他山之石可以攻玉

楊曉俠

[摘 要] 數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要教給學(xué)生數(shù)學(xué)知識，而且還要揭示獲取知識的思維過程. ”也就是說在數(shù)學(xué)教學(xué)中，除了要使學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識和基本技能之外，同時還要注重培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，一切為學(xué)生的思維發(fā)展服務(wù)，夯實每一個教學(xué)環(huán)節(jié). 駕馭教材，拓展思維；精心設(shè)問，激發(fā)思維；捕捉信息，發(fā)展思維；雙向評價，升華思維.

[關(guān)鍵詞] 拓展思維；捕捉信息；精心設(shè)問；雙向評價

任教于一所普通中學(xué)，“老師教的內(nèi)容學(xué)生不理解”“學(xué)生的反應(yīng)老師不理解”的狀況時時發(fā)生，讓筆者很是困惑，這顯然不能僅僅歸咎于學(xué)生的基礎(chǔ)薄弱. 最近一次的南京市數(shù)學(xué)教研活動，有一節(jié)讓筆者記憶猶新的交流課——《數(shù)列》，執(zhí)教者的精心設(shè)計，讓課堂展現(xiàn)的是知識的生成過程，強(qiáng)調(diào)的是學(xué)生的積極參與，關(guān)注的是學(xué)生的思維發(fā)展，讓筆者有種“他山之石，可以攻玉”的感覺.

案例片段

片段一：《數(shù)列》

問題情境：①傳說古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上研究數(shù)學(xué)問題，他們用小石子表示數(shù)的三角數(shù)；②“一尺之錘，日取其半，萬世不竭”；③某劇場有30排座位，第一排有20個座位，從第二排起，后一排都比前一排多2個座位，那么各排的座位數(shù)依次是多少？④簡諧振動中記錄最高點和最低點的位移：第一次為1，第二次為-1，第三次為1，第四次為-1，在整個過程中的位移依次為多少？⑤王同學(xué)的四次考試成績：98，117，125，129. 從五個實際問題入手讓學(xué)生用數(shù)學(xué)語言來表示.

數(shù)學(xué)建構(gòu)：第一次設(shè)問：以上這些問題有什么共同的特點？（引入新知——數(shù)列的概念）概念理解這一環(huán)節(jié)中，第二次設(shè)問：①數(shù)列定義中的關(guān)鍵詞有哪些？你能不能再舉出一些數(shù)列的例子？②你是如何理解數(shù)列定義中的一定次序的？③針對分析你有什么發(fā)現(xiàn)？（得到數(shù)列的本質(zhì)——是一個函數(shù)）接下來讓學(xué)生通過分組合作，自主探究以上五個數(shù)列的函數(shù)性質(zhì).

【案例分析】 該片段最大的亮點是，對教材進(jìn)行的二次加工與整合，沒有按部就班，而是給學(xué)生的思維發(fā)展搭建了平臺，學(xué)生的思維真的像一句歌詞所唱的“如果你愿意一層一層一層地剝開我的心”那樣，一層一層地剝開數(shù)列的“心”，水到渠成地讓學(xué)生理解了數(shù)列的本質(zhì).

亮點一：有效的信息捕捉. 通過設(shè)問“你是如何理解數(shù)列定義中的一定次序的？”捕捉到了“一一對應(yīng)”的有效信息，怎么對應(yīng)的？啟發(fā)學(xué)生借用表1.

用表格很容易讓學(xué)生直觀地感受到“一一對應(yīng)”，順理成章地聯(lián)系到了函數(shù)，為后面的學(xué)習(xí)做了很好的鋪墊.

亮點二：深入的過程展示. 通過對學(xué)生思維的逐步啟迪，得到數(shù)列的概念后，教師并沒有急于讓學(xué)生接觸基本題——①求數(shù)列的項，②通項公式的猜想，而是把數(shù)列是一個特殊的函數(shù)作為激發(fā)學(xué)生思維的又一個切入點，給予了學(xué)生很大的自主探索的時空. 通過學(xué)生間的合作、交流與探究，使學(xué)生明白數(shù)列的特殊性，但又具有函數(shù)該有的性質(zhì)，為整章的學(xué)習(xí)做了引航.

亮點三：精心的問題設(shè)計. 你是如何理解數(shù)列定義中的一定次序的？函數(shù)有幾個量？研究函數(shù)一般都研究哪些……老師設(shè)計的每一個問題，可謂不大不小，不深不淺，讓每一個層次的學(xué)生都能夠“跳一跳夠得到”，但要“摘到桃”，必須積極思考，使學(xué)生達(dá)到情緒高漲、智力振奮的狀態(tài)，激發(fā)學(xué)生的思維.

紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行，為此筆者做了以下“有為”的嘗試.

片段二：《余弦定理》

情境引入：從“在△ABC中，已知CA=1，CB=2，∠ACB=60°，求”這個小練習(xí)入手（上學(xué)期南京市高一期末考試19題的第1問），引導(dǎo)學(xué)生通過類比實現(xiàn)了由特殊到一般的推導(dǎo)，面對“在△ABC中，已知CA=b，CB=a，∠ACB=C，求”時學(xué)生幾乎能沒有障礙地寫出2=（-）2=2-2·+2，進(jìn)而得出c2=a2+b2-2abcosC. 接下來隨意抽點了兩位同學(xué)，他們很輕松地就推出a2=b2+c2-2bccosA，b2=a2+c2-2accosB. 可見，學(xué)生對于余弦定理的得出是水到渠成的.

數(shù)學(xué)建構(gòu)：筆者沒有急于讓學(xué)生運(yùn)用公式，而是首先設(shè)問：“觀察這三個式子，它們有什么特點？你能用語言表述出來嗎？”問題一拋出，學(xué)生的話匣子打開了，學(xué)生首先想到了公式的變形，類似于a2-b2=c2-2bccosA，筆者很是耐心地回應(yīng)：“等價變形非常不錯，變形的用意在哪里呢？”“好記唄，對稱唄！”順應(yīng)了學(xué)生們的想法，最終敲定了“最美的”記法：cosA=，cosB=，cosC=. 筆者繼續(xù)問道：“難道變形只為了感受對稱美嗎？”學(xué)生A：“為了求角，對，知道三邊求角. ”學(xué)生B補(bǔ)充：“知道兩邊及其夾角，求第三邊. ”與此同時，筆者也看到了驕傲和滿足的表情洋溢在很多學(xué)生的臉上，這足以說明學(xué)生A及學(xué)生B想到的，其他很多學(xué)生也都想到了. 這樣一來本節(jié)課的基本題型有了，余弦定理的功能找到了. 筆者并不滿足地繼續(xù)追問：“還有其他發(fā)現(xiàn)嗎？”學(xué)生C小聲地說：“我想到了∠A=90°，a2=b2+c2，就是勾股定理. ”這引來好多學(xué)生的哄笑，“這個信息太有價值了！”筆者義正詞嚴(yán)地評價到，學(xué)生的哄笑戛然而止，筆者再次追問：“還可以怎樣呢？”“∠A>90°，a2+b2-c2<0；∠B>90°，a2+c2-b2<0；∠C>90°，a2+b2-c2<0.” 學(xué)生幾乎異口同聲地得到這個結(jié)論. “太好了，能同時成立嗎？”……隨著對話的進(jìn)行余弦定理的本質(zhì)——銳角、鈍角三角形的判斷條件生成了，例3也就迎刃而解了.

這節(jié)課“環(huán)環(huán)相扣”地銜接“創(chuàng)造”：余弦定理的推導(dǎo)→余弦定理的功能→余弦定理的本質(zhì). 一種“有為而至”的情愫油然而生.

案例反思

《數(shù)列》一課的“有為”設(shè)計讓筆者受益匪淺，經(jīng)過亦步亦趨地“有為”模仿，讓筆者領(lǐng)悟到：學(xué)生的思維反應(yīng)不是完全由學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)決定的，只要老師對待教學(xué)“有為”，基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生也能親身“經(jīng)歷”數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生、發(fā)展和變化的過程.

1. 駕馭教材，拓展思維

特級教師沈重予曾說過：“教材是執(zhí)行課程標(biāo)準(zhǔn)與體現(xiàn)課改精神的載體，也是眾多教育專家和一線教師智慧的結(jié)晶，粗線條的閱讀肯定是不行的. 教材上每個章節(jié)的每一道例題都有一定的教學(xué)目標(biāo)，不僅如此，例題中的每一個要求、問題，其背后都蘊(yùn)涵著特定的意圖.”可見教材是一種有效資源，但也絕不能照本宣科，因為教材只是一個靜止的知識庫，它的內(nèi)容相對穩(wěn)定，不可能及時地吸收當(dāng)前的信息，與學(xué)生接受知識的動態(tài)相吻合. 我們要做的是理性地看待數(shù)學(xué)教材，創(chuàng)造性地使用教材，在充分了解和把握課程標(biāo)準(zhǔn)、學(xué)科特點、教學(xué)目標(biāo)、教材編寫意圖的基礎(chǔ)上，以教材為載體，靈活有效地組織教學(xué). 同時，根據(jù)學(xué)生的身心發(fā)展實際及自己的教學(xué)經(jīng)驗對數(shù)學(xué)教材進(jìn)行靈活、創(chuàng)造性地處理，拓展課堂教學(xué)空間，為拓展學(xué)生的思維發(fā)展搭建平臺.

2. 精心設(shè)問，激發(fā)思維

著名教育學(xué)家陶行知先生提出：“發(fā)明千千萬，起點在一問；智者問得巧，愚者問得笨.”美國著名數(shù)學(xué)家哈爾莫斯還曾說：“有了問題，思維才有方向. ”提問是一種課堂上經(jīng)常使用的教學(xué)手段和形式，傳遞著師生間雙向交流的信息，因此教師所設(shè)計的問題要努力做到：能引發(fā)學(xué)生探索的欲望，暴露學(xué)生的思考過程，促進(jìn)學(xué)生的深入思考，為學(xué)生的思維發(fā)展做好鋪墊. 教師所提問題更要符合高中生正由形象思維過渡到抽象思維的實際情況，既不能簡單地讓全體學(xué)生回答是或否，也不能讓學(xué)生都抓耳撓腮、無從回答，要遵循維果茨基提出的“最近發(fā)展區(qū)”原則，即所提問題要具有一定的思考性和挑戰(zhàn)性，使學(xué)生思維處于“心求通而未得，口欲言而不能”的不平衡狀態(tài). 只有通過積極探究，調(diào)動已學(xué)知識解決問題，才能“跳一跳，能夠得著蘋果”，從而達(dá)到激發(fā)學(xué)生思維的目的.

3. 捕捉信息，發(fā)展思維

葉瀾教授曾說：“課堂應(yīng)是向未知方向挺進(jìn)的旅程，隨時都有可能發(fā)現(xiàn)意外的通道和美麗的圖景，而不是一切都必須遵循固定線路而沒有激情的行程. ”課堂是師生知識共享、情感交流、心靈互通的過程，是一個豐富多彩的動態(tài)生成過程. 即使教師事先預(yù)設(shè)再充分，也難以預(yù)料教學(xué)過程中學(xué)生出現(xiàn)的各種反應(yīng). 對話是課堂教學(xué)的基本形式，學(xué)生的回答是教師必須及時關(guān)注的，但有時學(xué)生對問題不做直接的言語反應(yīng)，而是通過表情、動作等傳達(dá)出贊成、反對或喜歡、厭惡的信息，教師需要察言觀色，不讓信息流失. 這就要求教師駕馭智慧，根據(jù)自己對課堂各種信息的捕捉和把握，適時調(diào)整預(yù)設(shè)，給予一定的發(fā)展空間，使課堂動態(tài)生成資源得以利用. 現(xiàn)場捕捉，啟迪智慧，使學(xué)生與學(xué)生、學(xué)生與教師的思維進(jìn)行碰撞，定能夠“吹盡狂沙始到金”，使教學(xué)的內(nèi)容不斷得以拓展和深化.

4. 雙向評價，升華思維

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“評價要關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的結(jié)果，更要關(guān)注他們學(xué)習(xí)的過程……要關(guān)注他們在數(shù)學(xué)活動中所表現(xiàn)出來的情感與態(tài)度，更要幫助學(xué)生認(rèn)識自我，建立自信. ”這充分說明了教師課堂評價的重要性. 筆者更從中讀出了，評價不應(yīng)只是簡單地判斷學(xué)生的對與錯，而應(yīng)適時、適當(dāng)、適量駕馭自己的語言智慧，為學(xué)生把關(guān)定向、釋疑解難，引領(lǐng)學(xué)生走出迷茫，促進(jìn)學(xué)生更深入地思考. 感性評價和理性評價應(yīng)水乳交融，貫穿于整個學(xué)習(xí)的始終，才能讓學(xué)生既得到情感的滿足，又得到思維的升華. 有人說：“教師的語言如鑰匙，能打開學(xué)生心靈的窗戶；如火炬，能照亮學(xué)生的未來；如種子，能深埋在學(xué)生的心里. ”著名教育家夸美紐斯曾說：“教師的嘴，就是一個源泉，從那里可以發(fā)出知識的溪流. ”可見，教師的語言能夠詮釋感性、理性評價的價值所在，我們所追求的就是感性的語言交流到理性的知識升華.

結(jié)語

學(xué)生學(xué)習(xí)的不只是“文本課程”，更是“體驗課程”. 知識，在交流中增值；思維，在交流中碰撞；情感，在交流中融通. 適宜的教材整合，精心的課堂設(shè)問，實時的信息捕捉，有效的課堂評價……所遵循的宗旨只有一個，數(shù)學(xué)課堂展現(xiàn)的是過程，強(qiáng)調(diào)的是參與， 關(guān)注的是思維.