高考數(shù)學中圓錐曲線試題解法探究

丁宇韜

[摘 要] 圓錐曲線相關(guān)知識點是高中數(shù)學的一個重點和難點，同時也是高考數(shù)學的必考內(nèi)容之一. 在解答圓錐曲線相關(guān)試題過程中，巧用特殊值法、幾何法、參數(shù)方程等方法往往可以避免繁雜的計算，從而達到事半功倍的效果.

[關(guān)鍵詞] 圓錐曲線：解析法；特殊值法；幾何法；參數(shù)方程

圓錐曲線相關(guān)知識點一直是我們高中數(shù)學學習的難點，但卻也是高考重點.在近幾年的新課標全國卷試題中圓錐曲線的相關(guān)內(nèi)容所占分值為22分，考查的形式為“兩小一大”，分別是一道填空題、一道選擇題和一道解答題，而考查的內(nèi)容除了對基本概念和性質(zhì)的掌握，更考查我們的計算能力，以及分析和解決問題的能力. 圓錐曲線試題中繁雜的計算不但會花掉大量寶貴的考試時間，而且也容易出錯，往往得不償失. 因此在解答時間有限的情況下，采用簡單有效的解題方法是得分的關(guān)鍵. 本文結(jié)合自己在解決圓錐曲線相關(guān)問題中的體會，總結(jié)了以下幾點解決方法，供大家參考.

特殊值法

例1：如圖1，A1，A2為橢圓+=1的長軸的左、右端點，O為坐標原點，S，Q，T為橢圓上不同于A1，A2的三點，直線QA1，QA2，OS，OT圍成一個平行四邊形OPQR，則OS2+OT2等于（ ）

A. 5 B. 5+

C. 15 D. 21

方法一：解析法

設(shè)Q（x0，y0），S（x1，y1），T（x2，y2），則y=（16-x）. 設(shè)直線OS，OT的方程分別為：y=k1x，y=k2x，則kA2Q=k1，kA1Q=k2，則k1·k2=·==-. 由y=k1x，+=1，計算得出x=，y=. 同理，y=，y=. 由兩點間距離公式可知：

OS2+OT2=x+y+x+y=+

=+

==21.

方法二：特殊值法

由橢圓+=1，焦點在x軸上，當Q選在短軸的端點上，取Q（0，）. 因為A1（-4，0），A2（4，0），知QA1斜率為k=，即直線OT方程為y=x，由y=x，+=1，

計算可得T點坐標為T2，，故OT=. 由對稱性可以知道OS=OT=，從而得OS2+OT2=21.

從此例可以看出，與解析法相比較，特殊值法有效地避免了復(fù)雜的計算過程，節(jié)約了做題時間.特殊值法是我們解答選擇題和填空題的最好方法之一. 同時，特殊值法也是我們在解答填空題時的優(yōu)選方法之一.

幾何法

例2：設(shè)橢圓：+=1（a>b>0）的右頂點為A、右焦點為F，B為橢圓E在第二象限上的點，直線BO交橢圓E于另一點C（O為坐標原點），若直線BF平分線段AC，則橢圓的離心率為（ ）

A. B.

C. D.

方法一：解析法

延長BF與AC交于M，由已知條件知A（a，0），F(xiàn)（c，0），設(shè)B（x0，y0），C（-x0，-y0），則M，. 利用B，F(xiàn)，M三點共線可知kBF=kFM，則=？圯-c=？圯-c=？圯=，從而可以得到： e==.

方法二：幾何法

連接OM，則OM為△ABC的中位線，于是△OFM∽△AFB，且=，即=？圯e==.

從此例可以看出，與解析法相比較，靈活運用平面幾何知識同樣可以避免繁雜的計算.

參數(shù)方程

例3：已知橢圓C：+=1（a>b>0）的左焦點為F，A1，為橢圓上一點，AF交y軸于點M，且M為AF的中點.

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）直線L與橢圓C有且只有一個公共點A，平行于OA的直線交L于P，交橢圓C于不同的兩點D，E，問是否存在常數(shù)λ，使得PA2=λPD·PE？若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由.

解：（Ⅰ）橢圓的方程為+y2=1；

（Ⅱ）方法一：直線L的方程為+=1. 設(shè)直線DE的方程為y=x+t，解方程組y=x+t，+y2=1消y得x2+tx+t2-1=0. 設(shè)D（x1，y1），E（x2，y2），則x1+x2=-t，x1x2=t2-1，從而PD·PE=xP-x1·xP-x2=x-xP（x1+x2）+x1x2. 聯(lián)立L的方程和DE的方程得P點坐標xP=，yP=. 從而，PD·PE=t2，AP2=-12+-2=t2，所以，λ=1.

方法二：直線L的方程為+=1. 設(shè)P（x0，y0），P在直線L上，則x0+y0-2=0. 設(shè)DE的傾斜角為α，由DE平行于OA得cosα=，sinα=，

所以設(shè)DE的參數(shù)方程為x=x0+t，y=y0+t（t為參數(shù)），代入+y2=1得x0+t+2y0+t-2=0，

即t2+x0+y0t+x+2y-2=0. 設(shè)此方程兩個根分別為t1和t2，則

PD·PE=t1t2==3y-3y0+，

PA2=（x0-1）2+y0-=x+y-2x0-y0+=3y-3y0+，故PA2=PD·PE，從而得λ=1.

從此例可以看出，利用直線的參數(shù)方程避免了P點坐標的計算，從而降低了計算難度.另外，利用圓錐曲線的參數(shù)方程形式可以將圓錐曲線上任意的坐標用三角函數(shù)表示，進而借助于三角函數(shù)知識有效解決相關(guān)問題，如下例.

例4：在橢圓+=1求一點P，使P到直線L：x+2y-10=0的距離最小.

解：方法一：將直線平移至與橢圓相切，切點即為所求.

方法二：設(shè)橢圓參數(shù)方程為x=3cosφ，y=2sinφ （φ為參數(shù)），

設(shè)P（3cosφ，2sinφ）為橢圓上任意一點，則P到直線L：x+2y-10=0的距離d==.所以，當φ=φ0時d取得最小值，其中φ0滿足cosφ0=，sinφ0=，此時3cosφ=3cosφ0=，2sinφ=2sinφ0=，

所以當P點為P，時，到直線L：x+2y-10=0的距離最小，最小值為.