摭談導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用

☉云南省曲靖市會(huì)澤實(shí)驗(yàn)高中 許德福

我們知道，函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是：曲線y=f（x）在點(diǎn)P（x0，f（x0））處的切線的斜率k等于f′（x0）.利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可以用來(lái)求解曲線y=f（x）在點(diǎn)P（x0，f（x0））處的切線的斜率、切點(diǎn)、切線方程、參數(shù)等問題.導(dǎo)數(shù)的幾何意義是每年高考考查是熱點(diǎn)之一，有時(shí)直接考查相關(guān)的幾何意義，但經(jīng)常也通過(guò)幾何意義的變換來(lái)加以考查，注意這是一大導(dǎo)向.下面結(jié)合實(shí)例剖析其應(yīng)用.

一、切線斜率問題

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，曲線在切點(diǎn)處的斜率就是對(duì)應(yīng)的該點(diǎn)處的導(dǎo)函數(shù)的值.

例1已知函數(shù)f（x）=ex，x∈R，若直線y=kx+1與f（x）的反函數(shù)的圖像相切，求實(shí)數(shù)k的值.

分析：結(jié)合反函數(shù)的定義，通過(guò)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立關(guān)系式加以求解.

解：f（x）的反函數(shù)為g（x）=lnx，設(shè)直線y=kx+1與g（x）=lnx相切于點(diǎn)P（x0，y0），則有

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合相關(guān)直線與曲線相切的條件來(lái)建立關(guān)系式，考查運(yùn)算能力與應(yīng)用能力等.

二、切線方程問題

通過(guò)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合切線斜率的求解，利用直線方程解決與之相關(guān)的切線方程.

分析：根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)確定相應(yīng)的函數(shù)解析式，通過(guò)求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義確定切線的斜率，利用直線的點(diǎn)斜式方程即可求解與化簡(jiǎn).

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、切線的求法，關(guān)鍵考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義等基本知識(shí)，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決具體問題的能力，以及各相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的聯(lián)系與綜合能力等.

三、切線交點(diǎn)問題

結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用題目條件中的直線的位置關(guān)系可以用來(lái)求解對(duì)應(yīng)的切線坐標(biāo).

例3 設(shè)曲線y=ex在點(diǎn)（0，1）處的切線與曲線y=（x>0）上點(diǎn)P處的切線垂直，則P的坐標(biāo)為________.

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合已知條件中切線的斜率，求出相應(yīng)的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再代入原曲線方程，求解對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)坐標(biāo).關(guān)鍵是導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算與導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用.

四、切線參數(shù)問題

利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合切線的斜率、切線方程等條件可以用來(lái)解決與切線有關(guān)的參數(shù)取值問題.

例4 已知曲線y=x+lnx在點(diǎn)（1，1）處的切線與曲線y=ax2+（a+2）x+1相切，則a=________.

分析：結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，根據(jù)曲線過(guò)已知點(diǎn)確定切線的方程，利用該切線與相關(guān)曲線相切，通過(guò)聯(lián)立方程結(jié)合判別式來(lái)求解相關(guān)的參數(shù)值.

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及方程組的求解，關(guān)鍵結(jié)合題目條件建立相應(yīng)的關(guān)系式進(jìn)而求解相應(yīng)的參數(shù)值問題.

五、切線條數(shù)問題

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)求解對(duì)應(yīng)的導(dǎo)函數(shù)中的自變量的值，進(jìn)而確定滿足條件的切線條件問題.

例5 已知曲線C：y=3x-x3及點(diǎn)P（2，2），則過(guò)點(diǎn)P可向C引切線的條數(shù)為________條.

分析：當(dāng)點(diǎn)不在曲線上時(shí)，要先設(shè)出切點(diǎn)，求出相應(yīng)切線的斜率，寫出相應(yīng)的切線方程，把已知點(diǎn)代入切線方程，求出所設(shè)切點(diǎn)中的未知數(shù)，根據(jù)未知數(shù)的解的個(gè)數(shù)確定滿足條件的切線的條數(shù).

解：由于y′=3-3x2，設(shè)切點(diǎn)Q（x0，y0），則切線l的斜率為k=3-3x02，則切線l的方程為y-y0=（3-3x02）（x-x0），即y=（3-3x02）x+2x03.

由點(diǎn)P（2，2）在直線l上，故2=（3-3x02）×2+2x03.

所以（x0-1）（x02-2x0-2）=0，解得x0=1或x0=1+或x0=1-

所以過(guò)點(diǎn)P向C可引3條切線，故填答案：3.

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于點(diǎn)不在曲線上的切線問題，要先確定所給的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足曲線方程，此時(shí)要先設(shè)出相應(yīng)的切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出相應(yīng)切線的斜率，再結(jié)合直線的點(diǎn)斜式方程求出含參數(shù)的切線方程，再把已知點(diǎn)代入求解出對(duì)應(yīng)的參數(shù)，進(jìn)而解得切線方程.

六、切線應(yīng)用問題

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可以用來(lái)解決與導(dǎo)數(shù)的幾何意義、切線等相關(guān)問題有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用問題、綜合交匯問題等.

例6若函數(shù)y=f（x）的圖像上存在兩點(diǎn)，使得函數(shù)的圖像在這兩點(diǎn)處的切線互相垂直，則稱y=f（x）具有T性質(zhì).下列函數(shù)中具有T性質(zhì)的是（ ）.

A.y=sinx B.y=lnx C.y=exD.y=x3

分析：結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義與導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，通過(guò)各自求導(dǎo)，結(jié)合題目條件，必須使得兩點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值的乘積必須是-1，結(jié)合導(dǎo)數(shù)值的取值情況加以分析與應(yīng)用.

點(diǎn)評(píng)：通過(guò)創(chuàng)新定義，把導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算與導(dǎo)數(shù)的幾何意義綜合起來(lái)，用來(lái)解決兩切線的位置關(guān)系問題.解答本題的關(guān)鍵是正確理解題中的創(chuàng)新定義，要使得函數(shù)的圖像在這兩點(diǎn)處的切線互相垂直，那么這兩點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值的乘積必須是-1，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的取值情況加以排除比較容易掌握.

導(dǎo)數(shù)的幾何意義在高考中的考查方式往往是通過(guò)給定切線的方程、切線的斜率、切線與已經(jīng)直線的位置關(guān)系等，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、關(guān)系式的確定等來(lái)求解切線的相關(guān)問題（斜率、方程）、參數(shù)問題、切線的條數(shù)等，是高考中比較常見的考點(diǎn)之一，也是我們平時(shí)要加以熟練掌握的一個(gè)知識(shí)點(diǎn).

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