反思幾何解題培養(yǎng)思維品質(zhì)

陳志華

[摘 要] 培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)要從嚴(yán)謹(jǐn)性、發(fā)散性、深層性、廣闊性、創(chuàng)造性五大特征入手. 數(shù)學(xué)幾何學(xué)習(xí)對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)具有獨(dú)特而顯著的作用，本文通過(guò)實(shí)例闡述如何借助幾何解題進(jìn)行反思，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì).

[關(guān)鍵詞] 幾何；思維品質(zhì)；解題思路；嚴(yán)謹(jǐn)

數(shù)學(xué)幾何是對(duì)圖形的概括，是學(xué)生思維發(fā)展的“橋梁”，是師生進(jìn)行交流的“紐帶”. 因此在課堂中作為“主導(dǎo)者”的教師，要善于利用一些例題、習(xí)題，充分挖掘題目背后深層次的含義，幫助學(xué)生準(zhǔn)確理解知識(shí)點(diǎn)，并掌握解決問(wèn)題的一般方法，從而養(yǎng)成良好的思維品質(zhì). 筆者結(jié)合自己多年的幾何教學(xué)實(shí)踐，就幾何教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生思維品質(zhì)，談幾點(diǎn)體會(huì).

借助幾何直觀，深化概念理解，

培養(yǎng)學(xué)生思維的深層性

思維的深層性要求學(xué)生在解決問(wèn)題時(shí)，要抓住問(wèn)題的本質(zhì)和內(nèi)在聯(lián)系，善于舉一反三，解題以后能夠及時(shí)總結(jié)一般規(guī)律和通法，并能把知識(shí)和方法進(jìn)行遷移，用于解決其他類似問(wèn)題.

數(shù)學(xué)概念，就是用簡(jiǎn)練的數(shù)學(xué)語(yǔ)言、符號(hào)去概括對(duì)象的本質(zhì)屬性. 要抓住對(duì)象的本質(zhì)屬性，必須對(duì)概念理解到位.一直以來(lái)概念教學(xué)是一個(gè)難點(diǎn)，對(duì)學(xué)生理解能力要求較高. 而通過(guò)幾何直觀，可以幫助學(xué)生突破概念理解上的難點(diǎn). 例如在函數(shù)概念學(xué)習(xí)中，如何理解“對(duì)于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值”，如果僅僅靠解讀字面意思，學(xué)生比較難以理解，更難達(dá)到數(shù)學(xué)應(yīng)用的境地. 若借以幾何直觀，加以辨析，從感性認(rèn)識(shí)著手，則可以達(dá)到較好的教學(xué)效果.

例1：給出以下幾個(gè)圖形（圖1），讓學(xué)生指出哪些圖形所反映的是函數(shù)的圖像.

通過(guò)對(duì)這四個(gè)圖的比較與辨析，能很直觀地發(fā)現(xiàn)A、B、C三個(gè)圖形中，同一個(gè)x的值，有兩個(gè)y的值與它對(duì)應(yīng)，這就不是函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系了.

解后回顧，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)

謹(jǐn)性

思維的嚴(yán)謹(jǐn)性是指思維過(guò)程的嚴(yán)密性和邏輯性，而數(shù)學(xué)幾何解題嚴(yán)謹(jǐn)、條理清晰，能很好地培養(yǎng)學(xué)生思維嚴(yán)謹(jǐn)性. 教師要引導(dǎo)學(xué)生題后回顧，特別是針對(duì)一些典型錯(cuò)誤的及時(shí)分析，能讓學(xué)生明白前后邏輯關(guān)系的重要性，并在解決問(wèn)題時(shí)要注重條件與結(jié)論之間關(guān)系的嚴(yán)謹(jǐn)性.

例2：已知△ABC為鈍角三角形，其最長(zhǎng)邊AC上有一點(diǎn)P（點(diǎn)P與點(diǎn)A，C不重合），過(guò)點(diǎn)P作直線l，使直線l截△ABC所得的三角形與原三角形相似，這樣的直線l可作幾條？

有學(xué)生解答：如圖2，過(guò)點(diǎn)P分別作兩條平行線并且使∠ABP=∠C（或∠PBC=∠A），這樣滿足條件的直線有3條.

分析：是否存在點(diǎn)P必有∠ABP=∠C或∠PBC=∠A？因此，上述解答中思維有漏洞，即思維不嚴(yán)謹(jǐn)，從而產(chǎn)生了錯(cuò)誤的解答.

正確解答：如圖3所示，其中∠ABD=∠C或∠EBC=∠A，當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)A至D之間（包括點(diǎn)D）或位于點(diǎn)C至E之間（包括點(diǎn)E）時(shí)，滿足條件的直線有3條；而當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)E至D之間（不包括點(diǎn)D，E）時(shí)，滿足條件的直線有2條.

以上例題讓學(xué)生經(jīng)歷從一開(kāi)始的想當(dāng)然認(rèn)為所有點(diǎn)P都能畫(huà)出3條，到后來(lái)發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)P在特殊位置時(shí)會(huì)出現(xiàn)不一樣的特殊情況，從而感受到考慮問(wèn)題必須全面，不能以特殊代替一般，也不能忽視特殊情況，以及邏輯上是否前后存在矛盾等.

利用結(jié)論開(kāi)放，培養(yǎng)學(xué)生思維

的發(fā)散性

思維的發(fā)散性是指?jìng)€(gè)體在思維活動(dòng)中獨(dú)立發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的方法及推廣程度. 這就要求教師在平時(shí)教學(xué)中多“留白”，從已知條件出發(fā)，能得到哪些相關(guān)的結(jié)論，對(duì)同一試題探求出各種各樣的方案. 這種試題的解法多樣，思路廣闊，既能鞏固深化原有知識(shí)，又能提升學(xué)生思維活動(dòng)的發(fā)散性.

例3：如圖4，P為⊙O外一點(diǎn)，PAB為⊙O割線，交⊙O于A，B兩點(diǎn)，PC切⊙O于C，∠CPB的平分線交AC于E，交BC于F.

結(jié)論1：CF=CE；結(jié)論2：△PCE∽△PBF；結(jié)論3：△PAE∽△PCF；結(jié)論4：=……

通過(guò)這類習(xí)題的訓(xùn)練，不但能鞏固知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)系，還讓學(xué)生對(duì)這類問(wèn)題有了深入的認(rèn)識(shí)，大膽猜想并嚴(yán)謹(jǐn)論證，通過(guò)自我評(píng)價(jià)解題思路和方法，培養(yǎng)了思維的發(fā)散性.

一題多用，培養(yǎng)學(xué)生思維的廣

闊性

思維廣闊性是指?jìng)€(gè)體思維活動(dòng)的廣泛程度. 它的特點(diǎn)包括：一是從多角度來(lái)分析問(wèn)題，抓住問(wèn)題的關(guān)鍵；二從分析過(guò)程中，提煉出解決問(wèn)題的方法；三是技能的遷移能力，如我們平時(shí)說(shuō)的“舉一反三”；四是善于歸納總結(jié)，到達(dá)“運(yùn)用自如”的境界.

1. 一題多解，解中求真，提升學(xué)生思維的廣闊性

例4：如圖5，在直角坐標(biāo)系中，Rt△ABC的邊長(zhǎng)BC=1，AC=2，∠C=90°，點(diǎn)A、點(diǎn)B分別在x、y軸正半軸滑動(dòng)，求線段OB長(zhǎng)的最值？

分析一：根據(jù)三角形三邊關(guān)系，可構(gòu)造出以O(shè)B為一邊的△OBD，其中點(diǎn)D為AC的中點(diǎn). 由此可知：隨著線段AC滑動(dòng)，線段BD和線段OD的位置也隨之改變. 當(dāng)BD和OD成一直線時(shí)，即線段OB剛好通過(guò)中點(diǎn)D時(shí)，OB為最小；當(dāng)BD和OD重合時(shí)，OB為最大. 因此BD-OD≤OB≤BD+OD，即-1≤OB≤+1.

分析二：根據(jù)相對(duì)運(yùn)動(dòng)理論，轉(zhuǎn)變觀察角度，把“動(dòng)點(diǎn)A，C相對(duì)于不動(dòng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)”變?yōu)椤皠?dòng)點(diǎn)O相對(duì)于不動(dòng)點(diǎn)A，C運(yùn)動(dòng)”，此時(shí)點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)軌跡是以AC為直徑的圓. 如圖6所示，OB最值的情況顯而易見(jiàn)了：-1≤OB≤+1.

此題從兩個(gè)截然不同的角度，都十分巧妙地構(gòu)造相關(guān)圖形得到兩種較好的解法，使學(xué)生對(duì)問(wèn)題的理解更深刻，培養(yǎng)從不同角度理解問(wèn)題的能力，同時(shí)培養(yǎng)其思維的多向性、廣闊性.

2. 一題多變，趨異求同，培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性

以基本圖形為“生長(zhǎng)點(diǎn)”，通過(guò)將其引申變換為相關(guān)圖形而得到“再生”題組，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)幾何圖形的空間想象力，從而培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性、多向性.

例5：如圖7分別以△ABC三邊a，b，c為邊向外作正方形. 若S+S=S成立，則△ABC是直角三角形嗎？

變式1：向外作正三角形呢？（如圖8）

變式2：向外作等腰直角三角形呢？（如圖9）

變式3：向外作半圓呢？（如圖10）

變式4：向外作相似三角形呢？（如圖11）

分析：由△ABF∽△ACE∽△BCD，得=2，=2，=，S+S=S，得a2+b2=c2，故△ABC是直角三角形.

通過(guò)對(duì)上述變式的理解和深入，我們可得到以下結(jié)論：分別以△ABC三邊a，b，c為直徑向外作任意相似多邊形. 若S+S=S成立，則△ABC都是直角三角形！

例6：如圖12，一個(gè)邊長(zhǎng)為1.2 m的正三角形金屬架，能通過(guò)一個(gè)直徑為1.1 m的呼啦圈嗎？請(qǐng)證明你的判斷？

分析：邊長(zhǎng)為1.2的正三角形的高為<1.1，所以能通過(guò)這樣的呼啦圈.

變式1：把正三角形改成直角三角形呢？（如圖13）

變式2：把正三角形改成梯形呢？如圖14，已知一塊直角梯形的鐵板，兩底長(zhǎng)分別為4 cm、10 cm，且有一個(gè)內(nèi)角為60°，請(qǐng)用數(shù)據(jù)說(shuō)明鐵板能否從一個(gè)直徑為8.7 cm的圓洞穿過(guò).

分析：根據(jù)上述思考，過(guò)點(diǎn)B作a∥CD，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥CD交CD于E，求得BE=5< 8.7，所以能穿過(guò)圓洞.

因此，在教學(xué)過(guò)程中要求養(yǎng)成從不同角度，不同方位思考問(wèn)題的習(xí)慣，進(jìn)行一題多解、一題多變的練習(xí)，廣闊地運(yùn)用公式、法則、命題，對(duì)一個(gè)對(duì)象用多種方式表達(dá)，對(duì)一個(gè)方法或理論作多方面的應(yīng)用，培養(yǎng)其舉一反三、觸類旁通的思維品質(zhì)，從而培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性.

一圖多用，培養(yǎng)學(xué)生思維的創(chuàng)

造性

有創(chuàng)造性地解決問(wèn)題的能力是衡量個(gè)人能力高低很重要的指標(biāo)，特別是在幾何學(xué)習(xí)中尤為突出. 為了提升學(xué)生的創(chuàng)造性，這就要求教師精心設(shè)計(jì)，讓學(xué)生對(duì)圖形進(jìn)行觀察、分析、發(fā)現(xiàn)題中基本圖形，然后鼓勵(lì)學(xué)生大膽提出“猜想”，經(jīng)過(guò)對(duì)基本圖形相關(guān)性質(zhì)理性分析對(duì)猜想予以證明，最后及時(shí)題后反思，自行改編題目，以到達(dá)提高思維的創(chuàng)造性的目的. 它的一般程序是“觀察發(fā)現(xiàn)基本圖形——提出猜想——證明猜想——題后反思——改編題目”. 現(xiàn)結(jié)合例子具體闡述.

例7：如圖15，已知△ABC中，BD，CE是高，F(xiàn)，G分別是BC，DE的中點(diǎn)，則FG與ED之間有什么關(guān)系？并給以證明.

（1）觀察基本圖形

根據(jù)圖形及條件，觀察發(fā)現(xiàn)組成圖形的基本圖形是：直角三角形中線基本圖形、等腰三角形三線合一基本圖形. 本題中的兩個(gè)基本圖形不完整，因此要把它補(bǔ)充完整，這也是添加輔助線的主要方向.

（2）提出猜想

根據(jù)基本圖形及已知條件，大膽猜想FG與ED的關(guān)系是：FG垂直平分ED.

（3）證明猜想（證明略）

（4）題后反思

題后反思概括性越高，知識(shí)系統(tǒng)性越強(qiáng)，減縮性越大，遷移能力越廣闊，注意力越集中，則思維的創(chuàng)造性就越突出. 而題目的關(guān)鍵是通過(guò)添加輔助線補(bǔ)充完整圖中的兩個(gè)基本圖形，使直角三角形中線性質(zhì)和等腰三角形三線合一性質(zhì)有機(jī)結(jié)合. 同時(shí)，圖形中共斜邊的兩個(gè)直角三角形也給我們留下了深刻的印象，利用中線性質(zhì)可構(gòu)造等腰三角形，可謂妙哉！結(jié)合兩個(gè)三角形的位置，通過(guò)反思整理“生長(zhǎng)”出如下“基本圖形”，如圖16～18.

（5）改編題目

產(chǎn)生“創(chuàng)造”的原因在于主體對(duì)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)或思維材料的高度概括后集中而系統(tǒng)地遷移，進(jìn)行新穎地組合分析，從而找出新奇的層次和交結(jié)點(diǎn). 而學(xué)生自行改編題目，需要學(xué)生廣泛、深刻、跳躍性的思維，很顯然，這有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，這有利于培養(yǎng)思維的創(chuàng)造性.

現(xiàn)摘錄如下學(xué)生改編的題目：

①已知△ABC中，BD，CE是高，F(xiàn)，G分別是BC，DE的中點(diǎn)，探索題目滿足什么條件時(shí)，△ADE是等腰直角三角形（如圖19）、正三角形（如圖20）？

②如圖21，在△ABC中，E，F(xiàn)分別是AB，AC上的點(diǎn). 若DE⊥AB，DF⊥AC，AD⊥EF，求證：AD平分∠BAC.

通過(guò)大家的大膽探索、猜想，對(duì)于改編后第一題，最后得出有趣的結(jié)論：若△ADE是等腰直角三角形，那么△ABF肯定也是等腰直角三角形；若△ADE是正三角形，則△ABF必為含30°的直角三角形. 對(duì)于第二題，學(xué)生根據(jù)自己題后反思，改變了原題中共斜邊的兩個(gè)直角三角形的位置，從而能打破原題、常規(guī)，讓圖形“活”起來(lái)，隨之提升學(xué)生思維能力.

總之，教師在平時(shí)的幾何教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)幾何例題、習(xí)題的解題進(jìn)行多維度反思，將教學(xué)與實(shí)踐相結(jié)合，從思維的深度、廣度等多方位提升學(xué)生的思維品質(zhì).