例談高中數(shù)學(xué)中的抽象函數(shù)問題

☉山西省呂梁市賀昌中學(xué) 高永亮

高中數(shù)學(xué)中，函數(shù)部分在高考中是重點(diǎn)也是難點(diǎn)，其中抽象函數(shù)問題，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中普遍覺得理解困難，不易掌握，筆者對抽象函數(shù)部分的內(nèi)容進(jìn)行整理與分析，供廣大師生在教與學(xué)中參考與借鑒.

所謂抽象函數(shù)是指沒有明確給出函數(shù)表達(dá)式，只給出它具有某些特征或性質(zhì)，并用符號關(guān)系式表示的函數(shù).

一、抽象函數(shù)與定義域

題型一：已知函數(shù)y=f（x）的定義域，求函數(shù)y=f（g（x））的定義域

例1已知函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)椋?2，2］，求函數(shù)y=f（x-1）+f（x+1）的定義域.

解析：由函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)椋?2，2］，因此有-2≤x-1≤2且-2≤x+1≤2，得-1≤x≤1，因此y=f（x-1）+f（x+1）的定義域?yàn)椋?1，1］.

說明：已知函數(shù)y=f（x）的定義域，對于函數(shù)y=f（g（x）），g（x）整體作為y=f（x）中自變量，它的函數(shù)值屬于y=f（x）的定義域，由此推導(dǎo)出g（x）中x的取值范圍，就是y=f（g（x））的定義域.

題型二：已知函數(shù)y=f（g（x））的定義域，求函數(shù)y=f（x）的定義域

例2已知函數(shù)y=f（2x-4）的定義域?yàn)椋?1，2］，求函數(shù)y=f（x）的定義域.

解析：由函數(shù)y=f（2x-4）的定義域?yàn)椋?1，2］，知-1≤x≤2，得-6≤2x-4≤0.因此函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)椋?6，0］.

說明：函數(shù)y=f（g（x））的定義域，就是通過g（x）中自變量x的取值范圍，進(jìn)一步推導(dǎo)出g（x）的值域，就是y=f（x）的定義域.

二、抽象函數(shù)與求值及抽象函數(shù)與單調(diào)性

例3設(shè)函數(shù)y=f（x）是定義在R上的函數(shù)，對于m，n∈R，恒有f（m+n）=f（m）·f（n）（f（m）≠0，f（n）≠0），且x>0時(shí)，0

（1）（f0）=1；

（2）x∈R時(shí)，恒有（fx）>0成立；

（3）函數(shù)y=（fx）在R上為減函數(shù).

證明：（1）令m=0，由f（m+n）=f（m）·f（n），得f（n）=（f0）·（fn）.又（fn）≠0，得（f0）=1.

（2）由（fm+n）=（fm）·（fn），得（fx）·（f-x）=（f-x+x）=（f0）=1.

當(dāng)x>0時(shí)，由題意得0<（fx）<1；當(dāng)x=0時(shí)，由（1）得（f0）=1；當(dāng)x<0時(shí)，（f-x）∈（0，1）

綜上所得，x∈R時(shí)，恒有（fx）>0成立.

（3）設(shè)x1，x2∈R且x10，則（fx）2=［f（x2-x）1+x1］=（fx-x）·（fx），即（fx2）=（fx-x）<1.

又（fx1）>0，得（fx2）<（fx1），因此函數(shù)y=（fx）在R上為減函數(shù).

說明：這類問題的難點(diǎn)是第（3）問，關(guān)鍵是構(gòu)造x2=（x2-x1）+x1，從而巧妙地得到即（fx2）<（fx1），進(jìn)而判定出函數(shù)y=（fx）在R上為減函數(shù).

三、抽象函數(shù)與奇偶性

例4已知函數(shù)y=f（x）是定義在R上的不恒等于零的函數(shù)，對于x，y∈R，恒有f（x·y）=yf（x）+xf（y），判定函數(shù)y=f（x）的奇偶性.

解析：令x=y=1，由f（x·y）=yf（x）+xf（y），則f（1）=f（1）+f（1），所以f（1）=0.

再令x=y=-1，由f（x·y）=yf（x）+xf（y），則f（1）=-f（-1）-f（-1），即f（-1）=0.令y=-1，由f（x·y）=yf（x）+xf（y），則f（-x）=-f（x）+xf（-1）=-f（x），因此函數(shù)y=f（x）為奇函數(shù).

說明：對于給定抽象函數(shù)關(guān)系式，要判定其奇偶性，思路同樣比較清晰，在給定關(guān)系式中，只要對變量能靈活賦值并且構(gòu)造出關(guān)于f（-x）與f（x）的關(guān)系式，一般就可以判定函數(shù)y=f（x）的奇偶性.

四、抽象函數(shù)與對稱性

例5（1）若函數(shù)y=f（x）滿足f（3+x）=f（3-x），則函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于直線________對稱.

（2）若函數(shù)y=f（x）滿足f（x+3）=-f（5-x），則函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)________中心對稱.

解析：（1）令y=f（3+x）=f（3-x），知函數(shù)y=f（x）的圖像上任一點(diǎn)（3+x，y），總有一點(diǎn)（3-x，y）與它對應(yīng)，而點(diǎn)（3+x，y）與點(diǎn)（3-x，y）關(guān)于直線x=3對稱，因此函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于直線x=3對稱.

（2）令y=f（x+3）=-f（5-x），知函數(shù)y=f（x）的圖像上任一點(diǎn)（3+x，y），總有一點(diǎn)（5-x，-y）與它對應(yīng)，而點(diǎn)（3+x，y）與點(diǎn)（5-x，-y）關(guān)于點(diǎn)（4，0）中心對稱，因此函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)（4，0）中心對稱.

說明：一般地，（1）若函數(shù)y=f（x）對于定義域內(nèi)的任一自變量x都有f（a+x）=f（b-x），則函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于直線對稱；（2）若函數(shù)y=f（x）對于定義域內(nèi)的任一自變量x都有f（x+a）=-f（b-x），則函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于

五、抽象函數(shù)與周期性

例6已知函數(shù)y=f（x）在定義域內(nèi)的最小正周期為T.

（1）若f（x+1）=-f（x），求函數(shù)y=f（x）的周期T；

（3）若f（x+2）=f（x+1），求函數(shù)y=f（x）的周期T.

解 析 ：（1）由f（x+1）=-f（x），得f（x+2）=f［（x+1）+1］=-f（x+1）=f（x）.

因此函數(shù)y=f（x）為周期函數(shù)，且函數(shù)的周期T=2.

因此函數(shù)y=f（x）為周期函數(shù)，且函數(shù)的周期T=2.

（3）由f（x+2）=f（x+1），得f（x+1）=f［（x-1）+2］=f（x）.

因此函數(shù)y=f（x）為周期函數(shù)，且函數(shù)的周期T=1.

說明：一般地，（1）函數(shù)y=f（x）在定義域內(nèi)恒有f（x+a）=-f（x），則函數(shù)y=f（x）為周期函數(shù)，且函數(shù)的周期T=2|a|；（2）函數(shù)y=f（x）在定義域內(nèi)恒有，則函數(shù)y=f（x）為周期函數(shù)，且函數(shù)周期T=2|a|；（3）函數(shù)y=f（x）在定義域內(nèi)恒有f（x+a）=f（x+b），則函數(shù)y=f（x）為周期函數(shù)，且周期T=|a-b|.

六、通過函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、對稱性、周期性等性質(zhì)綜合解答抽象函數(shù)中的不等式及其他綜合應(yīng)用問題

說明：綜合利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、對稱性、周期性解決抽象函數(shù)的問題是函數(shù)中的難點(diǎn)，也是高考的熱點(diǎn)，這方面要求學(xué)生一定要靈活運(yùn)用各種性質(zhì)，并熟練掌握這些性質(zhì)的使用方法.

通過上面對抽象函數(shù)幾個(gè)方面應(yīng)用問題的研究，我們應(yīng)該認(rèn)識(shí)到理解抽象函數(shù)問題重在掌握相關(guān)概念并能靈活應(yīng)用，合理使問題由抽象思維轉(zhuǎn)化到具體的處理模式.上面內(nèi)容是筆者的淺見，希能給廣大師生在這方面的學(xué)習(xí)過程中有所幫助，不到之處大家批評指正.F