多面體外接球半徑的幾種求法

龐建榮

摘 要：與多面體的外接球有關(guān)的計算問題在近年高考試題中屢見不鮮，本文就長方體、正方體及棱錐的外接球有關(guān)問題，給出了幾種常見的解法。

關(guān)鍵詞：多面體外接球；半徑問題；解法

《普通高中數(shù)學(xué)課程標準》中對立體幾何初步的學(xué)習(xí)提出了基本要求：“在立體幾何初步部分，學(xué)生將先從對空間幾何體的整體觀察入手，認識空間圖形；再以長方體為載體，直觀認識和理解空間點、線、面的位置關(guān)系；┅ ┅。”由此可見，長方體模型是學(xué)習(xí)立體幾何的基礎(chǔ)，掌握長方體模型，對于學(xué)生理解立體幾何的有關(guān)問題起著非常重要的作用。有關(guān)外接球的立體幾何問題是近年各省高考試題的熱點之一，這與學(xué)生的空間想象能力以及化歸能力有關(guān)，本文通過近年來部分高考試題中外接球的問題談幾種解法。

一、直接法

（一）與長方體的外接球的有關(guān)問題

例1、一個長方體的各頂點均在同一球面上，且一個頂點上的三條棱長分別為1，2，3，則此球的表面積為_______。

解析：關(guān)鍵是求出球的半徑，因為長方體內(nèi)接于球，所以它的體對角線正好是球的直徑。長方體體對角線長為■，故球的表面積為14π。

（二）與棱柱的外接球的有關(guān)問題

例2、一個六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點都在同一個球面上，且該六棱柱的體積為■，底面周長為3，則這個球的體積為_______。

解析：設(shè)正六棱柱的底面邊長為x，高為h，則有6x=36×■x2h=■， ∴x=■h=■

∴正六棱柱的底面園的半徑r=■，球心到底面的距離d=■

∴外接球的半徑R=■=1， ∴V球=■

小結(jié)：以上題型是運用公式R2=r2+d2求球半徑的，該公式是求球半徑的常用公式。

二、構(gòu)造法

（一）構(gòu)造正方體

例3、若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長均為■，則其外接球的表面積是__________

解析：此題用一般解法，需要作出棱錐的高，然后再設(shè)出球心，利用直角三角形計算球的半徑，而作為填空題，我們更想使用較為便捷的方法，所以三條側(cè)棱兩兩垂直，使我們很快聯(lián)想到長方體的一個角，馬上構(gòu)造長方體，且側(cè)棱長均相等，所以可構(gòu)造正方體模型，那么三棱錐的外接球的直徑即為正方體的對角線長，故所求表面積是9π。

例4、四面體的所有棱長都為■，四個頂點在同一球面上，則此球的表面積為 （ ）

A.3π B.4π C.3■π D.6π

解析：一般解法，需設(shè)出球心，作出高線，構(gòu)造直角三角形，再計算球的半徑.在此，由于所有棱長都相等，我們聯(lián)想只有正方體中有這么多相等的線段，所以構(gòu)造一個正方體，再尋找棱長相等的四面體，由此可求得正方體的棱長為1，體對角線為■，從而外接球的直徑也為■，所以此球的表面積便可求得，故選A.

（二）構(gòu)造長方體

例5、已知點A、B、C、D在同一球面上，AB⊥平面BCD，BC⊥DC，若AB=6，AC=2■，AD=8，則B、C兩點間的球面距離是_________

解析：首先通過聯(lián)想可構(gòu)造如下的長方體，于是AD為球的直徑，O為球心，OB=OC=4為半徑，要求B、C兩點間的球面距離，只要求出∠BOC即可，在Rt△ABC中，求出BC=4，所以∠BOC=60°，故B、C兩點間的球面距離是■π。

三、確定球心位置法

例6、在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC將矩形ABCD折成一個直二面角B-AC-D，則四面體ABCD的外接球的體積為（ ）

A.■π B.■π

C.■π D.■π

解析：設(shè)矩形對角線的交點為0，則由矩形對角線互相平分，可知OA=OB=OC=OD，

∴點O到四面體的四個頂點A、B、C、D的距離相等，即點O為四面體的外接球的球心，如圖4所示。

∴外接球的半徑R=OA=■π，故V球=■π，選C。

四、尋求軸截面圓半徑法

例7、正四棱錐S-ABCD的底面邊長和各側(cè)棱長都為■，點S、A、B、C、D都在同一球面上，則此球的體積為____

解析：根據(jù)題意，我們可以選擇最佳角度找出含有正棱錐特征元素的外接球的一個軸截面圓，于是該圓的半徑就是所求的外接球的半徑.設(shè)正四棱錐的底面中心為O1，外接球的球心為O，如圖5所示.

∴由球的截面的性質(zhì)，可得OO1⊥平面ABCD.又SO1⊥平面ABCD

∴球心O必在SO1所在的直線上.

∴△ASC的外接圓就是外接球的一個軸截面圓，外接圓的半徑就是外接球的半徑.

在△ASC中，由SA=SC=■，AC=2，得SA2+SC2=AC2.

∴△ASC是以AC為斜邊的Rt△.

∴■=1是外接圓的半徑，也是外接球的半徑.故V球=■.

參考文獻；

[1]嚴士健，王尚志.，普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學(xué)2（必修） [M]北京.北京師范大學(xué)出版社，2009.

[2]普通高中課程標準實驗教科書，必修2.人民教育出版社.2009.

[3]王占平，王雪峰等，能力與思維導(dǎo)圖.北京教育出版社，2010.