巧構(gòu)知識導(dǎo)圖 妙用一題多解

☉河南省內(nèi)鄉(xiāng)縣高級中學(xué) 齊若貝

一首優(yōu)美的經(jīng)典音樂，不論哪個歌手翻唱，抑或用不同的樂器演奏，都是旋律優(yōu)美，百聽不厭.平時我們有做不完的題，而每道題有可千變?nèi)f化，我們在解一些好題、難題時，往往百思不得其解，絲亂如麻，正所謂“東風(fēng)夜放花千樹，更吹落，星如雨”，但如果學(xué)會用策略導(dǎo)圖，進(jìn)行不同事物之間轉(zhuǎn)換，從不同角度進(jìn)行不同的解法，然后從中尋求最簡捷的方法，以待考試用，厚積而薄發(fā)，問題自然迎刃而解，正所謂“眾里尋他千百度，驀然回首，那人卻在，燈火闌珊處”.如此怎不讓人嘆為觀止，拍案叫絕，回味無窮.

下面以一道填空題為例，談?wù)動枚嘣季S求解的策略方法.

一、問題

已知x，y都是大于0實數(shù)，若x2-xy+y2=1，求x+2y的取值范圍是__________.

分析：這道題雖是填空題，還是有一定困難的.看似簡單，似曾相識，思來想去，求不出正確答案.這樣的題，一定要先分析，厘清思路后再動手.

二、繪制核心知識導(dǎo)圖

利用核心知識導(dǎo)圖的構(gòu)建，通觀了概念間的立體聯(lián)系，形象快速地把握知識點間的關(guān)聯(lián)，在分析和解決難題時思路非常清晰，讓解題思路看得見，解題方法更快捷.本題主要采取6種方法，概括8個方面知識點，體現(xiàn)3種數(shù)學(xué)思想.

三、解法

（一）方法1：參數(shù)方程法

感悟：本法從圓的方程形式“x2+y2=1”受到啟發(fā)，下面就是想辦法怎樣去掉條件式“x2+y2-xy=1”中的“xy”就好了，然后利用三角函數(shù)參數(shù)方程進(jìn)行換元即可，此法比較大眾化，是最易想到的方法.

（二）方法2：判別式法

設(shè)x+2y=t，則x=t-2y，代入x2+y2-xy=1，整理后得7y2-5ty+t2-1=0，則判別式Δ=-3t2+28≥0，由已知條件可得t＞0，解得

又因為y＞0，在函數(shù)f（y）=7y2-5ty+t2-1中，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)，所以f（0）＞0，解得t＞1.

感悟：此法巧妙轉(zhuǎn)化方程有解問題，是最基本的一種方法，也是最常用、最易想到的方法.

（三）方法3：和差換元法

令x=m+n，y=m-n，代入x2+y2-xy=1，整理后得m2+3n2=1，又因為x=m+n＞0，y=m-n＞0，則m2+3n2=1表示橢圓的一部分，即直線m+n=0的上方，直線m-n=0的下方.

感悟：此法多用于數(shù)學(xué)競賽中，妙在這種變換能改變問題的結(jié)構(gòu)形式，使解題思路清晰，靈活新穎，步驟簡潔，讓人大開眼界.

（四）方法4：斜三角聯(lián)想法

由已知條件知，可將x，y分別看成△ABC的兩邊a，b，則c=1，由x2+y2-xy=1，得a2+b2-ab=c2.

感悟：本法根據(jù)結(jié)構(gòu)特征，巧妙聯(lián)想到斜三角形函數(shù)形式，考查知識點多，既有三角函數(shù)變換、單調(diào)性，又有兩角和差公式、正余弦定理，必須具備一定的推理能力、計算能力及聯(lián)想能力.

（五）方法5：不等式配湊法

由x2+y2-xy=1，得xy=x2+y2-1.

設(shè)x+2y=t，則t2=x2+4y2+4xy，整理后可得t2=5x2+8y2-4.

感悟：有些題實在“看不出來”的情況下，把不等式變形，然后利用兩次平方，待定系數(shù)法進(jìn)行拼湊.此題內(nèi)涵豐富，簡約不簡單.

（六）方法6：導(dǎo)數(shù)法

感悟：此法出現(xiàn)分類討論，也涉及函數(shù)的單調(diào)性問題，一定要注意函數(shù)的定義域，是分段函數(shù)的要分開計算.但知識新穎，方法靈活，不失為一種方法.

（七）方法7：柯西不等式法

感悟：本題解法與導(dǎo)數(shù)法的前半部分一樣，求t=x+2y=2x+的最值時用到柯西不等式.挖掘出題目隱含的條件，合理轉(zhuǎn)化，巧妙拼湊出柯西不等式的結(jié)構(gòu)形式，是解題的關(guān)鍵和亮點.

至此，我們已把問題研究得清晰透徹，也使腦洞大開.很明顯，三角函數(shù)換元、判別式應(yīng)用、圖形結(jié)合是我們比較常用的方法，其他方法也很有學(xué)問，很耐人尋味，在平時練習(xí)的過程中，應(yīng)不滿足于一種解法，多思則多解，遇到具體問題才能做到隨機(jī)應(yīng)變，達(dá)到快速求解的目的.博觀約取，厚積薄發(fā)，這是一個持久漸進(jìn)的過程，貴在持之以恒.正所謂縱橫廣博，積累深厚，方能有所摘