基于“三個理解”的“平面向量基本定理”的教學設計及反思

龔永輝

[摘 要] 著名教育家章建躍博士在第五屆全國優(yōu)質課評課時曾指出：“理解數(shù)學”“理解學生”“理解教學”是進行數(shù)學有效教學的三大基石. 筆者對此深有感觸. 本文結合筆者所上的一節(jié)公開課，談談如何踐行“三個理解”.

[關鍵詞] 理解；平面向量；基底；反思

著名教育家章建躍博士在第五屆全國優(yōu)質課評課時曾指出：“理解數(shù)學”“理解學生”“理解教學”是進行數(shù)學有效教學的三大基石. 筆者對此深有感觸，適逢最近參加了寧波市“特級教師帶徒示范課”的教研活動，筆者從踐行“三個理解”的角度設計了一節(jié)公開課——《平面向量基本定理》，獲得了一致好評，現(xiàn)將教學片段和反思整理成文，敬請廣大同行批評指正.

教學片段

1. 創(chuàng)設情境，引入課題

情境1（展示國歌和校歌的簡譜） 你能找到阿拉伯數(shù)字“8”表示的音符嗎？為什么？

設計意圖：從學生所熟知的歌譜出發(fā)，引導學生感受到任何一首曲子都可以用1～7這七個阿拉伯數(shù)字作為音符來譜寫，這與平面向量基本定理中的“基底”思想是相似的，從而讓學生體會到“基本量”的思想，為接下來平面向量基本定理中的基底做鋪墊.

情境2 對于斜坡上物體所受到的重力，你能分解成哪幾個力？

設計意圖：從學生熟悉的力的分解和合成的物理背景出發(fā)，引導學生思考：對于給定平面內任一向量，是否可以類似地進行分解？從而將目標引向教學主題.

2. 自主探究，建構定理

探究活動1：如圖1，已知平面內一向量a，圖中的向量b，c，d能用a表示嗎？假如能，如何表示？用a還可以表示平面中的哪些向量？它們有什么關系？

設計意圖：回顧共線向量定理，感受共線向量的“基底”及如何用基底表示共線向量的方法，并追問與其不共線的向量該如何表示.

探究活動2：已知兩個不共線的非零向量e1，e2（如圖2），求作向量a=2e1+e2，b=-3e1+e2.

追問：在上述探究活動2中，任意給出一組實數(shù)λ1，λ2，使得c=λ1e1+λ2e2，你能在平面內作出相對應的向量c嗎？

設計意圖：通過探究活動讓學生體會到不共線的向量可以表示平面內給定的任一向量，為下面的逆向探究做鋪墊.

探究活動3：對于給定的不共線的一組向量e1，e2（如圖3），平面內的任意向量a是否可以用λ1e1+λ2e2來表示呢？請畫圖說明.

師生活動：利用幾何畫板不斷變換向量a，體會在已知基底的情況下可以表示平面內任意向量.

探究活動4：不斷變換e1，e2的位置，思考要用e1，e2表示任意向量a，e1，e2應該滿足什么條件.

設計意圖：創(chuàng)設具體的問題情境，通過教師的引導，讓學生自主思考，參與作圖驗證等活動，使學生成功地獲得平面內任意向量都能用不共線的向量線性表示的感性認識，為下一步概括定理奠定基礎.

探究活動5：在已知基底e1，e2的情況下，平面內任一向量a的分解式是否唯一？試通過作圖加以說明.

師生活動：教材沒有對“唯一性”加以特別說明和證明，而這一點學生極易忽略，從而導致課后定理的理解應用出現(xiàn)偏差和錯誤，教師應引導學生從幾何和代數(shù)兩個角度加以理解. 幾何方面只需用加法法則即可說明，代數(shù)方面用反證法也很好證明.

設計意圖：讓學生感悟實數(shù)對λ1，λ2的唯一性.

探究活動6：你能從中得到什么結論？

師生活動：學生試著通過自己的理解提煉出定理，教師適時引導、補充.

3. 學以致用，升華定理

例1 如圖4，平行四邊形ABCD的兩條對角線交于點M，且=a，=b，用a，b表示，，.

設計意圖：以一個熟悉而簡單的問題，使學生初步掌握在具體問題中用基底來表示相關向量，體會向量的應用，加深對平面向量基本定理的認識.

變式1：如圖5，在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點O，BE=BD，且=a，=b，試用a，b表示.

變式2：在圖5中，設=a，=b，試用a，b表示，.

變式3：在圖4中確認一組基底，并將其他的向量表示出來.

設計意圖：通過一組變式題，使學生明白，利用選定的基底來表示平面內任意向量是定理最基本的要求，學生必須熟練掌握. 變式3是一道開放題，如何恰當?shù)剡x擇基底直接影響到解題的繁簡程度，使學生從中明白選擇恰當基底的重要性，從而深入理解定理的本質和內涵.

變式4（拓展與提升）：設=2，點P在線段BN上，若=+m，求實數(shù)m的值.

設計意圖：定理的認識和理解是一個循序漸進、逐步深化的過程，通過本題的訓練，能使學生鞏固知識、拓展能力、理解和深化對定理的認識與延伸，建構全面、良好的數(shù)學認知結構.

教學啟示與反思

1. 理解數(shù)學，揭示本質

理解數(shù)學是實施數(shù)學優(yōu)質課堂教學的前提，在定理教學中，部分教師的“課堂教學”容易重結論及反復訓練，輕過程方法的生成和感受，這樣勢必導致學生“只知其然，而不知其所以然”，從而對知識進行機械記憶與應用.

“平面向量基本定理”是數(shù)學中為數(shù)不多的幾個基本定理之一，它是平面向量的核心內容，能否正確理解定理，關系到對整個向量內容的理解和掌握程度. 筆者認為，應從以下幾個方面來加以分析.

（1）深入理解平面向量基本定理的本質和延伸

平面向量基本定理刻畫了平面上任意一個向量都可以用兩個不共線的基底來表示，表述的是二維向量空間形式，其實它和上一節(jié)中的向量共線定理是一脈相承的，同時也是后面空間向量和三維坐標表示的基礎. 再推而廣之，“平面向量基本定理”其實是n維空間向量定理的一個特例，如果從這個層面來理解，定理就變得明了而簡單了，也有利于教學過程中對重難點的分解和突破.

（2）平面向量基本定理是一種數(shù)與形的綜合運算

類似于物理學中力的分解和合成，平面向量的分解與合成，既可以從形的角度加以理解，也可以從數(shù)的方面進行計算，高考命題者都熱衷于從這兩個方面進行命題，而且要求比較高，學生對于幾何角度的運算都能很好地理解，但如何從數(shù)的角度進行運算卻是學生的難點. 例如三點共線的數(shù)量關系、有關系數(shù)的數(shù)量比值計算，以及有關向量的幾何問題代數(shù)化、代數(shù)問題幾何化等，都是今后學生在學習中的難點，所以教師在進行課堂教學時，要有意識地加以引導和指點，從而為后續(xù)學習打下堅實的基礎.

（3）平面向量基本定理是后續(xù)“坐標法”的根

把平面向量基本定理中的基底特殊化，即采用x，y軸方向上的單位向量來表示平面內的任一向量，從而可以得到向量的坐標表示，推而廣之，也可由空間向量基本定理得到空間向量的坐標表示.

2. 理解學生，準確定位

在本節(jié)課之前，學生已經掌握了向量的基本概念和基本運算，特別是向量的加減法法則和共線向量定理，這些都為本節(jié)課的學習提供了必備的知識儲備，同時，學生通過物理學科中有關力的合成和分解，作圖的習慣也基本養(yǎng)成，這為從形的角度理解定理提供了認知準備. 但學生對于“基底”的理解肯定還存在一定的困難，不會從“基底”“元”“維數(shù)”這些角度理解定理的深刻內涵，也就難以認識到這個定理在今后向量方法中的重要作用. 針對這個問題，筆者設計了如下教學流程：生活中“基本量”的理解——物理背景中力的分解和合成——類比到平面向量基本定理的課題導入，并精心設計一連串問題，引導學生正確認識和探究定理的核心與內涵，由此便很自然地幫助學生突破了難點.

3. 理解教學，凸顯主體

平面向量基本定理蘊含了豐富的數(shù)學知識和基本思想，它在解決與向量加減法有關的問題時有比較靈活的應用，平面向量基本定理實現(xiàn)了幾何問題代數(shù)化、代數(shù)問題幾何化，這種思想方法是高中數(shù)學的重要思想方法，在課堂教學中要讓學生有所感悟. 在浙江高考試題中，向量是熱點問題，試題往往以選擇、填空壓軸題的形式出現(xiàn)，要求很高，僅憑一節(jié)課是教不透的，學生對于平面向量基本定理的認識也不可能一步到位，所以本節(jié)課的教學目標是體會平面向量基本定理的重要性和定理的逐步形成過程，深刻理解“基底”的概念及定理的本質和內涵，學會應用定理解決相關問題.

所以，在本節(jié)課的教學活動中，要充分抓住學生這一主體，注重學生活動，充分發(fā)揮學生的主體作用，在定理形成、認識及應用的過程中讓學生感知實驗，動手操作，思維辯證，帶領學生經歷知識的整個探究、發(fā)生過程，并運用各種教學手段幫助學生理解概念的內涵和本質，實現(xiàn)學生知識體系的自主建構，提高學生運用數(shù)學思想方法解決具體問題的意識和能力.

結束語

通過本節(jié)公開課的教學，筆者感觸良多. 在課程改革的今天，尤其是浙江新高考的實施，隨著十門課程的同時開展，學生的學業(yè)負擔已經很重了，如何優(yōu)化數(shù)學課堂、提高數(shù)學教學的有效性、減輕學生課后負擔便顯得尤為重要. 對于如何在平時的教學中滲透“三個理解”的基本思想，提高有效性，筆者還在不斷地探索和學習，今后，筆者將繼續(xù)貫徹這一思想，努力提升自己的教學水平，也歡迎廣大同仁能夠提出寶貴的建議.