旋波近似下光場與原子電四極矩的相互作用對(duì)原子基態(tài)的修正

紀(jì)晨晨 胡 潔

(首都師范大學(xué)物理系，北京 100048)

0 引 言

由電場的多級(jí)展開理論，剛性多極子在外電場中的勢能為[1]

(1)

1 電偶極項(xiàng)對(duì)原子基態(tài)影響

1.1 光與物質(zhì)耦合

由于磁場相互作用比電場相互作用弱很多，因此這里只考慮電場作用.電子處于固定軌道，只有吸收或放出光子，才會(huì)改變狀態(tài)，故認(rèn)為電子分布不變[2].中性原子或分子與光的相互作用常常用偶極相互作用來描述，電偶極哈密頓量為

(2)

圖1表示堿金屬原子中的基態(tài)S電子軌道和帶有激發(fā)能Ee的激發(fā)P軌道間的最低能量電偶極躍遷，即單電子激發(fā).

圖1 典型的堿金屬原子能級(jí)結(jié)構(gòu)圖，主要的能級(jí)躍遷在圖中用粗線標(biāo)注出，該躍遷是由大失諧耦合激光導(dǎo)致的，大小約為h×400 THz，圖中也畫出了遠(yuǎn)小于它的精細(xì)結(jié)構(gòu)ΔFS[2]

圖1中所示的(n)S態(tài)是在確定的主量子數(shù)n下的最低能級(jí)，即本文中的原子基態(tài)，考慮光與原子耦合后，該基態(tài)能級(jí)將發(fā)生變化，這個(gè)能級(jí)移動(dòng)就是本文給出的光與原子耦合項(xiàng)引起的能量修正.

原子哈密頓量如下

(3)

故系統(tǒng)的總哈密頓量為

(4)

1.2 旋波近似

本文關(guān)注的失諧光場與共振區(qū)相差不遠(yuǎn)，有|Ee-?ω|?Ee.在這個(gè)情況中，常通過如下的幺正轉(zhuǎn)換形式，將原子激發(fā)態(tài)矢|e〉轉(zhuǎn)換到旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系|e′〉=eiωt|e〉

(5)

(6)

旋波近似后，原子部分哈密頓量為

(7)

(8)

這里失諧能Δe=Ee-?ω替代了Ee.

1.3 有效原子基態(tài)哈密頓量

(9)

[2].

(10)

接下來討論兩種情形[2]：

1.3.1無精細(xì)結(jié)構(gòu)情形

若考慮ΔFS=0，那么激發(fā)態(tài)簡并，可完全忽略電子自旋和軌道的耦合作用，則有

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

電偶極對(duì)原子基態(tài)二級(jí)修正為

(16)

運(yùn)用氫原子波函數(shù)ψnlm(r,θ,φ)=Rnl(r)Ylm(θ,φ)進(jìn)行計(jì)算, 將角度部分積分，得

(17)

(18)

上式稱為標(biāo)量光偏移[2].

這個(gè)結(jié)果只能在可妥當(dāng)?shù)暮雎跃?xì)結(jié)構(gòu)時(shí)才能成立，比如當(dāng)Δe=Ee-?ω?ΔFS時(shí)，這就是一個(gè)好的零級(jí)近似.該標(biāo)量光移是一個(gè)與光極化無關(guān)的勢，只與光振幅相關(guān)，對(duì)紅失諧Δe>0的光是吸引勢.這是中性原子感受到的電場造成的勢場.

沒有精細(xì)結(jié)構(gòu)耦合的幫助，激光無法改變堿金屬原子基態(tài)的自旋，這是因?yàn)榧す庵荒芨淖兘莿?dòng)量，而堿金屬原子基態(tài)自旋不包含任何角動(dòng)量成分.這種情形下激光造成了一個(gè)標(biāo)量勢，這個(gè)勢只依賴于激光的總強(qiáng)度，而不依賴于激光的極化方向(偏振)，這就是激光俘獲和光晶格的基本原理[2].Δe依賴于光頻率，由于多普勒效應(yīng)，它也就依賴于原子速度，這就是激光冷卻的基礎(chǔ).

1.3.2有限精細(xì)結(jié)構(gòu)情形

精細(xì)結(jié)構(gòu)包括自旋軌道耦合作用以及與電子自旋無關(guān)的相對(duì)論修正部分，氫原子的相對(duì)論效應(yīng)比較顯著，尤其是其S能級(jí)，堿金屬原子能級(jí)的精細(xì)結(jié)構(gòu)沒有計(jì)入這部分效應(yīng)[5].

(19)

(20)

(21)

(22)

有效哈密頓量為

(23)

2 電四極項(xiàng)對(duì)原子基態(tài)影響

2.1 光與物質(zhì)耦合

上一節(jié)中我們討論了偶極項(xiàng)對(duì)堿金屬原子基態(tài)的影響，但是忽略了電多極矩的影響，現(xiàn)有的涉及光與物質(zhì)相互作用的研究均只考慮了電偶極項(xiàng)，因此我們想討論在何情況中，電四極項(xiàng)作為微擾項(xiàng)對(duì)基態(tài)會(huì)有不可忽略的影響.

我們假設(shè)了一個(gè)處于基態(tài)的堿金屬原子，原子核位于笛卡爾坐標(biāo)系原點(diǎn)，最外層電子的位置為(d1,d2,d3).系統(tǒng)的電四極矩張量為

(24)

(25)

電四極子在外電場中的勢能為

(26)

(27)

原子哈密頓量為

(28)

2.2 旋波近似

然后同1.2中的(6)式處理方式，對(duì)上式進(jìn)行旋轉(zhuǎn)波近似：

(29)

旋波近似后的原子哈密頓量同(7)式，為

(30)

2.3 有效原子基態(tài)哈密頓量

(31)

接下來討論幾種情形：

2.3.1無精細(xì)結(jié)構(gòu)情形

考慮ΔFS=0，則有

(32)

(33)

電四極項(xiàng)對(duì)原子基態(tài)二級(jí)修正為

(34)

運(yùn)用類氫原子波函數(shù)ψnlm(r,θ,φ)=Rnl(r)Ylm(θ,φ)進(jìn)行計(jì)算，將角度部分積分，得

(35)

(36)

圖2 η隨n變化示意圖

可見，在這個(gè)情況中，電偶極矩對(duì)基態(tài)的影響遠(yuǎn)大于電四極矩，因此相對(duì)于電偶極矩，電四極矩對(duì)基態(tài)的影響可忽略不計(jì).

圖3 η隨n變化示意圖

可見，隨著n的增大，電四極矩對(duì)基態(tài)的影響會(huì)進(jìn)一步增大.此時(shí)相對(duì)于電偶極矩，電四極矩對(duì)基態(tài)的影響達(dá)到了遠(yuǎn)大于電偶極矩的級(jí)別，電偶極矩的影響可被忽略.在上一個(gè)波長取為600 nm的情況下，電偶極矩帶來的影響遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過電四極矩，這和該情況是相反的，也就是說，這兩種情況中，電偶極和電四極的影響并不會(huì)同時(shí)呈現(xiàn)，當(dāng)一方作用明顯時(shí)，另一方的效應(yīng)就被壓制.

η也和波矢k有關(guān)，它和波長平方成反比，也就是說，減小光場的波長也會(huì)使得電四極矩勢能項(xiàng)增加.

根據(jù)既有的電場理論我們知道，電四極子的勢能與外場的變化率有關(guān)，也就是說波長相對(duì)原子尺寸越小，電四極子勢能項(xiàng)越大，對(duì)于尺度較小的一般微觀粒子，外電場在這范圍內(nèi)緩變的條件常能成立，因此能用點(diǎn)電荷和偶極子的勢能來代表整個(gè)系統(tǒng)的勢能.當(dāng)涉及到尺度較大的里德堡原子時(shí)，波長相對(duì)其原子尺度較小，因此它的電四極勢較大.這一點(diǎn)和本文計(jì)算得到的結(jié)論是相吻合的.

2.3.2有限精細(xì)結(jié)構(gòu)情形

考慮Hq′對(duì)基態(tài)的二階微擾，有

(37)

(38)

(39)

d1d3S3-d32S1)．

(40)

在加了精細(xì)結(jié)構(gòu)的情況中，我們?nèi)〈艌鰹?，但是要嚴(yán)格討論這一項(xiàng)，還需考慮加了磁場的塞曼效應(yīng)[9]，因此在本文中對(duì)加了精細(xì)結(jié)構(gòu)的這一項(xiàng)暫不進(jìn)行詳細(xì)討論.

3 結(jié) 論

在本文中，我們運(yùn)用旋波近似等方法，主要研究并對(duì)比了不同原子序數(shù)的堿金屬原子的電偶極項(xiàng)和電四極項(xiàng)與光場相互作用對(duì)與原子基態(tài)的影響，發(fā)現(xiàn)隨著主量子數(shù)n的增大，電偶極矩和電四極矩對(duì)基態(tài)的影響會(huì)隨之增大，在光場模長不同的情況下，電偶極和電四極的影響并不會(huì)同時(shí)呈現(xiàn)，當(dāng)一方作用明顯時(shí)，另一方的效應(yīng)就被壓制.此外，減小光的波長也會(huì)使得原子電四極勢增大.