ω2的低通濾波器，構(gòu)造出的模塊如圖4和圖5所示。

圖4 分數(shù)階濾波器 圖5 分數(shù)階濾波器封裝模塊

2.6 參數(shù)的影響

分數(shù)階PIλDμ控制器共有5個參數(shù)，分別是比例系數(shù)Kp、積分系數(shù)Ki、微分系數(shù)Kd、積分階次λ和微分階次μ。其中，比例、積分、微分系數(shù)與傳統(tǒng)整數(shù)階PID控制器意義和對系統(tǒng)性能指標的影響一樣。比例系數(shù)Kp可以加快系統(tǒng)的響應(yīng)速度，提高控制系統(tǒng)的準確性；積分系數(shù)Ki過大系統(tǒng)將不穩(wěn)定，過小將造成振蕩次數(shù)較多，響應(yīng)變緩，調(diào)節(jié)不足等；微分系數(shù)Kd可以減小穩(wěn)態(tài)誤差，提高控制系統(tǒng)的精度等。積分階次λ增大，可減小系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，同時減小超調(diào)量等，但響應(yīng)速度不變，減小，則引起調(diào)節(jié)時間增長，穩(wěn)態(tài)精度降低等；微分階次μ在一定范圍內(nèi)增大，可以使系統(tǒng)超調(diào)隨之減小，調(diào)節(jié)時間縮短，響應(yīng)速度加快，穩(wěn)態(tài)精度提高等，減小，可能使系統(tǒng)振蕩加劇，調(diào)節(jié)時間變長，甚至引起系統(tǒng)發(fā)散[9]。因此，分數(shù)階PIλDμ控制器的參數(shù)因選取合適參數(shù)，才能得到理想的效果。

3 系統(tǒng)仿真及結(jié)果分析

利用Matlab/Simulink仿真軟件，搭建基于分數(shù)階PIλDμ控制器的混合式定量給料包裝控制系統(tǒng)仿真模型，對于混合式定量給料包裝控制系統(tǒng)的動態(tài)特性參考文獻[4]所示：

(17)

根據(jù)以上有關(guān)的分數(shù)階理論與計算分析可知，首先在Matlab/Simulink里建立分數(shù)階PIλDμ控制器，并按照圖4和圖5構(gòu)造出一個低通濾波器，然后完成了分數(shù)階微積分算子構(gòu)造并封裝。最后根據(jù)傳統(tǒng)PID控制器的結(jié)構(gòu)，加入微積分系數(shù)，構(gòu)造出分數(shù)階PIλDμ控制器。與傳統(tǒng)PID控制器相比而且，分數(shù)階PIλDμ控制器多出了兩個參數(shù)，即積分階次和微分階次。本文針對混合式定量給料包裝控制系統(tǒng)的動態(tài)特性，取λ=0.26965，μ=0.69006；Oustaloup濾波器近似頻率范圍的上下限分別是，wb=0.001，wh=1000；N=5?；旌鲜蕉拷o料包裝控制系統(tǒng)的Matlab/Simulink的仿真原理如圖6所示。

圖6 仿真原理圖

對于圖6所示的混合式定量給料包裝控制系統(tǒng)，分別采用傳統(tǒng)的PID控制和本文的控制方法(分數(shù)階PIλDμ控制)進行對比分析。通過對混合式定量給料包裝控制系統(tǒng)的實際仿真結(jié)果可以明顯看出經(jīng)過分數(shù)階PIλDμ控制與常規(guī)PID控制相比，其超調(diào)量減小，而且調(diào)節(jié)時間、峰值時間和上升時間等都明顯縮短，穩(wěn)態(tài)誤差較小，控制精度較高，不僅具有較好的動態(tài)響應(yīng)性能還有較強的擾動抑制能力，能夠提高混合式定量給料包裝的控制性能。其單位階躍響應(yīng)曲線和誤差變化曲線如圖7和圖8所示。

圖7 系統(tǒng)階躍響應(yīng)

圖8 系統(tǒng)誤差變化曲線

從仿真結(jié)果的變化曲線中可以看出分數(shù)階PIλDμ控制的響應(yīng)速度更快，需要0.96 s就能穩(wěn)定，而傳統(tǒng)的PID控制需要6.98 s穩(wěn)定。為驗證數(shù)階PIλDμ控制器在混合式定量給料包裝控制系統(tǒng)中的抗干擾能力，在仿真時間t=10 s時加入幅值為0.1的階躍負載，來模擬混合式定量給料包裝過程中所受到的干擾，分數(shù)階PIλDμ控制在受到以上干擾時，超調(diào)量比傳統(tǒng)PID控制器的超調(diào)量小，能夠在0.62 s 恢復穩(wěn)定，而傳統(tǒng)PID控制需要6.18 s恢復穩(wěn)定，因此，分數(shù)階PIλDμ控制器受負載的影響較小。綜上所述，無論跟蹤性還是抗干擾能力，分數(shù)階PIλDμ控制都要比傳統(tǒng)的PID控制更優(yōu)良、控制精度也更好。

4 結(jié)論

針對容積式和稱重式的粉粒狀物料自動定量充填包裝的各自的不足，提出了混合式充填法，它解決了自動定量充填方面無論在速度和準確度不能兼顧的矛盾。并通過分數(shù)階PIλDμ控制對其加料過程進行控制, 克服了傳統(tǒng)PID控制在稱重過程加料精度、穩(wěn)定性和可控性方面的不足。分數(shù)階PIλDμ的能夠?qū)崿F(xiàn)由點到面的精準控制，能夠?qū)旌鲜蕉拷o料包裝控制系統(tǒng)進行有效控制，在一定程度上兼顧了系統(tǒng)的動、靜態(tài)性能，克服了傳統(tǒng)PID控制器參數(shù)難以確定的缺點。

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