數(shù)學史的深度審思與有效融入
——以進位制例談數(shù)學教學發(fā)展

徐杏芊 王瑞霖 唐一鵬

(首都師范大學教育學院， 北京 100048)

0 引 言

將數(shù)學史融入數(shù)學教學在教育界已經(jīng)產(chǎn)生了廣泛的共識，數(shù)學給予學生的不僅是知識，更有其背后的歷史與數(shù)學文化的熏陶.而這樣的影響不能僅以教科書旁的幾幅數(shù)學家的頭像，幾個有趣的故事來代替，如何充分的利用數(shù)學史這一文化瑰寶，幫助學生進一步領會數(shù)學的文化內(nèi)涵，重塑數(shù)學觀，是當今數(shù)學教育廣為關注的.

回看人類發(fā)展的歷史，雖不知發(fā)明數(shù)字的具體時代，但其產(chǎn)生比文字還要早幾千年，因此，人類對于數(shù)學的需求毫不遜色.而從簡單的結(jié)繩計數(shù)到十進制的國際化規(guī)范，數(shù)字的變遷經(jīng)歷了漫長的過程.從復雜到抽象,從文字到符號，人類對于數(shù)學符號化，簡潔化的追求從來不曾停歇過.從瑪雅、印度、古埃及、古巴比倫、古希臘到中國，不同地域孕育著不同進制也折射出不同的歷史文化.這漫長的歷史見證了數(shù)學發(fā)展的起點與符號系統(tǒng)的開端，也書寫了數(shù)學史的精華.但由于進位制是數(shù)學的基礎，所以在入學前的家庭教育階段，父母就開始教孩子簡單的數(shù)數(shù).因此，在學生認知過程中，進位制早已成為十分自然的知識，介于低年級學生的能力，并不能體會蘊含其中的數(shù)學意義與數(shù)學文化.為了秉承《普通高中數(shù)學課程標準(實驗版)》(下稱《課標》)，以及核心素養(yǎng)對學生的要求，在高中階段如何展開以數(shù)學文化為基礎的進位制學習？如何基于此進一步培養(yǎng)中學生數(shù)學學習能力？如何尋找數(shù)學史與教學融合的有效方式？這些問題都值得思考.

1 進為制的教學分析

1.1 知識分析

回溯歷史，從公元前兩千年的古埃及象形文字，到公元前一千六百年的中國商代,十進制在不同的文明流域都有發(fā)展.從“九章算術”的劉徽注文中對長度的注解采用了數(shù)名：丈、尺、寸、分、厘、毫、秒、忽，可以看出其對十進制最原始的思考.如今對十進制的解釋，大多公認為是人類有十個手指頭這樣生物上的巧合.當然，在數(shù)學史的發(fā)展中也有二十進制、六十進制、十二進制、五進制、九進制，以及如今應用廣泛的二進制.從數(shù)學進位制在不同流域的發(fā)展中不難看出，進制的發(fā)展一定程度上體現(xiàn)了不同流域的生活以及文化，這不僅體現(xiàn)了數(shù)學史，也從側(cè)面展現(xiàn)了人類發(fā)展的文明.

進位制本質(zhì)是數(shù)基與位置計數(shù)法，要進行廣泛的計數(shù)，就要系統(tǒng)化，即把數(shù)目排列成便于計數(shù)的基本群，群的大小，以所選用的匹配方式而定.即選取某一數(shù)c作為計數(shù)的基，也稱為計數(shù)根或進位制，制定出數(shù)目1，2，3……c的名稱，此時大于c的數(shù)目可以用已選定名稱的數(shù)目組合表示.由此可以看出，任意大于1的整數(shù)都可以稱作為整數(shù)的基，且任意一個數(shù)在兩個確定的基之間可以相互轉(zhuǎn)化，基的選擇可依據(jù)實際情況方便與否來進行選擇.“位置計數(shù)法”是用有限數(shù)碼符號的組合表示任何正整數(shù).

以c進制為例，z表示任意整數(shù)，一般表示方法：

z=zn·cn+zn-1·cn-1+…+z1·c1+c0，

z=znzn-1…z1z0.

進制的統(tǒng)一發(fā)展對數(shù)學的影響是巨大的，數(shù)基與位置記法將數(shù)的表示與運算變得更簡潔.

1.2 學情分析

嚴格來說小學第一次學習數(shù)數(shù)就已近開始接觸進位制：如，一年級認識鐘表、20以內(nèi)位制加法，到后期對于百位、千位、萬位的認識及相關運算都是建立在對進位制認知的基礎上.由于當時學生的知識儲備比較單一，只能將這樣偉大的發(fā)明作為知識來掌握，無法體會其中蘊含的意義.隨著數(shù)學算法引入高中教材，要求加強數(shù)學課程對數(shù)學歷史、文化、運用與發(fā)展的反映.在人教版必修三，第一章，第三節(jié)算法的案例四便以進位制為例,介紹了不同基下進位制的表示及算法，結(jié)合選修3-1，數(shù)學史選講第一章，進一步介紹了進位制的數(shù)學史，在此過程中不僅要讓學生重構(gòu)對進位制本質(zhì)的認知，符號化的應用，也要體會數(shù)學來源于生活需要.教育不僅要培養(yǎng)學生的智力水平，也要提高學生的非智力水平，提升學生數(shù)學素養(yǎng).

1.3 課標分析

高中《課標》明確表示，“力求通過各種不同形式的自主學習、探究活動，讓學生體驗數(shù)學發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，發(fā)展他們的創(chuàng)新意識.”以及“幫助學生了解數(shù)學在人類文明發(fā)展中的重要作用，逐步形成正確的數(shù)學觀，提倡體現(xiàn)數(shù)學的文化價值，并在適當?shù)膬?nèi)容中提出對‘數(shù)學文化’的學習要求.”在教學評價中強調(diào)“關注在過程中表現(xiàn)出來的與人合作的態(tài)度、表達與交流的意識與探索的精神.”《課標》對學習過程，學生自身能力的培養(yǎng)，以及數(shù)學觀念的塑造都有明確的說明，對課程的要求已不再局限于顯性的課堂知識，也有隱性能力的培養(yǎng)，這些在高考中雖然無法量化考核，但對教師日常教學中學生能力的評價卻提出了相關要求.基于弗賴登塔爾的“再創(chuàng)造”理論，從歷史與反思性學習出發(fā)，借助于進位制學習，期望教師能給予學生源于知識高于知識的不同學習體驗.

1.4 數(shù)學文化分析

隨著社會的飛速發(fā)展，文化在教育中的地位已越發(fā)的重要.雖然文化是緘默的，但背后所蘊含的教育價值卻是無限的，數(shù)學文化的價值，對于學生的核心素養(yǎng)的養(yǎng)成具有整體的推動力量.數(shù)學文化可以開拓學生的認知的空間，提升學生的學習意志、情感、興趣與求知的動力，促進學生整體認知結(jié)構(gòu)的形成與發(fā)展，給予視野上的提高，培養(yǎng)學生追求嚴謹?shù)奈ɡ碇髁x的意志.進位制在歷史的發(fā)展中雖然百家爭鳴，但體系內(nèi)嚴謹性與廣泛性的追求卻不曾停歇，其發(fā)展中不斷的累積，進而提升學生的認知維度，塑造更高遠的精神世界.如今進位制的發(fā)展較之于歷史已經(jīng)超乎所以，而這過程中的艱辛與不滿現(xiàn)狀的追求，無異于向?qū)W生展現(xiàn)了不一樣的數(shù)學文化.

2 審思數(shù)學史的進位制教學

由于學生對進位制已有一定了解，為了重構(gòu)學生認知，讓學生從進位制文本知識學習入手，在梳理總結(jié)后，小組合作進一步分析知識背后的原因，討論其中異同，對比體會有無數(shù)學史對數(shù)學學習帶來的影響，主要通過如下五個探究活動進行展開.

活動一：進位制梳理.

高中生的學習經(jīng)歷與認知能力已達到一定水平，接觸、學習過生活中不同的進位制，盡管如此，學生對進位制的內(nèi)涵并沒有系統(tǒng)、實質(zhì)的認知.因此需要將學生關于進位制原有的零碎、感性的認知進行理性而全面的加工與梳理.介紹進位制內(nèi)容的相關書籍以及文章都較為豐富，因此，引導學生自行查閱相關書籍及文獻，培養(yǎng)學生獨立學習、獲取、篩選知識的能力，并整理、重構(gòu)對已有進位制的認知，在此基礎上指導學生通過小組合作的方式，交流總結(jié)，最終理解進位制中數(shù)基與位置計數(shù)方法，并用符號抽象表示進位制，掌握其基本內(nèi)涵.

要求學生利用符號總結(jié)歸納出進位制的表示方法是探究活動的難點所在，這也正是數(shù)學史發(fā)展中數(shù)學家們所遇見的困難，如何用統(tǒng)一的符號規(guī)范化地表示進位制，教師在此過程中可以給予適當?shù)闹笇?

活動二：進位制初講述.

基于一定的知識基礎，教師指導學生回想小學階段學習進位制時的情景與方法，設問：如果現(xiàn)在讓你再去給小學生講授進位制的課程你會如何設計？學生的設計不要求十分完善，形式可以靈活多樣的如：教學片斷、問題串、閱讀材料等均可.

通過換位思考，讓學生理解進位制本質(zhì)的基礎上，站在教師的角度上設計一節(jié)面向小學生的課程.教學是最好的老師，讓學生不僅回顧自身曾經(jīng)的學習狀態(tài)，也通過思考：如何將進制的本質(zhì)傳授給低年級學生，進一步提高認知.這種方式對于學生來說比較新穎，但確是有利的，能迫使他們在回憶、認知的基礎上，充分的理解，這是自主學習的方式，某種程度上，也是一種反思學習.

弗賴登塔爾曾說過：“反思是數(shù)學思維活動的核心動力，‘通過反思才能實現(xiàn)現(xiàn)實世界數(shù)學化’”.雖然國際上對于反思性學習并沒有明確的定義，但是涂榮豹教授認為“反思”屬于元認知概念的范疇，因此要用元認知的理論來描述：反思性數(shù)學學習就是學習者對自身數(shù)學學習活動，以及過程中涉及有關事物的學習特征的反向思考.反思是建構(gòu)主義對于已有知識的重構(gòu)，是立足于過去，指導現(xiàn)在，指向未來的學習活動.因此，不同于過去被動的接受，反思性學習是學生有策略的主動探究行為，有助于提高學生的自我學習能力、探究能力、創(chuàng)造能力，促進學生的全面發(fā)展.利用角色轉(zhuǎn)化讓學生反思，使學生在此過程中產(chǎn)生深刻認知，當然對進位制的反思性學習不是為了停留于現(xiàn)在，更要求對今后其他符號化知識的學習，有更加全面深刻的認知.

活動三：進位制異同分析.

隨著學生的生活經(jīng)驗與學習知識的累積，中學生在現(xiàn)實生活中已經(jīng)能廣泛的接觸到不同的進位制，而這些的進位制并沒有使日常生活變得混亂，反而更加有條不紊.在符號表示進位制的基礎上要求學生進行不同進位制之間的換算、探究，使學生在操作過程中體會進位制本質(zhì)，感受數(shù)基與位置計數(shù)帶來的好處，感受不同進位制之間本質(zhì)差異，正是由于進位制獨有的性質(zhì)，才使得其對于當前數(shù)學發(fā)展帶來的極大貢獻.

在認知的基礎上，請學生獨立的創(chuàng)造性的設計出一套新的進位制，要求明確新進位制的符號和計數(shù)方法，說明在日常生活及數(shù)學方面有哪些運用？新進位制的設計可以完全不同于當前所用的進位制，也可以基于現(xiàn)行進位制做適當修改.學生通過回顧自己低年級所學，發(fā)現(xiàn)、感悟生活中的進位制，在此過程中，進行“再創(chuàng)造”重現(xiàn)歷史，讓學生體會數(shù)學家們?yōu)榱朔奖阌嫈?shù)，發(fā)明計數(shù)系統(tǒng)時，所遇見的困難，進一步培養(yǎng)學生創(chuàng)造力，以及符號化的數(shù)學思維，體會計數(shù)符號對簡化計數(shù)與運算的重要作用.“再創(chuàng)造”思想主要是讓學生在現(xiàn)實活動中通過自己的實踐與思考去“創(chuàng)造”的獲得數(shù)學知識，而不是生吞活剝的將數(shù)學知識灌輸給學生，數(shù)學學習不僅是從概念入手，更要從現(xiàn)實中去認識.因此，在學生創(chuàng)造性發(fā)明的進位制基礎上，建構(gòu)自身對知識的理解.

活動四：進位制發(fā)展的反思.

指導學生自行查找進位制的相關數(shù)學史材料，仔細研讀，歸納總結(jié)不同進位制發(fā)展的原因，并思考，數(shù)學進位制的發(fā)展與人類文明的發(fā)展有什么聯(lián)系？這過程中體現(xiàn)了哪些數(shù)學文化，遇見了哪些困難？最后討論：你認為與之前認知相比，在閱讀數(shù)學史后，給予你哪些新的體會？在學生組內(nèi)討論，教師積可極參與.

正如“一千個讀者，就有一千個哈姆雷特”一樣，不同的學生對于同一數(shù)學史內(nèi)容，會有不同的體會和思考,形成不同的數(shù)學觀.知識有唯一正確的解釋，可是對于數(shù)學史與數(shù)學文化的體會則不可一概而論.教師不必一味宣揚中國古代數(shù)學發(fā)展的輝煌歷史，知識與歷史的傳承沒有國界之分，對于一切值得學習的文化，皆可“拿來主義”，這才是數(shù)學應該展現(xiàn)的包容之心.在此過程中，體會數(shù)學對人類的進化發(fā)展所帶來的巨大的意義，數(shù)學并不是沒有意義，學習數(shù)學也并不是沒有價值，只是這樣的知識與思想早已滲透在日常生活的方方面面，可往往越是些平常的事物才越必不可少，在此過程中讓學生充分體會數(shù)學的價值.

活動五：進位制再講述.

要求在了解完進位制相關的數(shù)學史之后，再設計一節(jié)為小學生講授進位制的課程，讓學生比較前后兩次課程設計有何不同？

將數(shù)學史納入進位制的HPM課堂對于教師來說有一定難度，或許學生還不能做到很好，但活動重點是讓學生經(jīng)歷探究與反思的過程，明白進位制中的原委.通過對比學習數(shù)學史前后對進位制不同的認知，體會所有的知識都有史可尋，有據(jù)可依，形成內(nèi)心的認知沖突，加深對數(shù)學歷史與文化的感觸.學生就能了解孩童時代使用“扳手指”的方式來進行計數(shù)的方式也曾是祖先們的智慧.人類歷史的發(fā)展與個體的發(fā)展總是有些相似與借鑒之處，所以通過對自身學習過程的反思，也是對數(shù)學歷史的探尋，汲取數(shù)學文化的養(yǎng)料，有助于加深學習和思考.反思性學習，不僅要停留在個人的學習階段，更要站在人類發(fā)展的高度，回想在一個符號化、抽象化、知識系統(tǒng)發(fā)展還不完善的歷史時期發(fā)明了進位制，在進位制三千多年漫長的發(fā)展歷史中，數(shù)學已經(jīng)發(fā)生了翻天覆地的變化：無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)、歐式幾何的產(chǎn)生、公理化思想的完善，這一系列的成就都基于此.試回想，如果當時進位制已較為完善，符號化已然成熟，當今的數(shù)學的發(fā)展又該是怎樣的一番光景？

張奠宙教授曾說過：“當前的數(shù)學教學往往局限于一個概念、一個定理、一種思想的局部歷史介紹，缺乏宏觀的歷史進程的綜合性描述，實際上，用宏觀的數(shù)學史進程可以更加深刻的揭示數(shù)學的含義.”在此，基于知識基礎的背景，以反思回顧、自主學習的方式為主，在展現(xiàn)數(shù)學史的過程中，產(chǎn)生與以往截然不同的認知，培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng).

3 總結(jié)與反思

以數(shù)學史與數(shù)學文化為橋梁，以提升學生的能力與素養(yǎng)為目標，超越原有單純知識的數(shù)學教育，從已有的知識與經(jīng)驗出發(fā)，提煉出進位制的本質(zhì)，結(jié)合學生對自我學習過程的反思，這對學生而言，本身就提升認知能力的過程，并進一步培養(yǎng)了學生抽象、推理、模型的數(shù)學思想方法.但，這樣的教學形式對于學生與教師來說都是全新的探索，所產(chǎn)生的教學效果也絕非一兩節(jié)課就能顯現(xiàn)，對學生的隱性能力的培養(yǎng)本身就需要漫長的過程.而且，高考對此并沒有定量的檢測標準，即便如此，這樣的教學模式也值得在核心素養(yǎng)的指導下深入探索.當學生忘記數(shù)學知識后，如果還能留下數(shù)學史對心靈的震撼，數(shù)學文化對心靈的洗滌，這就是教學的成功.