兩道“解析”模擬考題的解法探究

孫世林

[摘 要] 解析幾何綜合題是每年高考的熱點(diǎn)，也是重點(diǎn)；圓錐曲線問(wèn)題綜合性強(qiáng)，能力要求高，一直是考生最沒把握、失分較多的內(nèi)容，究其原因是沒形成正確的解題思路，本文以兩道模擬考題為例談?wù)剬?duì)于解析幾何綜合題如何形成正確的解題思路.

[關(guān)鍵詞] 已知與結(jié)論；解題思路；自然生成

解析幾何的綜合問(wèn)題，已知條件多，題干長(zhǎng)，常涉及多個(gè)知識(shí)，對(duì)能力要求高，不少學(xué)生感到思路不清，難以入手，鑒于此，筆者結(jié)合2017年北京市高考模擬解析幾何試題，談?wù)剛€(gè)人的一些想法，談?wù)勅绾巫匀恍纬山忸}思路，供大家參考.

從已知出發(fā)，循序漸進(jìn)自然生成

已知條件是我們解題的重要依據(jù)，解題時(shí)要認(rèn)真閱讀已知，準(zhǔn)確把握已知給了我們哪些信息？這些信息之間有什么關(guān)系？全面分析這些已知條件還可以得出哪些結(jié)論？這些結(jié)論和我們所要求的結(jié)論有什么關(guān)系？另外，還有要充分挖掘題目中隱藏的已知條件有哪些？弄清了這些問(wèn)題，解題思路便可自然生成，問(wèn)題不攻自破.

例1 （2017年高考西城區(qū)第一次模擬考試，理科19題）

如圖1，已知橢圓C：+=1（a>b>0）的離心率為，F(xiàn)為橢圓C的右焦點(diǎn)，A（-a，0），AF=3.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)O為原點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，AP的中點(diǎn)為M. 直線OM與直線x=4交于點(diǎn)D，過(guò)O且平行于AP的直線與直線x=4交于點(diǎn)E，求證：∠ODF=∠OEF.

分析1：本題的第一問(wèn)很容易解決，第二問(wèn)中P為橢圓上一點(diǎn)，AP的中點(diǎn)M與原點(diǎn)O連接并延長(zhǎng)與直線x=4相交，形成點(diǎn)D，點(diǎn)E是過(guò)O且平行于AP的直線與直線x=4相交形成的，這樣才出現(xiàn)了線段DF和EF，可見DF和EF都與點(diǎn)P有緊密的聯(lián)系，所以我們就應(yīng)從點(diǎn)P入手探究點(diǎn)D與點(diǎn)E具有怎樣的位置關(guān)系？研究發(fā)現(xiàn)點(diǎn)D與點(diǎn)E與x軸沒有對(duì)稱關(guān)系，這樣自然引領(lǐng)我們要探究EF與P點(diǎn)有緊密聯(lián)系的直線MD的位置關(guān)系，接下來(lái)探究FD與OE的位置關(guān)系，這樣本題的解題思路就生成了.

解法1：（1）橢圓C的方程是+=1.

（2）由（1）得A（-2，0）. 設(shè)AP的中點(diǎn)M（x0，y0），P（x1，y0）.

設(shè)直線AP的方程為：y=k（x+2）（k≠0），將其代入橢圓方程，整理得

（4k2+3）x2+16k2x+16k2-12=0，

所以-2+x1=.

所以x=，y0=k（x0+2）=，

即M，.

所以直線OM的斜率是= -，

所以直線OM的方程是y=-x. 令x=4，得D4，-.

設(shè)直線OE的方程是y=kx. 令x=4，得E（4，4k）.

由F（1，0），得直線EF的斜率是=，所以EF⊥OM，記垂足為H；

因?yàn)橹本€DF的斜率是=-，所以 DF⊥OE，記垂足為G.

在Rt△EHO和Rt△DGO中，∠ODF和∠OEF都與∠EOD互余，

所以∠ODF=∠OEF.

評(píng)析：通過(guò)上述分析及解題過(guò)程可以看出解題思路的形成是從已知入手，從已知條件間的聯(lián)系出發(fā)，探究從已知得出的相關(guān)點(diǎn)、線、角間的關(guān)系，循序漸進(jìn)地得出所要求的結(jié)論. 因此解題中要善于利用已知條件，這里所說(shuō)的已知條件既有題目中直接給出的，也有隱含的需要我們進(jìn)一步挖掘才能得出的條件.

分析2：如何使解題過(guò)程簡(jiǎn)便快捷，運(yùn)算量小一些，一直是考生們所追求的，在解法1中，我們從直線AP的方程出發(fā)，運(yùn)算量略顯大些，如何解決？在本題中，點(diǎn)P為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E和點(diǎn)D隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)變化而變化，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)變化是主動(dòng)的，所以我們從點(diǎn)P的坐標(biāo)出發(fā)，用點(diǎn)P的坐標(biāo)表示點(diǎn)E和點(diǎn)D的坐標(biāo)，從而刻畫EF和FD的運(yùn)動(dòng)變化，探究EF與直線MD的位置關(guān)系，這樣，從點(diǎn)P的坐標(biāo)入手成為解決本題的自然選擇.

解法2：（1）橢圓C的方程是+=1.

（2）由（1）得A（-2，0）. 設(shè)P（x1，y1）（x1≠±2），其中3x+4y-12=0.

因?yàn)锳P的中點(diǎn)為M，所以M，.

所以直線OM的斜率是kOM=，

所以直線OM的方程是y=x. 令x=4，得D4，.

直線OE的方程是y=x. 令x=4，得E4，.

由F（1，0），得直線EF的斜率是kEF=，

因?yàn)閗EF·kOM=·==-1，

所以EF⊥OM，記垂足為H；

同理可得kDF·kOE=·==-1，

所以DF⊥OE，記垂足為G

在Rt△EHO和Rt△DGO中，∠ODF和∠OEF都與∠EOD互余，

所以∠ODF=∠OEF.

評(píng)析：解析幾何綜合問(wèn)題常在運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中探究某些不變的性質(zhì)與規(guī)律，對(duì)于這類運(yùn)動(dòng)變化問(wèn)題，解題時(shí)要從已知出發(fā)深入探究產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)變化的根源，從產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)變化的根源入手，選擇好從直線方程入手還是從點(diǎn)的坐標(biāo)入手，就可以簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程，自然快捷地解決此類問(wèn)題.

從結(jié)論入手，執(zhí)果索因由此及彼

例2 （2017年高考北京市海淀區(qū)第一次模擬考試，文科19題）

已知橢圓C：+=1（a>b>0）的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，且AB=4，離心率為.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)Q（4，0）， 若點(diǎn)P在直線x=4上，直線BP與橢圓交于另一點(diǎn)M，判斷是否存在點(diǎn)P，使得四邊形APQM為梯形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

分析：是否存在點(diǎn)P，使得四邊形APQM為梯形？很自然想到假設(shè)成立，將四邊形APQM為梯形視為已知反推點(diǎn)P所滿足的條件，由已知顯然AM，PQ不平行，所以AP與MQ平行，平行我們又很自然地想到斜率相等，在AP與MQ斜率相等的條件下求點(diǎn)P的坐標(biāo)，這里我們可以有三種思路：

思路一：因?yàn)辄c(diǎn)P在直線x=4上，所以可設(shè)點(diǎn)P（4，y0），由此得出直線BP的方程，從而用點(diǎn)P的坐標(biāo)P（4，y0）表示點(diǎn)M的坐標(biāo)，最后利用AP與MQ斜率相等的條件下求點(diǎn)P的坐標(biāo).

思路二：從直線AP入手，由于點(diǎn)A已知，所以設(shè)AP所在直線為y=k（x+2），利用點(diǎn)P在直線x=4上將點(diǎn)P的坐標(biāo)用k表示，從而得出直線BP的方程，利用點(diǎn)M是直線BP與橢圓的交點(diǎn)，將點(diǎn)M坐標(biāo)也用k表示，最后利用AP與MQ斜率相等的條件下求點(diǎn)P的坐標(biāo)；本思路中要經(jīng)歷兩次解方程組，特別是求點(diǎn)M坐標(biāo)時(shí)注意韋達(dá)定理的應(yīng)用，以簡(jiǎn)化運(yùn)算.

思路三：從直線BP入手，由于點(diǎn)B已知，所以設(shè)BP所在直線為x=ty+2，利用點(diǎn)P在直線x=4上將點(diǎn)P的坐標(biāo)用t表示，利用點(diǎn)M是BP與橢圓的交點(diǎn)，將點(diǎn)M坐標(biāo)也用t表示，最后利用AP與MQ斜率相等的條件下求點(diǎn)P的坐標(biāo)；觀察發(fā)現(xiàn)直線BP一定存在斜率，所以本思路中直線BP的方程我們采取了橫截距式，與思路二對(duì)比大大降低了運(yùn)算量.

解法1：（1）橢圓C的方程為+=1.

（2）假設(shè)存在點(diǎn)P，使得四邊形APQM為梯形.

由題可知，顯然AM，PQ不平行，所以AP與MQ平行，即kAP=kMQ.

設(shè)點(diǎn)P（4，y0），M（x1，y1），kAP=，kMQ=，

所以=①，

所以直線PB方程為y=（x-2）.

由點(diǎn)M在直線PB上，則y1=（x1-2）②.

①②聯(lián)立，=，顯然y0≠0，可解得x1=1.

又由點(diǎn)M在橢圓上，+=1，所以y=±，即M1，±，

將其代入①，解得y0=±3，

所以 P（4，±3）.

解法2：（1）橢圓C的方程為+=1.

（2）假設(shè)存在點(diǎn)P，使得四邊形APQM為梯形.

由題可知，顯然AM，PQ不平行，所以AP與MQ平行，kAP=kMQ，

顯然直線AP斜率存在，設(shè)直線AP方程為y=k（x+2）.

由y=k（x+2），x=4，所以y=6k，所以P（4，6k）.

又B（2，0），所以kPB==3k.

所以 直線PB方程為y=3k（x-2），

由y=3k（x-2），3x2+4y2-12=0， 消y，

得（12k2+1）x2-48k2x+48k2-4=0.

又B（2，0），所以2+x=，即x1=，

所以y1=3k（x1-2）=.

所以M，.

由kAP=kMQ可得=，

解得k=±，

所以M1，±，P（4，±3），

解法3：（1）橢圓C的方程為+=1.

（2）假設(shè)存在點(diǎn)P，使得四邊形APQM為梯形.

由題可知，顯然AM，PQ不平行，所以AP與MQ平行，kAP=kMQ.

顯然直線MB存在斜率且斜率不為0，

所以設(shè)直線MB方程為x=ty+2（t≠0）.

由x=ty+2，x=4，得P4，.

所以kAP==.

由x=ty+2，3x2+4y2-12=0，

得（3t2+4）y2+12ty=0.

設(shè)M（x1，y1），又因?yàn)锽（2，0），

所以y1=，

所以x1=ty1+2=，

即M，

由kAP=kMQ，所以=，解得t=±，所以P（4，±3）.

評(píng)析：在解決解析幾何綜合問(wèn)題時(shí)，有時(shí)若直接求解，常常感覺不知從何入手，我們可以嘗試從結(jié)論入手，觀察結(jié)論和已知條件有什么關(guān)系，探究結(jié)論成立時(shí)應(yīng)滿足什么條件. 執(zhí)果索因，往往可使解題思路豁然開朗.

善于將問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從幾何角度尋求突破

“解析幾何”首先是幾何問(wèn)題，利用平面幾何知識(shí)解決問(wèn)題也是不可或缺的方法，解析幾何問(wèn)題中蘊(yùn)含很多幾何條件，這些幾何條件間有什么關(guān)系？從某些幾何條件出發(fā)能得到什么樣的新幾何關(guān)系？某些幾何關(guān)系成立需要有怎樣的幾何條件？隨著這些疑問(wèn)的探究和解決，解題思路也就自然的生成了，請(qǐng)看例2的第四種解題思路：

分析：四邊形APQM為梯形，由題可知，顯然AM，PQ不平行，所以AP與MQ平行.由平行的性質(zhì)可得：=，因?yàn)锳，B，Q三點(diǎn)已知，所以=，而BM與BP之比又可以轉(zhuǎn)化為與x軸平行的線段長(zhǎng)度之比，如圖5可以過(guò)點(diǎn)M作MH⊥AB于H，則有==， 這樣就可以確定點(diǎn)M的坐標(biāo)，從而得出點(diǎn)P的坐標(biāo).

解法4：假設(shè)存在點(diǎn)P，使得四邊形APQM為梯形.

由題可知，顯然AM，PQ不平行，所以AP與MQ平行，

所以=，所以=.

設(shè)點(diǎn)M（x1，y1），P（4，t）.

過(guò)點(diǎn)M作MH⊥AB于H，則有==，

所以BH=1，

所以H（1，0），即x1=1，代入橢圓方程，求得y1=±，

所以P（4，±3）.

評(píng)析：解析幾何的核心方法是用代數(shù)的方法研究幾何問(wèn)題，在解題過(guò)程中，利用平面幾何知識(shí)研究題目中的幾何關(guān)系是必要的，在這個(gè)過(guò)程中要經(jīng)歷文字信息、圖形特征和符號(hào)語(yǔ)言之間的多重轉(zhuǎn)換，因此，我們必須重視對(duì)幾何關(guān)系的深入研究，在用恰當(dāng)?shù)拇鷶?shù)形式表示題目中的幾何關(guān)系，從而形成正確的解題思路.

解析幾何綜合題綜合性強(qiáng)，能力要求高，是每年高考的熱點(diǎn)，也是重點(diǎn)；高考的解析幾何考題?？汲Ｐ?，難免會(huì)有學(xué)生陌生的題目，但陌生往往只是在形式上的，本質(zhì)不會(huì)超出我們所學(xué)的知識(shí)范疇，只要我們遵循解題的基本規(guī)律，抓住學(xué)科知識(shí)本質(zhì)，認(rèn)真探究已知、結(jié)論間的本質(zhì)聯(lián)系，解題思路定會(huì)“柳暗花明”，事半功倍地解決好解析幾何的綜合問(wèn)題.