論高中數(shù)學(xué)解題后的“三思”

劉婷

[摘 要] 反思對于數(shù)學(xué)解題來說是極其重要且必要的一個環(huán)節(jié)，但很多學(xué)生因為學(xué)習(xí)時間緊等諸多因素卻往往將其忽略了. 事實上，解題之后如果能對自己的思路與解答進(jìn)行仔細(xì)的檢查與討論，對于解題本身以及自身思維來說都是一種積極的完善.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué)；解題后；三思

如果將獲得答案作為解題的唯一目的，那么認(rèn)知體系的結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能達(dá)成的. 反思對于數(shù)學(xué)解題來說是極其重要且必要的一個環(huán)節(jié)，但很多學(xué)生因為學(xué)習(xí)時間緊等諸多因素卻往往將其忽略了. 事實上，解題之后如果能對自己的思路與解答進(jìn)行仔細(xì)的檢查與討論，對于解題本身以及自身思維來說都是一種積極的完善. 那究竟在解題之后應(yīng)該反思些什么呢？筆者結(jié)合自身的體會來具體談一談解題后的“三思”.

思考過程，去偽存真

解數(shù)學(xué)題時因為審題不清、知識缺陷、考慮粗略、計算偏差以及語言表述不規(guī)范等因素往往會產(chǎn)生一些錯誤.因此，解題之后對解題過程與結(jié)論進(jìn)行回顧、評價以及驗證是十分有必要的，這個過程對于學(xué)生思維的批判性與嚴(yán)謹(jǐn)性培養(yǎng)來說也是極其重要的.

例1：數(shù)列{an}，{bn}為等比數(shù)列，當(dāng)n≤3時，bn-an=n. 若數(shù)列{an}唯一，求a1的值.

這是某一次統(tǒng)考題中填空題的最后一題，大多數(shù)學(xué)生解題過程如下：因為n≤3時bn-an=n，所以b1=a1+1，b2=a2+2，b3=a3+3. 由{bn}為等比數(shù)列可知b=b1·b3，即（a2+2）2=（a1+1）（a3+3）. 整理得a3-4a2+3a1-1=0. 設(shè)等比數(shù)列{an}公比是q，則a1q2-4a1q+3a1-1=0. 因為等比數(shù)列{an}唯一，則滿足條件的公比q唯一，則：（1）Δ=0，不符合題意，舍去；（2）Δ>0且其中一個根是0，得q=4，a1=，經(jīng)驗證，符合題意，綜上，a1=.

試卷給出的參考答案與大多學(xué)生的答案是一致的.事實上，解題之后對解題過程進(jìn)行反思就會發(fā)現(xiàn)問題：數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，可以得出b=b1·b3，若b=b1·b3，數(shù)列{bn}為等比數(shù)列這一結(jié)論就不一定會得到. 所以，當(dāng)Δ>0時，必須驗證兩個公比q是否都符合題意，如果一個不符合，另一個符合，即滿足題意.

所以，應(yīng)該有三種情況：（1）Δ=0，得a1=-1，經(jīng)驗證，b1=0，不符合題意，舍去；（2）Δ>0，且其中一個根是0，得q=4，a1=，經(jīng)驗證，符合題意；（3）Δ>0且其中一個公比q使{bn}中有項為0，且另一個q符合題意.

若b1=0，則a1=-1，關(guān)于q的方程有唯一解q=2；

若b2=0，則a2=-2，關(guān)于q的方程有兩個解q=2或q=；

若b3=0，則a3=-3，關(guān)于q的方程有q=；

當(dāng)q=時，a1=-；當(dāng)q=2時，a1=-1. 經(jīng)檢驗，a1=-，關(guān)于q的方程有兩個解q=和q=. 當(dāng)q=時，符合題意. 綜上所述，a1=或a1=-.

其實這是一道由高考題改編而來的題目. 原題如下：已知等比數(shù)列{an}，{bn}，滿足a1=a（a>0），b1-a1=1，b2-a2=2，b3-a3=3.

（1）若a=1時，求數(shù)列{an}的通項公式；

（2）若數(shù)列{an}唯一，求a的值.

經(jīng)比較，我們發(fā)現(xiàn)改編題中減少了a1>0這一條件，題目因此變得復(fù)雜.

經(jīng)過上題中解題過程的反思，我們果然發(fā)現(xiàn)了問題，在糾正錯誤的過程中也使得解答更為完善，學(xué)生的認(rèn)識以及思維的批判性、嚴(yán)謹(jǐn)性都得到了提升.

思考思路，提煉方法

驗證解題過程的正確性自然是解題后反思的內(nèi)容，但對題目的條件與結(jié)論進(jìn)行重新審視也應(yīng)該是包含其中的，這一過程的反思需要學(xué)生再次進(jìn)行思維的動員、組織、辨認(rèn)以及回憶，很多時候甚至需要學(xué)生進(jìn)行問題構(gòu)思的重新調(diào)整. 波利亞曾經(jīng)說過這樣一段話：有時候我們會很突然地得到一個巧妙的解法，就如一道靈感在我們腦中突然掠過，眼前豁然開朗就像看到了燦爛的陽光.由此可見，我們在解題時應(yīng)有一題多解的思維意識與方向.

例2：已知函數(shù)f（x）=x+sinx，求實數(shù)a的取值范圍，使不等式f（x）≥axcosx在0，上恒成立.

思路1（變量分離）：

當(dāng)x=0時，f（0）=0≥0恒成立；

當(dāng)x∈0，時，分離變量后，原命題等價于a≤在x∈0，上恒成立，設(shè)h（x）=，則h′（x）==. 再令函數(shù)φ（x）=x+x2sinx-sinxcosx，則φ′（x）=1+2xsinx+x2cosx-cos2x+sin2x=2xsinx+x2cosx+2sin2x>0，所以，函數(shù)φ（x）=x+x2sinx-sinxcosx在x∈0，上單調(diào)遞增，φ（x）>φ（0）. 而φ（0）=0，即h′（x）>0，所以，函數(shù)h（x）=在x∈0，上單調(diào)遞增.

因為===′，所以a≤2.

思路2（作差探究）：

直接構(gòu)造差函數(shù)g（x）=f（x）-axcosx=x+sinx-axcosx.

當(dāng)a≤0時，f（x）=x+sinx≥axcosx恒成立.

當(dāng)a>0時，g′（x）=1+cosx-a（cosx-xsinx）=1+（1-a）cosx+axsinx. 注意到0≤cosx≤1，1-a<1，只要1-a≥-1，則（1-a）·cosx≥-cosx，1+（1-a）cosx≥1-cosx≥0.所以，討論參數(shù)a和2的大小就可以了.

①當(dāng)0

②當(dāng)a>2時，存在g′（x）<0，顯然函數(shù)g（x）在0，上不再是單調(diào)增函數(shù)，在區(qū)間0，上存在它的子集（0，x）使得g′（x）<0，而g（0）=0，矛盾產(chǎn)生. 嚴(yán)格表述為存在x0∈0，，使得當(dāng)x∈（0，x0）時，有g(shù)′（x）<0，此時g（x）在（0，x0）上為單調(diào)減函數(shù)，從而g（x）0恒成立.

綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為a≤2.

思路3（直接放縮）：

當(dāng)x∈0，時，sinx

當(dāng)a≤0時，f（x）=x+sinx≥0≥axcosx恒成立.

當(dāng)0

當(dāng)a>2時，g（x）≤x+x-axcosx=（2-acosx）x.

因為a>2，0<<1，0≤cosx≤1，所以存在x0∈0，使cosx0=，當(dāng)x∈（0，x0）時，cosx>，故2-acosx<0，即g（x）<0，即在x∈0，上函數(shù)f（x）≥axcosx不恒成立.

綜上所述，a≤2.

解題方法在這樣的一題多解中變得更加完美，知識之間的聯(lián)系也在這樣多角度的思考中變得更加密切. 當(dāng)然，教師也應(yīng)該提醒學(xué)生不能一味強(qiáng)求“多解”，而應(yīng)提醒學(xué)生在每一種解法上進(jìn)行深入的理解與分析，并最終對各種解法進(jìn)行提煉、對比和體會，學(xué)生思維的靈活性和發(fā)散性在分析與提煉各種解法的特點與優(yōu)劣中得到了最好的鍛煉.

思考結(jié)論，引申推廣

對所研究的問題的背景與本質(zhì)進(jìn)行多方位的深化、聯(lián)想、類比、推廣以及引申，有利于揭示知識之間的聯(lián)系，知識結(jié)構(gòu)也能在這樣的過程中建構(gòu)得更為完美.

例3：若集合A，B滿足A∪B={1，2}，試求有多少（A，B）這樣的有序組.

解析：因為A∪B={1，2}，所以A？哿{1，2}，則集合A有，{1}，{2}，{1，2}四種情況，根據(jù)A∪B={1，2}，寫出集合B，即A=，B={1，2}；A={1}，B={2}，{1，2}；A={2}，B={1}，{1，2}；A={1，2}，B=，{1}，{2}，{1，2}.共有9組有序組（A，B）.

反思1（一般化）：如果A∪B={a1，a2，…，an}呢？根據(jù)窮舉的方法，能夠得出一般性解法. 當(dāng)A=，B={a1，a2，…，an}，一組解；當(dāng)A={a1}時，B中必須含有a2，…，an共n-1個元素，是否含有a1有兩種可能，相當(dāng)于集合{a1}子集的個數(shù)；同理，當(dāng)A為單元素集合時，集合B有兩種可能，所以共有C·2組解. 以此類推，當(dāng)A是{a1，a2，…，an}的k元子集時，集合B就有2k種可能，所以共有C·2k組解，因此，滿足條件的有序組共有C·20+C·21+…+C·2k+…+C·2n-1+C·2n=（1+2）n=3n組.

反思2（特殊化）：由解題結(jié)論，聯(lián)想一般性規(guī)律是否存在，若A∪B=，顯然，只有1組解；若A∪B={a1}，顯然，有3組解；再由例3的結(jié)論猜想，若A∪B={a1，a2，…，an}，有3n組解. 這個結(jié)論應(yīng)怎樣說明呢？集合A與B如圖1所示，在a1，a2，…，an這n個元素中，每一個數(shù)只有圖中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ這3個區(qū)域位置可放，且有序組（A，B）在這n個元素放置好后被唯一確定，因此，本題所有有序組有3·3·…·3=3n組.

綜上所述，學(xué)生如果能夠?qū)⒔忸}后的反思行為培養(yǎng)成自己解題中的一種習(xí)慣，那么，知識的有效遷移、內(nèi)化、深化以及解題效率與正確率的提高都會有長足的進(jìn)步與發(fā)展.