極化恒等式的應(yīng)用

☉鄭州外國語學(xué)校 姚思宇

向量是溝通代數(shù)與幾何的橋梁，向量的坐標運算為幾何運算插上了“代數(shù)的翅膀”，從而實現(xiàn)了向量與幾何、代數(shù)的巧妙結(jié)合.a·b=|a||b|cosθ建立了向量的數(shù)量積與兩個向量的長度及其夾角之間的關(guān)系，極化恒等式a·b=卻建立了向量的數(shù)量積與幾何長度之間的關(guān)系.因此對研究向量的數(shù)量積有廣泛應(yīng)用.

一、極化恒等式

人教版必修4第二章第五節(jié)第一課時“平面幾何中的向量方法”的例1中，證明了平面幾何中一個常見的結(jié)論“平行四邊形兩條對角線的平方和等于兩條鄰邊平方和的兩倍”.

圖1

然而①-②可得另外一個結(jié)論：

二、應(yīng)用極化恒等式求向量的數(shù)量積

向量作為一種工具，由于它獨特的性質(zhì)，在全國各地的高考中成為創(chuàng)新命題的出發(fā)點，向量試題有著越來越綜合、越來越靈活的命題趨勢，極化恒等式成為越來越重要的考查點.

例1 （2012年浙江卷）在△ABC中，M是BC的中點，AM=3，BC=10，則________.

解析：如圖2，因為M是BC的中點，連接AM，根據(jù)極化恒等式有

圖2

圖3

例2 （2013年浙江卷）在△ABC中，P0是邊AB上一定點，滿足，且對于邊AB上任一點P，恒有，則（ ）.

（A）∠ABC=90° （B）∠BAC=90°

（C）AB=AC （D）AC=BC

由幾何性質(zhì)知，P0D⊥AB，又因為CE平行P0D，所以CE⊥AB，故AC=AB，所以正確答案為D.

例3 （2016年江蘇卷）如圖4，在△ABC中，D是BC的中點，E，F(xiàn)是AD上的兩個三等分點，則=_______.

圖4

三、應(yīng)用極化恒等式求向量數(shù)量積的最值和范圍

求解平面向量的數(shù)量積的最值和取值范圍時可以從定義或坐標運算入手，但是解題過程常常會由于計算復(fù)雜、過程繁冗而導(dǎo)致出錯，使用極化恒等式，往往能化繁為簡，快速求解.

例4 已知正三角形ABC的外接圓O的半徑為2，點P是圓O上的一個動點，則的取值范圍是________.

解析：如圖5，取AB的中點D，連接PD，O為△ABC的重心.因為△ABC為正三角形，所以O(shè)在CD上，OC=2OD=2，CD=3，AB=2，根據(jù)極化恒等式有：

圖5

例5 （2012年安徽卷）平面向量a，b滿足|2a-b|≤3，則的最小值為________.

評注：本題直接利用極化恒等式進行恒等變形，變形后對等式進行適當?shù)姆趴s，要注意等號成立的條件.

例6 如圖6，正方形ABCD的邊長為4，動點P在以AB為直徑的半圓弧上，則的 取 值 范 圍 是________.

解析：取CD中點E，連接PE，在△PCD內(nèi)根據(jù)極化恒等式有，由圖6知，所以∈［0，16］.

圖6

評注：本題利用極化恒等式將向量的數(shù)量積進行代數(shù)轉(zhuǎn)化，由于P是動點，就需要探求的取值范圍.

例7 如圖7，在△ABC中，點E，F(xiàn)分別是線段AB，AC的中點，點P在直線EF上，若S△ABC=2，則的最小值______.

解析：如圖7，取BC中點D，在內(nèi)根據(jù)極化恒等式有：

圖7

例8 點P是棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上的 一 點 ，則 向 量的取值范圍是________.

評注：本題是極化恒等式在立體幾何中的應(yīng)用，題目比較簡單，目的在于說明極化恒等式不僅適用于平面幾何，也適用于空間幾何.

例9（2017年全國卷Ⅱ）已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點，的最小值為_______.

解析：如圖8，設(shè)BC，AD的中點分別為D和E，連接PA，PB，PC，PD，PE，則，根據(jù)極化恒等式可得.因為△ABC是邊長為2的等邊三角形，所以，，當時的最小值為

圖8

極化恒等式不僅適用于平面向量，同樣適用于空間向量，以上例題我們可以發(fā)現(xiàn)極化恒等式對于解決向量的數(shù)量積有著非常重要的作用，掌握了這種方法為解決向量數(shù)量積拓寬了思路和方法.

1.王宏權(quán)，李學(xué)軍，朱成萬.巧用極化恒等式，妙解一類高考題考題［J］.中學(xué)教研（數(shù)學(xué)），2013（8）.

2.單長松.平面向量中不得不提的一個恒等式［J］.中學(xué)教研（數(shù)學(xué)），2014（1）.

3.張城兵.極化恒等式的妙用［J］.高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2016（7）.

4.楊蒼洲，周蘭英.例談極化恒等式的應(yīng)用［J］.中小學(xué)數(shù)學(xué)：高中版，2016（10）.