探究數(shù)列問題的思想方法

卓雅

[摘 要] 數(shù)列是高中的主干內容，是學習基礎數(shù)學不可或缺的知識，高考對數(shù)列的綜合性及創(chuàng)新性要求較高，注重思維方法和邏輯推理的考查. 本文就2015年廣東卷的一道數(shù)列壓軸題進行分析拓展，給出了相應的教學建議，希望對師生有所幫助.

[關鍵詞] 數(shù)列；等比數(shù)列；化歸思想；縮放法

高考數(shù)列題型綜合性強，注重知識點之間的結合，難度較大，解決此類問題要從基礎入手，注意思維方式以及通性方法的學習. 課堂教學以引導為主，注重思路的拓展和邏輯推理，通過對真題的變式分析提升學生的解題能力.

真題呈現(xiàn)

試題（2015年廣東卷）數(shù)列{an}滿足a1+2a2+3a3+···+nan=4-，n∈N.

（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）求數(shù)列的前n項之和Tn；

（3）令b1=a1，bn=+1+++…+an（n≥2），證明：數(shù)列{bn}的前n項之和Sn滿足Sn<2+2lnn.

解法探究及評析

1. 解法探究

（1）對于題干所給出的條件“a1+2a2+3a3+···+nan=4-”，可以利用“an=Sn-Sn-1（n≥2）”求解.

當n≥2時，設Mn=a1+2a2+3a3+…+nan=4-，則Mn-1=a1+2a2+3a3+…+（n-1）an-1=4-，Mn-Mn-1=nan=-=，所以an=n-1.

又因為a1=4-=1=1-1也符合條件，所以可得an=n-1.

（2）由（1）可知，數(shù)列{an}是等比數(shù)列，它的首項為1，公比為，因此它的前n項之和為Tn==2-n-1.

（3）證明：根據(jù)題意可知，當n≥2時，bn=+1++…+·an，b1=a1，b2=+1+a2，b3=+1++a3，所以有Sn=b1+b2+b3+…+bn=1++…+·（a1+a2+an+…+an）=1++···+Tn=1+++…+·2-<21++…+.

由問題所證明的結論“Sn<2+2lnn”入手，利用縮放法可得出Sn<21+++…+后，則問題可以轉化為求證21+++…+<2+2lnn=2（1+lnn），即++…+

因上式不等式的左邊有（n-1）項，則可以考慮將lnn分裂為n-1項的和，又可知lnn=lnn-ln（n-1）+ln（n-1）-ln（n-2）+…+ln2-ln1=ln+ln+…+ln，因此可將問題轉化為證明ln>. 此時用構造函數(shù)的方法解決.

設f（x）=lnx+-1（x>1），則f′（x）=-=>0，所以可知f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù). 因為f（1）=0，所以f（x）>0. 又因為k≥2且k∈N*時，>1，所以f=ln+-1>0，即ln>，所以

2. 試題評析

數(shù)列是高考考查的重點，本題考查了求數(shù)列的通項公式、前n項之和以及證明不等式，題目難度較高，求通項公式和證明不等式分別采用了前n項之和互減法和縮放法，對方法的選取以及邏輯思維能力的考查是本題的重點，對于學生學習參照具有幫助.

試題拓展與延伸

在高考和模擬中都注重對數(shù)列的考查，經(jīng)常以壓軸題的形式出現(xiàn)，下面筆者將列舉兩道同類似的題目.

試題1（2016年江蘇卷）記U={1，2，…，100}，對數(shù)列{an}（n∈N*）和U的子集T，若T=，定義S=0；若T={t1，t2，…，tk}，定義ST=at1+at2+…+atk.例如：T={1，3，66}時，ST=a1+a3+a66. 現(xiàn)設{an}（n∈N*）是公比為3的等比數(shù)列，且當T={2，4}時，ST=30.

（1）求數(shù)列{an}的通項公式；

（2）對任意正整數(shù)k（1≤k≤100），若T{1，2，…，k}，求證：ST

（3）設CU，DU，SC≥SD，求證：SC+SC∩D≥2SD.

試題2（2016年天津卷） 已知數(shù)列{an}是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列，公差為d，對任意的n∈N*，bn是an和an+1的等比中項.

（1）設cn=b-b，n∈N*，求證：{cn}是等比數(shù)列；

（2）設a1=d，Tn=（-1）nb，n∈N*，求證：<.

上述兩道數(shù)列題都給出了關于數(shù)列的關系，通過對關系式的分析變形則可以求得數(shù)列的性質，解決數(shù)列求和問題常采用的方法有分組求和、裂項相消、錯位相減、倒序相加，不同類型按不同的方法處理，對于不等式的證明可以先進行縮放，然后構造函數(shù)進行分析.

教學思考與建議

1. 注重基礎，綜合復習

高考數(shù)學試題中數(shù)列占很重要的一部分，但出題緊扣基礎，重點突出，主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的概念和性質，緊密圍繞教科書，出題的形式千變外化，設問通常加強了與三角函數(shù)、不等式、極限等知識點的聯(lián)系，但萬變不離其宗. 在教學復習指導中，要注意緊抓基礎，重點知識重點講授，可以通過專題講解的方式來加強學生處理數(shù)列綜合知識的能力，同時加強各知識點之間的聯(lián)系，靈活運用數(shù)列的相關思想解決問題，在對數(shù)列的分析中引導學生感受數(shù)學思想，思維的拓展、方法的學習才是教學的重點.

2. 研究模型，提升能力

數(shù)列的主干包含等差和等比兩大數(shù)學模型，數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，從函數(shù)圖像的角度來研究數(shù)列也是一種有效的方法，可以通過對數(shù)列的直線模型和指數(shù)模型的研究來拓寬思路，有助于解決數(shù)列問題. 兩大基本模型是高考的難點，數(shù)列問題包括遞推數(shù)列的通項、探究數(shù)列性質、分析數(shù)列交匯問題等方面，課改的推進并沒有降低數(shù)列的難度，對思想要求有所提升，利用歸化思想構造數(shù)列，對新的數(shù)列進行分析成為研究問題的一種重要手段，在教學中要努力培養(yǎng)學生的推理能力和思維化歸能力. 研究復雜問題可以利用“特殊到一般”的方法，在列舉中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，即化歸思想. 知識的學習很重要，對學生思想方法的培養(yǎng)更為重要.

3. 精化設問，注重創(chuàng)新

今年的高考題的命題趨勢是情景設問、注重創(chuàng)新，創(chuàng)新意識的考查成為高考的一大特點，因此在日常的教學復習中，教師要進行相應的情景教學，圍繞母題進行方法拓展、命題情景的創(chuàng)新設問，聯(lián)系生活場景、科學場景，思維方式等進行教學革新. 數(shù)列基礎知識下的改編創(chuàng)新是高考的趨勢也應該是高中教學的方向，通過情景創(chuàng)新教學，使學生更好地掌握數(shù)列的相關知識，培養(yǎng)學生理解、思考、探究、再創(chuàng)造的能力，培養(yǎng)創(chuàng)新思維方式也可以較好地應對高考的創(chuàng)新題型，提高學生自身的創(chuàng)新品質，從思想上擁有創(chuàng)新意識.

寫在最后

數(shù)列是高中的重難點知識，高考大綱對數(shù)列的考查注重題型創(chuàng)新以及思想方法，教學的開展應緊密圍繞數(shù)列的核心知識，注重各知識點之間的聯(lián)系，開展創(chuàng)新情景教學，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維和邏輯推理能力.