比出想法，構(gòu)出精彩

呂德國　沈紅星

[摘 要] 數(shù)學(xué)是一門注重思維的學(xué)科，題目就是數(shù)學(xué)思維養(yǎng)成的主戰(zhàn)場. 但做題并不等價(jià)于題海戰(zhàn)術(shù)，一道題，如果能引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度去考慮，拓展思維，做到一題多解，這將對學(xué)生思維的提升有極大的幫助. 本文聯(lián)系筆者的一次說題經(jīng)歷，與大家一起分享經(jīng)驗(yàn).

[關(guān)鍵詞] 思維；一題多解；拓展

題目呈現(xiàn) 如圖1，在△ABC中，AB=3，BC=5，∠ABC=60°，在邊AC上方作等邊三角形ACD，求BD的長.

背景分析

這是一道將三角形與特殊角結(jié)合在一起的綜合幾何題，涉及的知識、能力、思想如下.

知識：三角形全等的判定，勾股定理，30°角所對直角邊為斜邊的一半，二元一次方程組等.

能力：幾何直觀能力、分析推理能力、建模能力、計(jì)算能力.

思想：類比思想、方程思想、數(shù)形結(jié)合思想.

學(xué)情分析

本題涉及的主要知識點(diǎn)在八年級上冊，學(xué)生在學(xué)習(xí)了全等和勾股定理以后就可以進(jìn)行作答. 本題改編于三角形全等證明中常出現(xiàn)的“手拉手”模型，當(dāng)題目圖形僅給出一部分，條件又比較隱蔽時(shí)，假如學(xué)生沒有意識，將無從下手.

解法分析

1. 類比思想，讓思路清晰

解法1 △ACD是以AC為一邊所作的等邊三角形，那么在AB上方也可以作一個(gè)等邊三角形，構(gòu)造出一個(gè)“手拉手”模型. 如圖2，以AB為一邊作等邊三角形AEB，可以證得△AEC≌△ABD，所以有EC=BD. 同樣，過點(diǎn)E作垂線交CB的延長線于點(diǎn)F，構(gòu)造出有特殊角60°的直角三角形EBF，那么FB=，EF=，所以FC=. 根據(jù)勾股定理，可得EC=7，即BD=7.

解法2 既然以AB為一邊向上作等邊三角形可以求出BD，那么以AB為邊向里作等邊三角形可以嗎？如圖3，我們發(fā)現(xiàn)有△ABC≌△AED，所以ED=BC=5. 又CD=AC=，過點(diǎn)D作DF⊥BC交BC的延長線于點(diǎn)F，令CF=x，DF=y，在雙直角三角形中，可以列出方程組x2+y2=19，（x+2）2+y2=52，解得x=，y=.因?yàn)椤鰾DF為直角三角形，根據(jù)勾股定理，得BD==7.

解法3 對于解法2，以AB為邊在△ABC內(nèi)部作一個(gè)等邊三角形，若換個(gè)角度理解，也可以認(rèn)為是在BC上截取線段BE=BA=3. 對于數(shù)學(xué)問題，很多時(shí)候方法總是成對的存在，既然截取可以，那么補(bǔ)短是否也行？如圖4，延長BC至點(diǎn)E，使得CE=AB=3，易得△ACE≌△DAB，那么BD=AE，過點(diǎn)A作AF⊥BC于點(diǎn)F，構(gòu)造出一個(gè)含60°角的特殊直角三角形，得AF=，F(xiàn)E=，再根據(jù)勾股定理，得AE=BD=7.

2. 解析幾何，讓思想提升

解法4 解析幾何雖然是高中的知識，但學(xué)生學(xué)習(xí)了直角坐標(biāo)系以后，針對學(xué)有余力的同學(xué)，可以適當(dāng)?shù)亟榻B解析法. 一題多解可以拓展學(xué)生的思維，但多題一解才能真正喚起學(xué)生的求知欲，而解析法，無疑有這樣的作用. 如圖5，以B點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，則A，，C（5，0），D點(diǎn)位于AC的中垂線上，AC的中點(diǎn)坐標(biāo)為E，，則中垂線的解析式為y=x-，且AC=DC=，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為xx>，則有（x-5）2+x-2=19，解得x=，即D，，所以可得BD=7.

3. 模型意識，讓多解歸一

解法5 觀察發(fā)現(xiàn)，∠ABC=∠DAC=60°，如果在射線BA上再構(gòu)造出一個(gè)60°，發(fā)現(xiàn)就是我們在全等中遇到的“一線三等角”模型，所以可延長線段BA至點(diǎn)E，使得∠AED=60°（如圖6）. 可證得△ABC≌△DEA，那么AE=BC=5，DE=AB=3. 所以EB=8. 過點(diǎn)D作DF⊥AE于點(diǎn)F，構(gòu)造一個(gè)有特殊角的直角三角形，利用含30°角的直角三角形的三邊關(guān)系，可得到DF=，BF=，再利用勾股定理，可得BD==7.

解法6 在“一線三等角”模型的基礎(chǔ)上得到了解法5，通過觀察發(fā)現(xiàn)，如果把解法5中的圖形補(bǔ)全，我們可以得到平時(shí)更常見的一種圖形（如圖7），即在一個(gè)大的等邊三角形中套了一個(gè)小的等邊三角形，雖然解法跟解法5類似，但學(xué)生對此解法中的圖形感觸更深.

原來，看似很深?yuàn)W的問題竟然出自平時(shí)課本中常見的圖形，追本溯源找本質(zhì)，返璞歸真于課本，找到模型后，問題便迎刃而解.

變式拓展

經(jīng)過分析我們可以從多個(gè)角度出發(fā)，得到這道題的多種解法，發(fā)散了思維，提升了能力，那這道題就到此為止了嗎？其實(shí)我們還可以繼續(xù)挖掘，形成變式與拓展，繼續(xù)為能力和思維服務(wù). 變式的模式包括“條件與結(jié)論互換”“條件不變結(jié)論變”“結(jié)論不變條件變”等. 如在這道題中，為了讓題目更有梯度，更符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，可以先讓BC=6，那么有∠ACB=30°，即∠BCD為特殊角90°，這種情況下求BD的長比較簡單，然后轉(zhuǎn)變到本題，有一個(gè)從簡入難的過程. 也可以改變條件，如將∠ABC=60°變成∠ABC=30°或∠ABC=45°；還可以讓△ADC變?yōu)楹?0°和60°角的直角三角形或等腰直角三角形，對AC是直角邊還是斜邊又可以進(jìn)行分類討論. 當(dāng)然，這里除了可以求BD的長，還可以求其他角度，求面積，求周長，求位置關(guān)系等，如當(dāng)BC為多少時(shí)BD⊥AC. 變不是盲目地變，我們的變，都要以發(fā)展思維、提高能力、形成素養(yǎng)為出發(fā)點(diǎn).

教學(xué)啟示

1. 從知識層面來說，培養(yǎng)學(xué)生的模型意識是初中數(shù)學(xué)階段一個(gè)很重要的任務(wù). 我們在教學(xué)中強(qiáng)調(diào)模型意識，但并不是指讓學(xué)生一看到題目就去找模型，這與讓學(xué)生深度思考的本質(zhì)有區(qū)別. 模型意識的建立可以避免學(xué)生對知識死記硬背，對一些題目的解決起到意想不到的作用.

2. 從教學(xué)層面來說，為了鍛煉學(xué)生的思維，我們努力挖掘一道題的各種解法，想做到一題多解. 誠然，對水平較高的學(xué)生來說，這種做法對思維的訓(xùn)練有很大的幫助，但我們面對的是所有學(xué)生，一題多解也會讓很多人覺得數(shù)學(xué)深?yuàn)W和繁雜. 在教學(xué)中，教師可以比學(xué)生多走一步，做好歸納與總結(jié)，做好變式與提煉，從一題多解和多題一解中讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的作用與魅力.

3. 從學(xué)生層面來說，學(xué)生對問題的理解是一個(gè)從無到有，需要時(shí)間的探索過程，教師要能彎下身，真正從學(xué)生的角度看問題，慢下來，等一等學(xué)生. 這里的慢下來，一方面指讓速度慢下來，給學(xué)生時(shí)間認(rèn)真思考，因?yàn)閷W(xué)生自己的思考比教師的講解更重要；另一方面，慢下來也指題目難度慢下來，面對一個(gè)難度較大的問題，可按梯度多設(shè)計(jì)幾個(gè)小問題，讓學(xué)生的思維有一個(gè)從簡到難的過程，讓學(xué)生都能參與進(jìn)來，讓學(xué)數(shù)學(xué)變得有成就感.