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    極化恒等式的應(yīng)用

    2018-03-12 09:00:42鄭州外國語學(xué)校姚思宇
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2018年3期
    關(guān)鍵詞:恒等式動點中點

    ☉鄭州外國語學(xué)校 姚思宇

    向量是溝通代數(shù)與幾何的橋梁,向量的坐標運算為幾何運算插上了“代數(shù)的翅膀”,從而實現(xiàn)了向量與幾何、代數(shù)的巧妙結(jié)合.a·b=|a||b|cosθ建立了向量的數(shù)量積與兩個向量的長度及其夾角之間的關(guān)系,極化恒等式a·b=卻建立了向量的數(shù)量積與幾何長度之間的關(guān)系.因此對研究向量的數(shù)量積有廣泛應(yīng)用.

    一、極化恒等式

    人教版必修4第二章第五節(jié)第一課時“平面幾何中的向量方法”的例1中,證明了平面幾何中一個常見的結(jié)論“平行四邊形兩條對角線的平方和等于兩條鄰邊平方和的兩倍”.

    圖1

    然而①-②可得另外一個結(jié)論:

    二、應(yīng)用極化恒等式求向量的數(shù)量積

    向量作為一種工具,由于它獨特的性質(zhì),在全國各地的高考中成為創(chuàng)新命題的出發(fā)點,向量試題有著越來越綜合、越來越靈活的命題趨勢,極化恒等式成為越來越重要的考查點.

    例1 (2012年浙江卷)在△ABC中,M是BC的中點,AM=3,BC=10,則________.

    解析:如圖2,因為M是BC的中點,連接AM,根據(jù)極化恒等式有

    圖2

    圖3

    例2 (2013年浙江卷)在△ABC中,P0是邊AB上一定點,滿足,且對于邊AB上任一點P,恒有,則( ).

    (A)∠ABC=90° (B)∠BAC=90°

    (C)AB=AC (D)AC=BC

    由幾何性質(zhì)知,P0D⊥AB,又因為CE平行P0D,所以CE⊥AB,故AC=AB,所以正確答案為D.

    例3 (2016年江蘇卷)如圖4,在△ABC中,D是BC的中點,E,F(xiàn)是AD上的兩個三等分點,則=_______.

    圖4

    三、應(yīng)用極化恒等式求向量數(shù)量積的最值和范圍

    求解平面向量的數(shù)量積的最值和取值范圍時可以從定義或坐標運算入手,但是解題過程常常會由于計算復(fù)雜、過程繁冗而導(dǎo)致出錯,使用極化恒等式,往往能化繁為簡,快速求解.

    例4 已知正三角形ABC的外接圓O的半徑為2,點P是圓O上的一個動點,則的取值范圍是________.

    解析:如圖5,取AB的中點D,連接PD,O為△ABC的重心.因為△ABC為正三角形,所以O(shè)在CD上,OC=2OD=2,CD=3,AB=2,根據(jù)極化恒等式有:

    圖5

    例5 (2012年安徽卷)平面向量a,b滿足|2a-b|≤3,則的最小值為________.

    評注:本題直接利用極化恒等式進行恒等變形,變形后對等式進行適當?shù)姆趴s,要注意等號成立的條件.

    例6 如圖6,正方形ABCD的邊長為4,動點P在以AB為直徑的半圓弧上,則的 取 值 范 圍 是________.

    解析:取CD中點E,連接PE,在△PCD內(nèi)根據(jù)極化恒等式有,由圖6知,所以∈[0,16].

    圖6

    評注:本題利用極化恒等式將向量的數(shù)量積進行代數(shù)轉(zhuǎn)化,由于P是動點,就需要探求的取值范圍.

    例7 如圖7,在△ABC中,點E,F(xiàn)分別是線段AB,AC的中點,點P在直線EF上,若S△ABC=2,則的最小值______.

    解析:如圖7,取BC中點D,在內(nèi)根據(jù)極化恒等式有:

    圖7

    例8 點P是棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上的 一 點 ,則 向 量的取值范圍是________.

    評注:本題是極化恒等式在立體幾何中的應(yīng)用,題目比較簡單,目的在于說明極化恒等式不僅適用于平面幾何,也適用于空間幾何.

    例9(2017年全國卷Ⅱ)已知△ABC是邊長為2的等邊三角形,P為平面ABC內(nèi)一點,的最小值為_______.

    解析:如圖8,設(shè)BC,AD的中點分別為D和E,連接PA,PB,PC,PD,PE,則,根據(jù)極化恒等式可得.因為△ABC是邊長為2的等邊三角形,所以,,當時的最小值為

    圖8

    極化恒等式不僅適用于平面向量,同樣適用于空間向量,以上例題我們可以發(fā)現(xiàn)極化恒等式對于解決向量的數(shù)量積有著非常重要的作用,掌握了這種方法為解決向量數(shù)量積拓寬了思路和方法.

    1.王宏權(quán),李學(xué)軍,朱成萬.巧用極化恒等式,妙解一類高考題考題[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué)),2013(8).

    2.單長松.平面向量中不得不提的一個恒等式[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué)),2014(1).

    3.張城兵.極化恒等式的妙用[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué),2016(7).

    4.楊蒼洲,周蘭英.例談極化恒等式的應(yīng)用[J].中小學(xué)數(shù)學(xué):高中版,2016(10).

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