高中立體幾何解法解析

蔡劍鋒

【摘要】 在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)階段，立體幾何是一個難點也是重點，而如何解決立體幾何問題，這就需要教師通過一定的教學(xué)手段，讓學(xué)生們正確認(rèn)識以及通過正確的思維方法處理、解決立體幾何圖形問題，這樣也會對學(xué)生所掌握基礎(chǔ)知識以及應(yīng)用水平有很大影響.因此，本文中基于本人自身多年的教學(xué)經(jīng)驗，總結(jié)分析了幾點關(guān)于立體幾何問題解題的技巧.

【關(guān)鍵詞】 立體幾何；解法；高中教學(xué)

立體幾何問題是高考中的一個重點，同時也是一個難點，因此，高中學(xué)生必須重點掌握.但是由于立體幾何明顯的多變性特征，再加上絕大部分高一學(xué)生邏輯思維能力不夠完善，缺少一定的解題技巧，因此，在立體幾何解題方面有較大的困難.所以，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的過程之中，教師需要培養(yǎng)學(xué)生運用空間想象力以及邏輯思維能力進行解題，從而達到提高學(xué)生解題能力的目標(biāo).

一、將立體幾何與生活相結(jié)合

教師們可以將生活中的立體幾何與數(shù)學(xué)中的立體幾何相結(jié)合.比如說，在上立體幾何的新課之前，可以先引導(dǎo)學(xué)生觀察一些常見的物體，并讓學(xué)生自行描述、概況和總結(jié)這些物體的幾何特征，這樣可以讓學(xué)生感覺立體幾何存在于我們的日常生活中，學(xué)習(xí)的熱情不自覺地也就有所提升，同時還減少了學(xué)生對立體幾何的恐懼感.

二、教會學(xué)生運用畫圖方法

教會學(xué)生畫圖，從而更好地解題，也是立體幾何一種學(xué)習(xí)策略.例如，“直線與平面垂直的判定”這一部分的知識，學(xué)生必須弄清定義“若一條直線和一個平面內(nèi)的任何一條直線垂直，則這條直線和這個平面垂直”.根據(jù)其定理再進行有關(guān)延伸，學(xué)生能夠轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言：m為直線，n為平面β中的任意一條直線，若m⊥n，那么m⊥β，說明學(xué)生對該基礎(chǔ)知識有所掌握，教師再根據(jù)定義，對判定依據(jù)“如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線就垂直于這個平面”進行講解和舉例，最后，根據(jù)各條判定條件進行有關(guān)的舉例和練習(xí).除了以上的將一般問題特殊化、表面距離平面化之外，面臨立體幾何中的最值問題求解時，我們可以先根據(jù)題目條件構(gòu)造出一個由所求變量所組成的目標(biāo)函數(shù)，函數(shù)構(gòu)造完以后，通過函數(shù)最值的求法算出我們需要的結(jié)果.在求解的過程中我們可以運用配方法、判別式法、三角法等等.

例1 （2014年高考廣東卷文科第18題）四邊形ABCD為一個矩形（圖1），PD⊥平面ABCD，AB=1，BC=PC=2，做如圖2折疊：折痕EF，其中點E，F(xiàn)分別在線段PD，PC上，沿EF折疊后點P疊在線段AD上的點記為M，并且MF⊥CF.

（1）證明：CF⊥平面MDF.

（2）求三棱錐M-CDE的體積.

分析 （1）根據(jù)已知條件“PD⊥平面ABCD”，采用面面垂直的定理可得MD⊥CF，然后結(jié)合MF⊥CF，通過線線垂直得知CF⊥平面MDF；

（2）根據(jù)已知條件和構(gòu)造輔助圖形，可以得知MD= 6 2 ，S△CDE= 3 8 ，因此，VM-CDE= 1 3 S△CDE·MD= 2 16 .

三、空間想象力

幾何上的三視圖，首先，是要習(xí)慣從立體的角度看待問題，把立體問題平面化，然后，再運用平面幾何知識解題.關(guān)鍵是要掌握立體幾何定理，比如，空間直線、直線和平面的關(guān)系、平面和平面的關(guān)系、簡單的幾何體.在解答一些立體幾何問題過程中，例如，求立體幾何中的范圍、最值等問題時，如果能夠靈活地運動空間想象力來轉(zhuǎn)變圖形，也可以通過一些物體內(nèi)在的變化分析問題、解決問題，便能夠正確、迅速地解答出立體幾何題.

例2 如圖3所示，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是一個直角三角形，∠ABC=90°，BC=CC1= 2 ，AC=6，BC1上有一個隨意移動的點P，問CP+PA1的最小值.

分析 這道題考查一個運動變化中解答最小值距離的知識點，可以采用變化圖形的方法進行解答，將立體幾何問題轉(zhuǎn)變?yōu)槠矫鎺缀沃R來進行解答.

將A1與B連接起來，順著BC1把△CBC1展開，△A1B1C1在一個平面內(nèi)，如圖4所示，再將A1與C連接起來，因此，A1C2的長度便是CP+PA1的最小值，根據(jù)計算得知，∠A1C1C=90°，∠BC1C=45°，因此∠A1C1C2=135°.按照余弦定理能夠算出A1C2=5 2 ，便是CA+PA的最小值便是5 2 .

四、總 結(jié)

教師要注重培養(yǎng)學(xué)生的靈活的空間想象力和動手畫圖能力.立體幾何中所涉及的圖形較多，所考查的內(nèi)容也較多，教師要根據(jù)教學(xué)大綱要求，根據(jù)學(xué)生的掌握程度來進行適當(dāng)分解，只有這樣，立體幾何才能更容易被理解和消化.