一元不等式的圖像解法及其應(yīng)用

☉安徽省宿州市第二中學(xué) 柏長(zhǎng)勝

中學(xué)階段常見的一元不等式有整式不等式（一次、二次、高次不等式）、分式不等式、指數(shù)不等式、對(duì)數(shù)不等式、三角不等式、抽象不等式、含絕對(duì)值的不等式，以及它們之間的組合（或復(fù)合）不等式.因?yàn)檫@些不等式都只含一個(gè)未知數(shù)，故可統(tǒng)一地將這些不等式記為f（x）＞0（或f（x）＜0）.從數(shù)的角度看，這些不等式的解法各具特色，多姿多彩；若從函數(shù)圖像角度分析，它們則是統(tǒng)一的：函數(shù)y=f（x）的圖像在x軸上方的部分對(duì)應(yīng)的是f（x）＞0，在x軸下方的部分對(duì)應(yīng)的是f（x）＜0.因此，從函數(shù)圖像的角度可以找到這些一元不等式的統(tǒng)一解法.

一、整式不等式的圖像解法

例1 解下列不等式.

（1）x2-2x-3＞0；（2）x（x+2）（x-3）≥0.

解析：（1）方法1：方程x2-2x-3=0的根為x=-1或x=3，作出函數(shù)y=x2-2x-3的圖像，如圖1所示.

當(dāng)x＜-1或x＞3時(shí)，函數(shù)y=x2-2x-3的圖像在x軸的上方，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值大于0，故不等式x2-2x-3＞0的解集為｛x|x＜-1或x＞3｝.

圖1

圖像法解整式不等式的一般流程為：（1）求根，（2）作圖，（3）寫解集.

因?yàn)槲覀冎魂P(guān)注函數(shù)圖像在x軸上方的函數(shù)值為正的不變性（或圖像在x軸下方的函數(shù)值為負(fù)的不變性）及圖像與x軸的交點(diǎn)的不變性，而不必關(guān)注函數(shù)圖像的其他性質(zhì)，因此，只需作出這些函數(shù)的拓?fù)鋱D像（必要時(shí)可以省略y軸）即可，如圖2所示.觀察函數(shù)圖像還可以發(fā)現(xiàn)，連續(xù)函數(shù)y=f（x）在由其零點(diǎn)分割的定義域內(nèi)的每一個(gè)區(qū)域內(nèi)的函數(shù)值符號(hào)都是相同的，因此，可以借助特殊點(diǎn)驗(yàn)證法來確定原不等式的解集.

圖2

方法2：函數(shù)f（x）=x2-2x-3的零點(diǎn)為-1和3，其定義域被分成（-∞，-1），［-1，3］和（3，+∞）三個(gè)區(qū)域.

因?yàn)閒（-2）=5＞0，f（0）=-3＜0，f（4）=5＞0，故不等式x2-2x-3＞0的解集為｛x|x＜-1或x＞3｝.

這種解法的一般流程為：（1）求零點(diǎn)，（2）分區(qū)間，（3）取值定域，簡(jiǎn)記為“零點(diǎn)定界，特殊點(diǎn)定域”.用這兩種方法可以求出高次整式不等式的解集.

（2）方法1：方程x（x+2）（x-3）=0的根為-2，0，3，作出函數(shù)f（x）=x（x+2）（x-3）的拓?fù)鋱D像，因?yàn)閤→+∞時(shí)，函數(shù)f（x）→+∞（或當(dāng)x＞3時(shí)，f（x）＞0），因此，最高項(xiàng)系數(shù)為正的高次函數(shù)的圖像總是從x軸右上方開始（若最高項(xiàng)系數(shù)為負(fù)，可以先通過不等式同解變形變?yōu)檎?，如圖3所示.

圖3

故原不等式的解集為｛x|-2≤x≤0或x≥3｝.

方法2：函數(shù)f（x）=x（x+2）（x-3）的零點(diǎn)為-1，0和3，其定義域被分成（-∞，-2），［-2，0］，（0，3）和［3，+∞）四個(gè)區(qū)域.

因?yàn)閒（-3）＜0，f（-1）=4＞0，f（1）=-6＜0，f（4）＞0，故原不等式的解集為｛x|-2≤x≤0或x≥3｝.

二、分式不等式的圖像解法

三、指數(shù)與對(duì)數(shù)不等式的圖像解法

指數(shù)不等式af（x）＞ag（x）（a＞0，a≠1）可以等價(jià)變形為相應(yīng)的整式不等式f（x）＞g（x）（a＞1）或f（x）＜g（x）（0＜a＜1），再運(yùn)用整式不等式的圖像解法即可求出原不等式的解集.對(duì)數(shù)不等式在轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的整式不等式時(shí)要注意真數(shù)大于0.

四、三角不等式的圖像解法

圖4

圖像法解形如sinx≥a（-1≤a≤1）的不等式的一般流程為：（1）作圖（y=sinx與y=a），（2）求交點(diǎn)（一個(gè)周期內(nèi)），（3）寫解集（加上周期整數(shù)倍）.

五、抽象不等式的圖像解法

由抽象函數(shù)對(duì)應(yīng)的不等式稱為抽象不等式，因?yàn)槌橄蠛瘮?shù)無具體的解析式，圖像法是解決這類不等式的最佳方法.

例3已知函數(shù)f（x）為R上的奇函數(shù)，對(duì)于任意的兩個(gè)不相等的正數(shù)x1，x2，都有且f（3）=0，則不等式xf（x）＜0的解集為________.

解析：由題意知函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，又f（x）為R上的奇函數(shù)，故f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增，且f（0）=0，f（-3）=-f（3）=0，可作出函數(shù)f（x）的拓?fù)鋱D像，如圖5所示.

圖5

故不等式xf（x）＜0的解集為｛x|-3＜x＜0或0＜x＜3｝.

圖像法解抽象函數(shù)不等式的一般流程為：（1）分析性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性、周期性等），（2）求零點(diǎn)，（3）作圖像，（4）寫解集.

六、復(fù)合不等式的圖像解法

由復(fù)合函數(shù)對(duì)應(yīng)的不等式稱為復(fù)合不等式，因?yàn)閾Q元法是解決復(fù)合函數(shù)的根本方法，故換元法配合圖像法是解決這類不等式的最佳方法.

解析：令t=（fa），則（ft）≤2，作函數(shù)y=（ft）與y=2的圖像，如圖6所示.它們的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為-2，故不等式（ft）≤2的解集為｛t|t≥-2｝，再求出y=（fa）與y=-2的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，故不等式（fa）≥-2的解集為｛a|a≤｝，所以不等式（f（fa））≤2的解集為｛a|a≤｝.

圖6

由本例分析可知，圖像法解形如f（f（x））＞a的復(fù)合不等式的一般流程為：（1）作函數(shù)y=f（x）的圖像，（2）令f（x）=t，（3）求出外不等式f（t）＞a的解集A，（4）再解內(nèi)不等式f（x）∈A.

七、含絕對(duì)值不等式的圖像解法

例5 （2017年全國(guó)Ⅰ卷理23）［選修4-5：不等式選講］已知函數(shù)f（x）=-x2+ax+4，g（x）=|x+1|+|x-1|.

（1）當(dāng)a=1時(shí)，求不等式f（x）≥g（x）的解集；

（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含［-1，1］，求a的取值范圍.

解析：（1）當(dāng)a=1時(shí)，分別作出函數(shù)f（x）=-x2+x+4和g（x）=|x+1|+|x-1|=的圖像，如圖7所示.

圖7

（2）當(dāng)x∈［-1，1］時(shí)，g（x）=2.

所以f（x）≥g（x）的解集包含［-1，1］，等價(jià)于當(dāng)x∈［-1，1］時(shí)f（x）≥2，即當(dāng)x∈［-1，1］時(shí)-x2+ax+2≥0.作函數(shù)F（x）=-x2+ax+2的圖像，如圖8所示，所 以得-1≤a≤1.

圖8

所以a的取值范圍為［-1，1］.

圖像法解含絕對(duì)值不等式的一般流程為：（1）作圖（分段函數(shù)），（2）求交點(diǎn)，（3）寫解集.

八、圖像法解不等式的綜合應(yīng)用舉例

例6（2017年全國(guó)Ⅰ卷理21）已知函數(shù)f（x）=ae2x+（a-2）ex-x.

（1）討論f（x）的單調(diào)性；

（2）若f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

圖9

解析：（1）略.令F（t）=1-t-ln（tt＞0），因?yàn)镕′（t）=-1-＜0，所以F（t）在（0，+∞）上單調(diào)遞減.又F（1）=0，x→0時(shí)，函數(shù)F（t）→+∞，作出函數(shù)F（t）的圖像，如圖10所示.

由圖10可知，不等式1-t-lnt＜0的解集為（1，+∞），所以，即0＜a＜1.

綜上，a的取值范圍為（0，1）.

另解1：不等式1-t-lnt＜0等價(jià)于1-t＜lnt，作函數(shù)y=1-t和y=lnt的圖像，如圖11所示.它們交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，由圖10可知，不等式1-t-lnt＜0的解集為（1，+∞），所以＞1，即0＜a＜1.

綜上，a的取值范圍為（0，1）.

另解2：令F（t）=1-t-lnt，因?yàn)镕（t）只有一個(gè)零點(diǎn)1，且F（e）=1-e-1＜0，，所以不等式1-t-lnt＜0的解集為（1，+∞）.

綜上，a的取值范圍為（0，1）.

中學(xué)階段的一元不等式從結(jié)構(gòu)形式來看只要掌握兩種類型的解法即可，形如f（x）＞0的不等式，其圖像解法的流程為：（1）求零點(diǎn)，（2）作圖，（3）寫解集；形如f（x）＞g（x）的不等式，其圖像解法的流程為：（1）作出兩個(gè)函數(shù)的圖像，（2）求交點(diǎn)，（3）寫解集.其他類型的不等式都可以等價(jià)轉(zhuǎn)化為這兩種類型的不等式進(jìn)行求解.

1.王錫林.一元不等式的統(tǒng)一解法［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2001（4）.

2.鄭明改.“不等式”統(tǒng)一的解法［J］.福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2007（2）.

3.金迅嬰，李書超，王啟學(xué).關(guān)于不等式的統(tǒng)一解法及其應(yīng)用［J］.高等函授學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2003（5）.F

圖10

圖11